1.5. Функции. Законы и свойства операций и функций

1.5.1. Таблицы истинности основных логических функций

Булева алгебра (алгебра логики) позволяет оперировать с логическими выражениями, т.е. с выражениями, которые могут принимать два значения. Названа в честь математика Джорджа Буля (1815 - 1864).

Для набора из Nлогических переменных может быть составленологических функций. Например, для одной логической переменной количество возможных логических функций - 4 (таблица 2).

Таблица 2 - Возможные логические функции одной переменной

X	F1(x)	F2(x)	F3(x)	F4(x)
F	F	F	T	F
T	F	T	F	T

Из приведенного примера видно, что не все из возможных логических функций имеют практическую ценность. В данном случае интерес представляет только функция F₃(x) - инверсия или отрицание.

Для набора из двух логических переменных существует 16 возможных логических функций. Таблицы истинности 5-и наиболее применимых из них приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Основные логические функции двух переменных

X	y	and	or			
F	F	F	F	T	T	F
F	T	F	T	T	F	T
T	F	F	T	F	F	T
T	T	T	T	T	T	F

1.5.2. Операции и функции нечеткой логики

Для нечеткой логики булевы функции обобщаются:

1. Включение (доминирование, импликация)

Понятие «включение» очевидно из теории множеств:

AB–BвключаетAилиBдоминирует надA.

Применительно к нечетким множествам данная операция означает, кроме того, следующее:

AB: (xU)_A(x)_B(x), гдеU– универсальное множество.

Если для перехода к четкой логике считать множества четкими логическими переменными, а функции принадлежности – логическими константами ₀= 0,₁= 1, получим:

AB:_A_B, что полностью соответствует таблице истинности.

2. Дополнение (отрицание)

Отрицанием нечеткого множества Aназывается множествоB=Aтакое, что

(xU)_B(x) = 1 - _A(x)

Объединением двух взаимодополняющих нечетких множеств является универсальное множество.

Кроме операции дополнения или отрицания для нечетких множеств определяют операцию равенства:

A = B: (xU)_B(x) = _A(x)

3. Пересечение (конъюнкция)

Пересечением ABдвух нечетких множеств называется наибольшее нечеткое множество, входящее одновременно вAиB.

_AB(x)=min{_A(x), _B(x)}

4. Объединение (дизъюнкция)

Объединением ABдвух нечетких множеств называется наименьшее нечеткое множество, включающее одновременноAиB.

_AB(x)=max{_A(x), _B(x)}

5. Разность

Разностью A-B=ABдвух нечетких множеств называется нечеткое множество с функцией принадлежности

_A-B(x)=  _{A B}(x)=min{_A(x), 1-_B(x)}

6. Дизъюнктивная сумма

Дизъюнктивной суммой AB= (A-B)(B-A) = (AB)(AB) называется нечеткое множество с функцией принадлежности:

_AB(x) = max { min [_A(x), 1-_B(x)], min [1-_A(x), _B(x)] }

Кроме логических операций над нечеткими множествами определяют алгебраические операции, отчасти аналогичные логическим:

1. Алгебраическое произведение (аналог пересечения)

Алгебраическим произведением ABдвух нечетких множеств называется нечеткое множество с функцией принадлежности:

_AB(x) = _A(x)_B(x)

При переходе к четкой логике разница между алгебраическим произведением и пересечением исчезает. Алгебраическое произведение есть более строгая операция, чем пересечение, т.к. _AB(x)_AB(x).

2. Алгебраическая сумма (аналог объединения)

Алгебраической суммой AB нечетких множеств называется нечеткое множество с функцией принадлежности:

_AB(x) = _A(x)+_B(x)-_A(x)_B(x)

При переходе к четкой логике разница между алгебраической суммой и объединением исчезает. Алгебраическая сумма есть менее строгая операция, чем объединение, т.к. _AB(x)_AB(x).

3. Возведение в степень – определяется на основе алгебраического произведения:

.

Результатом возведения нечеткого множества в степень является нечеткое множество, которое:

1. Имеет ту же моду, что и исходное.

2. Обладает следующим свойством функции принадлежности: _A^(x) <_A(x) при>1_A^(x) >_A(x) при<1

Частными случаями возведения в степень являются:

CON(A) =A²– операция концентрирования

DIL(A) =A^0.5– операция растяжения

(привести рисунки)