2. Рекомендации к выполнению курсовой работы

С электронных таблиц MS Excelвыполнить следующие действия:

1. Ввести исходные данные, соответствующие варианту задания. Проанализировать экспериментальную зависимость. Построить график экспериментальных точек.

2. Рассчитать коэффициенты регрессии, коэффициент корреляции, среднеквадратичные отклонения и суммарную ошибку. Построить в одной графической области экспериментальные точки и линию регрессии.

3. Вычислить коэффициенты функциональной зависимости, соответствующей варианту задания. Построить в одной графической области экспериментальные точки и график подобранной функциональной зависимости. Определить суммарную ошибку. Вычислить индекс корреляции.

4. Построить в одной графической области экспериментальные точки и линию тренда. Определить степень достоверности подбора линии тренда и суммарную ошибку.

5. Провести сравнительный анализ полученных результатов и построить в одной графической области график экспериментальных точек, линию регрессии, линию тренда и график полученной экспериментальной зависимости.

6. Сделать выводы.

3. Математическая модель поставленной задачи

Метод наименьших квадратов используется при обработке реальных количественных данных, полученных в результате всевозможных научных опытов, технических испытаний, астрономических, геодезических и т.п. наблюдений.

Пусть в результате эксперимента были получены некоторые данные, представленные в виде таблицы:

xi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	…	xn
yi	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	…	yn

Необходимо построить аналитическую зависимость, наиболее близко описывающую результаты эксперимента.

Идея метода наименьших квадратов заключается в том, что функцию

Y = f(x, a₀ a₁, ..., a_k)

необходимо подобрать таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений y_i от расчетных Y_i была наименьшей (рис. 1):

(1)

Задача сводится к определению коэффициентов a_i из условия (1). Для ее решения необходимо составить систему уравнений

Рис. 1. Геометрическая интерпретация метода наименьших квадратов

Если параметры a_i входят в зависимость Y = f(x, a₀ a₁, ..., a_k) линейно, то получим систему из k-линейных уравнений с k неизвестными:

(2)

Зная коэффициенты a_i, являющиеся решением системы (2), можно составить искомую функцию Y = f(x, a₀, a₁, ..., a_k).

3.1 Подбор параметров линейной функции

Пусть необходимо определить параметры функции:Y = a₀ + a₁x.

Составим многочлен (1) для заданной функции:

Сформируем систему линейных уравнений (2) решив которую, определим коэффициенты функции Y = a₀ + a₁x:

,

. (3)

3.2. Квадратичная функция

Необходимо определить параметры функции: Y = a₀ + a₁ x + a₂ x².

Составим функцию (1):

.

После дифференцирования система уравнений (2) примет вид:

(4)

Решив систему (4), найдем значение параметров a_o, a₁, a₂.

3.3. Кубическая функция

Необходимо определить параметры многочлена третьей степени:

Y = a_o + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³.

Составим функцию

Система уравнений для вычисления параметров a_o, a₁, a₂, a₃ примет вид:

(5)