1.8. Правила вывода

1.8.1. Преобразования к нормальным формам

Любая формула может быть представлена в эквивалентной КНФ.

Методику преобразования рассмотрим на примере:

(P(QR))((PS)R)

1. Исключение эквивалентностей и импликаций (замена конъюнкциями и дизъюнкциями).

(P(QR))((PS)R) = ~(P(QR))((PS)R) = ~(~P(QR))(~(PS)R) = ~(~P(QR))(~(PS)R) = ~(~P(~QR))(~(PS)R)

2. Продвижение отрицаний в глубь формул (применение правил де Моргана).

~(~P(~QR))(~(PS)R) =P~(~QR))(~(PS)R) =PQ~R(~P~SR)

3. В ИП исключение кванторов существования. Это невозможно сделать до п.2, т.к. при перенесении отрицания кванторы могут взаимозаменяться. Кванторы существования заменяются путем операции "скулемизации", названной в честь логика Скулема. Рассмотрим два случая:

1. Переменная x связана квантором существования (x), который не находится в области действия никакого квантора общности. Таким образом, переменная x принимает значения, удовлетворяющие следующему за квантором выражению, и набор этих значений не зависит ни от какой другой переменной. В этом случае квантор опускается, а все вхождения x, связанные с ним, заменяются на т. наз. "скулемовскую константу", например, a. Такая замена указывает на то, что выражение верно не для любого значения x, а для некоторого a.

2. Переменная x связана квантором существования, который находится в области действия какого-то квантора общности. Это означает, что для всех значений связанной этим квантором переменной y найдутся какие-то (для каждого значения y свои) значения x, при которых выражение верно. Таким образом, переменная x, принимает значения зависящие от y. В этом случае x заменяют какой-то функцией f(y).

4. В ИП вынесение вперед всех кванторов общности.

5. Применение дистрибутивного и ассоциативного законов, свойства отрицания

PQ~R(~P~SR) = (P(~P~SR))(Q(~P~SR))(~R(~P~SR)) = ~P~SRQ

В результате получилась КНФ, состоящая из одного дизъюнкта.

1.8.2. Модус поненс (сокращение посылки)

Методики логики применяются для вывода новых истинных высказываний из имеющихся. При этом истинность имеющихся предполагается. Одно из классических правил вывода - модус поненс. Его формулировка: Если истинно Aи истинно то, чтоAВЛЕЧЕТB, то истинноB:

A(AB)B

Докажем приведенное правило при помощи изложенной методики:

A(AB)B = ~(A(AB))B = ~(A(~AB))B = ~(A~AAB)B = ~A~BB = T

1.8.3. Цепное заключение

Цепное правило (заключение) позволяет вывести новую импликацию из двух заданных. Если AВЛЕЧЕТBИBВЛЕЧЕТC, тоAВЛЕЧЕТC.

Очевидно, что AB. Также очевидно, чтоBC. Согласно цепному заключению:

((AB)(BC))(AC)

Доказательство:

((AB)(BC))(AC) = ~((AB)(BC))(AC) = ~((~AB)(~BC))(~AC) = ~(~AB)~(~BC)(~AC) = A~BB~C~AC = A~B(~ABC)  (~AC~C) = (A~ABC)(~AB~BC) = T

1.9. Стратегии доказательств в четкой логике

1.9.1. Понятие доказательства в логике

Доказательство в логике базируется на методах установления тавтологичности формул:

1. По таблице истинности проверить, что формула всегда истинна.

2. При помощи законов булевой алгебры привести формулу к всегда истинному выражению (типа, например, A~A).

Проблема доказательства в логике состоит в нахождении доказательства истинности формулы B(заключения), если предполагается истинность формулA₁,A₂, ...A_n (посылок):

A₁, A₂, ... A_nB

Методы доказательств соответствуют методам установления тавтологичности:

1. Перечисляются все атомы, входящие в формулы A₁,A₂, ...A_n,B, и составляется таблица истинности. Если в строках, где всеAистинны, истинно иB, то доказательство проведено. Общий вид таблицы:

a1	a2	…	ak	A1	A2	…	An	B

Недостаток данного способа - трудоемкость.

2. Записываются посылки и при помощи правил вывода выводятся другие истинные формулы. Вывод может быть многоэтапен вплоть до нахождения искомого заключения.

При выводе используются понятие тавтологии и ряд конкретных полезных тавтологий. Из понятия тавтологии следует истинность ее при любых значениях входящих в нее атомов. Следовательно, подставляя вместо атома любую формулу, мы будем получать истинное выражение, т.е. снова тавтологию. Эта новая тавтология называется подстановочным частным случаем исходной формулы или результатом подстановки.

Этот принцип называется правилом подстановкив ИВ ипринципом отыскания частных случаевв ИП.Формулировка: ЕслиF(V₁,V₂, ...,V_n) - тавтология, тоF(t₁,t₂, . . .,t_n) - тавтология, где термамиt_iпо определению являются:

• константа;

• переменная;

• функция других термов.

В литературе [1] приводят некоторые полезные тавтологии, употребляемые при доказательствах:

A(AB)B (модус поненс)

~B(AB)~A

(AB)((AC)(BC))

Выделяют ряд стратегий доказательства. Рассмотрим их ниже.