4.3 Зміст звіту

У звіті про лабораторну роботу необхідно навести:

– Короткі теоретичні відомості;

– Розв’язок завдань лабораторної роботи;

– Аналіз результатів і висновки за лабораторною роботою.

4.4 Контрольні питання

– Достатні умови збіжності методу ітерації.

– Умови існування й одиничності кореня.

– Як вибрати початкове наближення при обчисленні кореня комбінованим методом.

Література

1. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с. – C. 349 – 363.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. – 432 с. – C. 190 - 195.

3. Численные методы. Н.Н. Калиткин. Главная редакция физико-математической литературы "Наука", М., 1978. – C. 138 – 146.

Лабораторна робота №5

Тема: Розв’язок звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Мета роботи: засвоєння на практиці чисельних методів розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Ідея: навчитися практично застосовувати методи розв’язку звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, знати області їх застосування, переваги та недоліки кожного з методів.

5.1 Теоретичні відомості

5.1.1 Постановка задачі

В залежності від кількості незалежних змінних диференціальні рівняння поділяються на дві групи:

а) звичайні диференціальні рівняння, що містять одну незалежну змінну;

б) рівняння з частинними похідними, які містять декілька незалежних змінних.

Звичайні диференціальні рівняння містять, окрім незалежної змінної, одну або декілька похідних від функції, що шукається, . Їх можна записати в виді:

, (5.1)

де – незалежна змінна.

Найвищий порядок похідної, що входить в рівняння, називається порядком диференціального рівняння. Наприклад, загальний вид диференціальних рівнянь першого і другого порядків:

,

. (5.2)

В ряді випадків із загального запису диференціального рівняння вдається виразити старшу похідну в певному виді. Наприклад,

,

.

Така форма запису називається рівнянням, розв’язаним відносно старшої похідної.

Розв’язком диференціального рівняння називається будь-яка функція , яка, після підстановки її в рівняння, перетворює його на тотожність (вірну рівність).

Загальний розв’язок звичайного диференціального рівняння -го порядку міститьдовільних сталих, тобто загальний розв’язок має вид:

.

Частинний розв’язок диференціального рівняння можна отримати із загального, якщо довільним сталим надати певні значення.

Для рівняння першого порядку загальний розв’язок залежить від однієї довільної сталої:

.

Якщо стала приймає певне значення , отримаємо частинний розв’язок:

.

Виходячи з геометричної інтерпретації загального розв’язку диференціального рівняння першого порядку і із теореми Коші маємо, що для виділення деякого частинного розв’язку рівняння першого порядку достатньо задати координати довільної точки на заданій інтегральній кривій.

Для диференціального рівняння другого порядку необхідно задати дві додаткові умови, завдяки яким можна визначити дві довільні сталі.

В залежності від способу завдання додаткових умов для отримання частинного розв’язку диференціального рівняння, існує два різних типи задач:

• задача Коші;

• крайова задача.

Додаткові умови в задачі Коші задають в одній точці і називаютьпочатковими умовами, а точка, в якій їх задають – початковой точкой.

Додаткові умови для крайової задачі задають в більш ніж одній точці, зазвичай в двох точках та, які є границями області розв’язку диференціального рівняння, і називаютьграничними (крайовими) умовами.