1.2.Абсолютные и относительные погрешности приближённых чисел

Эти понятия относятся к числу базовых в теории погрешностей.

Обозначим через точное значение некоторой величины, черезx ,- его приближенное значение. Тогда разность называетсяпогрешностью приближённого числа x. При действиях с приближёнными числами обычно известно, что абсолютная величина погрешности не превосходит некоторой величины, т.е.

Величина представляет собой оценку абсолютной величины погрешности и называетсяабсолютной погрешностью приближённого числа x. Естественно, в качестве , по имеющейся информации, выбирают наименьшую величину, удовлетворяющую указанному условию. Отметим, что при наличииможет быть установлен и диапазон расположения точного значенияx. Действительно, т.к. , то.

Отношение

представляет собой относительную погрешность приближенного числа x. Но т.к. , вообще говоря, не известна, то в качестве относительной принимают верхнюю оценкумодуля этого отношения. Т.е. величина, такая, что

называется относительной погрешностью числа x. Очевидно, что и.

Иногда величину выражают и в процентах. Заметим, что при наличиитакже может быть установлен диапазон расположения точного значения. Действительно, так как

,

то .

1.3. Погрешности выполнения арифметических операций

Установим характер развития погрешностей при выполнении арифметических операций. Обозначим , где- один из символов ± , ∙, ÷ . Будем считать известными погрешности операндов ∆(x), ∆(y), δ(x), δ(y) и обозначим через ,,их точные значения.

Сложение. В данном случае , где- числа одного знака. Тогда справедливы следующие оценки

.

Таким образом, имеем

, (1.1)

т.е. абсолютная погрешность суммы двух приближённых чисел равно сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Полученный результат очевидным образом обобщается и на произвольное число слагаемых.

Далее, так как

,

то

. (1.2)

Вычитание. В данном случае , где значения- числа одного знака. Также, как и в случае сложения, здесь

т.е.

, (1.3)

что совпадает с (1.1).

Таким же образом,

,

и

, (1.4)

что совпадает с (1.2).

Анализ выражений (1.3), (1.4) показывает, что при вычитании близких чисел , т.е. при z → 0, погрешность ∆(z) может превышать результат, а величина δ(z)→ ∞. Поэтому при вычислениях необходимо избегать вычитания близких чисел.

Умножение. В данном случае . Тогда

Далее, учитывая

,

имеем

.

Таким образом

, (1.5)

а

. (1.6)

Отметим, если или‹‹ 1, то

. (1.6₁)

Деление. В данном случае . Тогда

Учитывая, что , имеем

.

Таким образом

, (1.7)

Здесь, естественно, предполагается, что .

Далее, так как

,

то

(1.8)

Если ‹‹ 1, то

,

что совпадает с (1.6₁).

Сведём в таблицу полученные результаты.

Таблица 1.1. Погрешности выполнения арифметических операций

№	Операция			Примечания
1.	z=x+ y
2.	z=x - y
3.	z=x∙y			, если или ‹‹1
4.				, если ‹‹1