- •В. Н. Беловодский Восемь лекций по численным методам
- •7.080407 «Компьютерный эколого-экономический мониторинг»)
- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1.Элементы теории погрешностей
- •.Типы и источники погрешностей
- •1.2.Абсолютные и относительные погрешности приближённых чисел
- •1.3. Погрешности выполнения арифметических операций
- •.Погрешность вычисления функции
- •1.5.Запись приближённых чисел
- •1.6.Правила действий над приближёнными числами
- •1.7.Погрешности при машинном представлении чисел
- •1.8. Варианты индивидуальных заданий
- •Лекция 2. Интерполяция функций
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Алгебраическая интерполяция, существование и единственность интерполяционного многочлена
- •2.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.4. Конечные и разделенные разности
- •2.5. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.6. Сравнительный анализ интерполяционных многочленов
- •2.7. Погрешности интерполяционных формул
- •2.8. Интерполяционные формулы для равноотстоящих узлов
- •2.9. Сплайн – интерполяция
- •2. 10. Варианты индивидуальных заданий
- •Лекция 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Предварительные замечания
- •3.2. Точные методы решения
- •3.3. Приближённые методы решения
- •3.4. Сходимость и погрешность приближённых методов
- •3.6. Варианты индивидуальных заданий
- •Лекция 4. Решение нелинейных уравнений
- •4.1. Предварительные замечания
- •4.2. Методы, основанные на алгебраическом интерполировании
- •4.3. Метод последовательных приближений
- •4.4. Задание
- •Лекция 5. Решение систем нелинейных уравнений
- •Метод итераций
- •Метод Ньютона
- •5.3. Сравнительный анализ методов
- •5.4. Задание
- •Требования к программе
- •Требования к отчету
- •Лекция 6. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •6.1. Вступительные замечания
- •6.2. Формулы Ньютона-Котеса
- •6.3. Простейшие квадратурные правила
- •6.4. Погрешности квадратурных формул
- •6.5. Понятие о методах Монте–Карло
- •6.6. Задание
- •Варианты заданий
- •Лекция 7. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вступительные замечания
- •Аналитические методы
- •Численные методы решения. Правило Рунге
- •Задание
- •Лекция 8. Основы спектрального анализа
- •Элементы общей теории
- •Дискретная форма рядов Фурье
- •8.4. Задание
1.7.Погрешности при машинном представлении чисел
При машинном представлении чисел используются две формы,- с фиксированной и плавающей запятой. В первом случае условно фиксируется расположение знака, отделяющего целую часть числа от дробной. Т.е. выделяется неизменное число разрядов для целой и дробной частей числа. Так, при общем числе n двоичных разрядов, выделяемых для представления числа один разряд резервируется под знак числа, nі знаков,- под целую и nf=n-nі -1 знаков, - под дробную (Рисунок 1.1).
. . . . . .
ni – разрядов, целая часть nf – разрядов, дробная часть
знак числа
Рисунок 1.1 – Распределение разрядной сетки при представлении числа с фиксированной запятой.
Отметим следующую особенность. Если исходные данные имеют неограниченное число верных знаков, то форма представления с фиксированной запятой позволяет их представить с абсолютной величиной погрешности не превышающей половину младшего разряда, т.е. . Таким образом, и абсолютная величина погрешности представления таких чисел не превышает . Этот факт, опуская подробности, иногда формулируют и так: в форме с фиксированной запятой числа представляются с одинаковой абсолютной погрешностью.
Форма представления с плавающей запятой предполагает, что оно представлено в виде
,
где или1 , , число называетсямантиссой, число р,- порядком. В этом случае разрядная сетка распределяется таким образом: два разряда выделяется под знаки мантиссы и порядка, разрядов выделяется под мантиссу и разрядов, - под порядок (Рисунок 1.2).
nm – разрядов, мантисса nf – разрядов, порядок
1 разряд, 1 разряд,
знак mx знак порядка
Рисунок 1.2. – Один из вариантов распределения разрядной сетки при представлении числа с плавающей запятой.
В данном случае интересным является то обстоятельство, что верхние оценки для относительных погрешностей чисел, представленных в форме с плавающей запятой, являются одинаковыми. Действительно, предположим, что исходные данные имеют неограниченное число верных знаков. Тогда, вследствие погрешности округления абсолютная величина погрешности их представления и оценка для относительной имеет вид
.
Таким образом, для любогоx допускаемого разрядной сеткой.
1.8. Варианты индивидуальных заданий
Дана функция
, .
В таблице 1.2 приведены приближённые значения , содержащие верные значащие цифры. Значенияявляются точными.
Необходимо:
определить абсолютные и относительныепогрешности исходных данных, указать диапазоны расположения их точных значений;
вычислить значение функции с учётом и без учета правила подсчёта значащих цифр, сравнить результаты;
определить абсолютную и относительнуюпогрешности функции, указать диапазон расположения её точного значения.
Таблица 1.2. Исходные данные для расчёта
-
Вариант №
а11
а12
а22
x1
x2
1
1
-0,1
3
-0,17
0,4973
2
2
-4
0,5
1,47
-0,34134
3
-2
1
-0,8
-1,01
0,49992
4
3
-0,9
7
4,97
-0,43576
5
6
1
0,8
-2,01
19,3412
6
2
3
-0,6
0,18
-1,396
7
1
-3
0,7
2,0
-0,9754
8
4
0,7
9
-0,62
1,93985
9
6
0,4
-7
0,39
-0,1697
10
3
-0,6
2
-3,6
0,48129
11
0,8
5
-1
-1,5
0,98817
12
8
0,3
-9
0,67
4,97117
13
0,4
-8
2
1,10
-3,2222
14
4
0,2
-3
0,4984
-0,18
15
0,9
5
7
-0,43143
1,56
16
-5
0,1
7
-0,49299
1,20
17
5
0,5
-4
0,45387
-7,49
18
0,9
4
-8
-1,93421
2,00
19
2
3
0,9
6,391
-0,81
20
0,5
-9
6
0,5749
-2,0
21
8
0,2
6
1,99358
-0,26
22
3
-0,3
8
1,69740
-0,93
23
-2
0,4
8
-4,8291
6,3
24
0,7
3
-5
9,1878
-5,1
25
4
0,8
9
7,94711
-7,6