- •Часть 1. Математические основы теории искусственного интеллекта
- •1.1. Общие сведения
- •1.2. Основные операции и функции
- •1.3. Основные понятия
- •1.4. Синтаксис
- •1.5. Функции. Законы и свойства операций и функций
- •1.5.1. Таблицы истинности основных логических функций
- •1.5.2. Операции и функции нечеткой логики
- •1.5.3. Законы и свойства операций
- •1.6. Особенности синтаксиса исчисления предикатов
- •1.6.1. Запись утверждения в языке исчисления предикатов
- •1.6.2. Синтаксические приемы в кванторных утверждениях
- •1.6.3. Отрицание кванторов
- •1.7. Семантика исчисления высказываний
- •1.8. Правила вывода
- •1.8.1. Преобразования к нормальным формам
- •1.8.2. Модус поненс (сокращение посылки)
- •1.8.3. Цепное заключение
- •1.9. Стратегии доказательств в четкой логике
- •1.9.1. Понятие доказательства в логике
- •1.9.2. Доказательство введением допущения
- •1.9.3. Приведение к противоречию
- •1.9.4. Метод резолюций
- •1.9.5. Доказательство теорем методом резолюции в ип
1.9.2. Доказательство введением допущения
Для доказательства истинности импликации ABдопускают истинностьAи доказывают истинностьB. ЕслиBдоказано, то импликация истинна. Этот метод базируется на двух теоремах.
Теорема1.ABтогда и только тогда, когдаAB
Т.е. доказуемость заключения Bиз допущенияAэквивалентна доказуемости следованияBизAбез дополнительных допущений. Истинность этой теоремы проверяется по таблице истинности.
Теорема 2. A1, A2, ... AnBтогда и только тогда, когда(A1^A2^...^An)B.
Эта теорема есть расширенная формулировка первой.
1.9.3. Приведение к противоречию
Доказательство введением допущения в приведенной выше формулировке называется методом прямой волныи имеет определенный недостаток: сложно запрограммировать его для ЭВМ так, чтобы вывод всегда шел по оптимальному пути. Если не ограничить глубину вывода, он может привести к массе ненужных результатов, не достигнув искомого.
В ряде случаев полезнее метод поиска от цели, основанный на равнозначности (BC)(~C~B). Т.е., допустив ~C, доказывают ~B. Если ~Bудается доказать, то доказанным считаетсяBC.
Комбинацией этих методов является метод приведения к противоречию. Здесь допускают, что ~(BC). Получив противоречие, делают вывод, что исходное предположение не верно, а верна его инверсия, т.е.BC.
1.9.4. Метод резолюций
Метод резолюций основан на правиле, называемом принципом резолюций. Принцип резолюций включает в себя принцип отыскания частных случаев (правило подстановки) и принцип силлогизма, который формулируется следующим образом (см. теоремы из п. 1.9.2):
(XA)(Y~A)(XY)
(XA),(Y~A) (XY)
Суть метода доказательства, основанного на принципе резолюций в следующем.
Исходные данные: множество посылок H= {H1,H2, ...Hn}, заключение С.
Необходимо доказать: (HC)(H1,H2, ...HnC).
Для этого произведем следующие преобразования последней формулы:
H1, H2, ... HnC = ~(H1H2...Hn)C = ~((H1H2...Hn)~C)
и применим метод приведения к противоречию, т.е. попытаемся доказать ложность этой импликации, иными словами, попытаемся доказать, что
H1H2...Hn~C = T
Основные этапы метода резолюций:
Составляется формула из всех посылок Hiи отрицания заключения ~C. Она приводится к КНФ.
Каждый дизъюнкт КНФ выписывается с новой строки.
Производится слияние дизъюнктов, содержащих взаимные инверсии одного и того же атома, согласно принципу резолюций. Результат слияния дизъюнктов называется резольвентой.
Если в результате остаются дизъюнкты типа Pи ~P, очевидно, что их конъюнкция равнаF, или можно сказать, что результатом их конъюнкции будет пустой дизъюнкт. Значит, наше предположение не верно, а верна доказываемая импликация.
Алгоритм получения резольвенты (этап 3) для ИП выглядит следующим образом:
Переменные переименовываются так, чтобы все индивидуальные переменные в одном предложении отличались от индивидуальных переменных в другом предложении.
Находится минимальная подстановка констант вместо переменных, которая делает литеры идентичными, но с противоположными знаками.
Подстановка выполняется в обоих выбранных предложениях.
Если в предложении (дизъюнкте) имеются одинаковые литеры, они вычеркиваются, кроме одной (согласно правилу идемпотентности).
В двух выбранных предложениях вычеркиваются взаимоинверсные литеры и производится образование нового дизъюнкта согласно принципу резолюций.
С использованием принципа резолюций можно разработать программу, которая за конечное число шагов найдет резольвенты двух предложений. Принцип резолюций является достаточным как для нахождения доказательства, так и для отыскания следствий. Цель процедуры нахождения доказательства состоит в том, чтобы показать невыполнимость отрицания подлежащей доказательству теоремы, т.е. это отрицание должно приводить к противоречию. Робинсон доказал, что если конечное множеств предложений несовместимо, то противоречие может быть обнаружено за конечное число применений принципа резолюций.
Пример для ИВ.Доказать (PQ),(PS),(ST),(TR)(QR)
(PQ)(PS)(ST)(TR)~(QR) = (~PQ)(PS)(~ST)(~TR)~Q~R
Запишем дизъюнкты: 1) ~PQ 2) PS 3) ~ST 4) ~TR 5) ~Q 6) ~R
Производим слияние дизъюнктов: 7) Из (1) и (2): QS8) Из (3) и (4): ~SR9) Из (7) и (8):QR10) Из (5) и (9):R11) Из (6) и (10): # =F
Делаем вывод об истинности импликации.