1.4. Синтаксис

Для описания синтаксиса исчисления используется нотация Бэкуса-Наура или бэкусовская нормальная форма – БНФ. Правила БНФ:

1. Каждое имя, заключенное в угловые скобки, есть тип объекта.

2. Определение каждого типа объектов начинается с его появления слева от знака "::=".

3. Справа от этого знака записываются различные способы записи синтаксически корректных объектов этого типа, разделенные вертикальной чертой.

В целях определения порядка следования операций в БНФ используют скобки. В случае отсутствия скобок на порядок следования операций может влиять определенный для исчисления порядок старшинства операций.

Порядок старшинства операторов в формулах для любых логических исчислений следующий: ~, ^, ,,.

В ИВ формула есть составное высказывание, составленное по определенным правилам. Аналогичное определение можно дать фразе естественного языка. Построение формул подчиняется следующей совокупности правил:

1. Базис: всякое высказывание есть формула.

2. Индукционный шаг: если X,Y- формулы, то ~X,XY,X|Y,XY,XY- формулы.

3. Ограничение: формула однозначно получается с помощью правил 1 и 2, т.е. для составления формул не должны использоваться какие-то другие правила.

В БНФ синтаксис формул определяется следующим образом:

<формула>::=<литера>|~<формула>|

<формула><ОП><формула>

<ОП>::=^|||

<литера>::=<высказывание>|~<высказывание>

Синтаксис ИП.

В ИП и нечеткой логике применяют так называемый квантор общности . Квантор общности означает истинность высказывания для всей области значений указанных за ним переменных. Кванторы не применяются к предикатам.

Кроме квантора общности, вводят квантор существования . Он означает существование такого значения переменной, для которого следующая за ним формула будет истинна, и читается также "для некоторых".

<формула>::=<литера>|~(<формула>)|<квантор>(<формула>)| (<формула>)<ОП>(<формула>)

<квантор>::=(<список переменных>)|(<список переменных>)

<список переменных>::=<переменная>|<переменная>,<список переменных>

<переменная>::=<идентификатор>

<ОП>::=^|||

<литера>::=<атом>|~<атом>

<атом>::=<предикат>|<предикат>(<список термов>)

<список термов>::=<терм>|<терм>,<список термов>

<терм>::=<константа>|<переменная>|<функция>(<список термов>)

<константа>::=<идентификатор>

<функция>::=<идентификатор>

<предикат>::=<идентификатор>

Итак, формула может быть построена из других формул с использованием унарных и бинарных логических операторов. В начале формулы может быть квантор. Простейшая формула есть литера, представляющая собой предикат или его отрицание. Предикат может быть константным (т.е. иметь 0 аргументов). Аргументами предиката являются термы. Термом может быть, в том числе, функция.

В ИВ существуют два метасимвола, не входящих в формулы, но используемых для утверждений о формулах.

Символом обозначают отношение семантического следования. ЗаписьAозначает, чтоA- есть тавтология, соответствует формулировкам "общезначимо", "всегда" и является аналогом квантора общности в ИП.

Символом обозначают отношение выводимости. ЗаписьAсоответствует формулировкам "верно, что", "имеет место" и является аналогом квантора существования в ИП..

Например, можно высказать PQ, где знакбудет означать верность следования некоторогоQиз некоторогоP. ФормулировкаP(PQ) будет означать верность данной импликации для всехPиQ, независимо от их значений (что можно проверить по таблице истинности).