2. Ознаки подібності систем

Основний принцип теорії подібності заключається в виділенні із множини явищ групи подібних, що мають однакові закономірності і математичний опис.

Подібними називаються системи, для яких відношення схожих величин однакові.

Для представлених систем схожими величинами є : d₁^' i d₁^"; d₂^' i d₂^"; ℓ^' i ℓ^"; w₁^' i w₁^"; w₂^' i w₂^" і т.д.

Ці системи подібні, якщо відношення схожих величин однакові, тобто

	- константа геометричної подібності;
	- константа подібності поля швидкостей;
	- константа подібності поля концентрацій

Константа подібності (масштабний множник) – це відношення схожих величин різних систем.

Якщо параметри першої системи помножити на константи подібності, то одержимо параметри другої подібної системи.

Недоліком констант подібності є те, що їх значення змінюється при переході від однієї пари (1-2) до другої пари подібних систем (1-3), тобто при зміні розмірів (масштабу) системи.

Більш прийнятними ознаками подібності систем являються інваріанти подібності, що представляють відношення схожих величин однієї системи:

	інваріанти геометричної подібності (inv – незмінний, idem – одно і теж
	інваріанти подібності полів фізичних величин

Переваги інваріантів подібності перед константами:

• їх значення залишаються незмінними при зміні розмірів (масштабу) системи;

• кількість інваріантів подібності значно менша за кількість констант подібності.

Існує два типи інваріантів подібності:

• Симплекси подібності (параметричні критерії), тобто відношення двох однорідних (однорозмірних) величин (параметрів). Вони характеризують подібність полів фізичних величин і геометричну подібність;

• Критерії подібності, тобто безрозмірні комплекси декількох різнорідних величин.

Наприклад, розглянемо рух двох різних рідин в трубопроводах різного діаметру:

d₁ w₁, ρ₁, µ₁

d2 w₂, ρ₂, µ₂

Якщо , то потоки подібні.

Безрозмірний комплекс називається критерієм гідродинамічної подібності (критерій Рейнольдса).

Безрозмірні симплекси і комплекси величин називаються узагальненими перемінними. З їх допомогою можна одержати математичний опис системи більш простий, чим з допомогою розмірних величин.

3. Теореми подібності

Основні положення теорії подібності узагальнені трьома теоремами подібності.

Перша теорема подібності (Ньютона-Бертрана)

Якщо системи подібні, то завжди можна знайти такі безрозмірні комплекси величин, які мають однакові значення в схожих точках систем.

Для знаходження безрозмірних комплексів величин користуються двома методами:

• методом подібного перетворення диференційних рівнянь, що описують процес;

• методом аналізу розмірностей величин, що впливають на протікання процесу.

Суть першого методу заключається у наступному:

1. У диференційному рівнянні відкидають знаки мат5ематичних операторів (знак диференціювання d, +, -) і одержують при цьому декілька комплексів величин, що мають однакову розмірність;

2. Обирають один із комплексів величин в якості масштабу (одиниці порівняння) і ділять на нього по черзі інші комплекси величин, в результаті чого одержують безрозмірні комплекси величин (критерії подібності систем).

Наприклад, рух тіла під дією приложеної сили описується другим законом Ньютона:

Відкинувши знаки диференціювання одержимо два комплекси, що мають розмірність сили:

Поділивши першу величину f на комплекс величини , обраний в якості масштабу, одержимо(одне и теж для потрібних систем).

Безрозмірний комплекс величини .

Безрозмірний комплекс Ньютона, який характеризує відношення імпульсу сили до кількості руху, одержані тілом.

Перша теорема подібності показує, які величини необхідно вимірювати при проведені експериментів, тобто ті, що входять в критерії подібності.

Друга теорема подібності (Бекінгема-Фезермана)

Рішення будь-якого диференційного рівняння, що описує процес, може бути представлена у вигляді функціональної залежності між критеріями подібності, одержаними шляхом подібного перетворення цього рівняння.

Хай π₁, π₂, π₃, … π₄ – безрозмірні комплекси величин, одержані шляхом подібного перетворення дифрівняння. Тоді рішення цього рівняння може бути представлено у вигляді залежності між цими комплексами:

π₁ = f (π₂, π₃, … π₄)

В більшості випадків цю залежність виражають степеневою функцією

π₁ = с π^m₂ ∙ πⁿ₃ … π^р₄

Значення постійних С, m, n, … p знаходять на основі обробки результатів експериментів.

Критерії π₂, π₃, … π₄ називаються визначальними, а критерій π₁ – визначним.

В визначальні критерії входять тільки величини із умов однозначності, які визначають хід процесу і його результат. В визначений критерій входять окрім деяких з цих величин також величина, яку потрібно визначити, тобто розрахувати.

Друга теорема подібності показує, як необхідно обробляти результати експериментів, проведених на моделях, а саме: їх необхідно представляти у вигляді функціональної залежності між безрозмірними комплексами величин, тобто між критеріями подібності.

Третя теорема подібності (Кирпигова-Гухмана)

Системи подібні, якщо їх визначальні критерії мають одинакові значення в схожих точках систем.

Ця теорема є наслідком перших двох теорем подібності.