Физика / Физика / Механика (2-8) PDF / Mет. 6

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

6

Определение массы и средней плотности Земли методом математического маятника

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СРЕДНЕЙ ПЛОТНОСТИ ЗЕМЛИ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Краткая теория

Цель данной работы:

Измерить ускорение силы тяжести в данной точке Земли с помощью математического маятника (14) и по измеренному значению g вычислить массу Мз (9) и среднюю плотность (10) Земли.

1. Закон всемирного тяготения

Фундаментальным законом механики является закон всемирного тяготения (гравитации), установленный И. Ньютоном в 1687 году. Согласно этому закону любые две материальные точки взаимодействуют с силой , пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила взаимного притяжения двух частиц или тел называется гравитационной силой или силой всемирного тяготения . Согласно закону всемирного тяготения каждая час тица планеты и планета в целом притягивается Солнцем. Солнце же в свою очередь притягивается планетой. Все тела, находящиеся на данной планете и планета взаимно притягиваются. С помощью закона всемирного тяготения описыва ют с высокой степенью точности движение космических тел, а также предсказывают на много лет вперед солнечные и лунные затмения, что является основной проверкой этого закона.

Закон всемирного тяготении можно выразить математически, обозначив

определен экспериментально английским физиком Г.Кавендишем (1731-1810) с помощью крутильных весов и назван

гравитационной постоянной. Физический смысл постоянной тяготения выясняется, если в формуле (1) положить m1 m2 1кг , r 1м. Тогда F . Это

значит, что постоянная тяготения равна силе тяготения между двумя точечными массами в 1кг каждая, находящихся на расстоянии 1м друг от друга.

2. Если же тело движется вниз с ускорением a g (см. рис. 2) вес уменьшается, т.е.

Рис.2

P m ( g a ) . (3)

Сила тяжести в этом случае лишь частично проявляет себя статически, деформируя тело, а частично проявляет себя динамически, сообщая телу

ускорение a.

3. Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории в любом направлении, сила тяжести полностью проявляет себя динамически в сообщении ускорения a g и статического действия не оказывает. Тело не

деформируется и не давит на опору, P 0 , т.е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, нахо дящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

3. Изменение силы тяжести и веса тела с широтой места

Тела в поле сил тяготения Земли испытывают действие нескольких сил. С точки зрения наблюдателя, находящегося во вращающейся (неинерциальн ой) системе отсчета, связанной с Землей, на тело, находящееся на поверхности Земли действуют:

1.сила гравитационного тяготения ( F) (1), направленная к центру

Земли.

2.центробежная сила ( f ) , направленная по радиусу (r)

перпендикулярному оси вращения и определяемая формулой : f mw2r mw2 R cos fe cos ,

где w 7,3 10 5 рад/с - угловая скорость суточного вращения Земли ;

полюс

F F

G P F

Ge экваторf

Рис. 3

fe mw2 R - величина центробежной силы на экваторе. Результирующая этих двух сил является силой тяжести G см. рис. 3.

На рис. 3 схематически изображены различные положения тела m на поверхности Земли: в средних широтах, на полюсе и на э кваторе.

Если бы Земля была бы шаром и не вращалась вокруг своей оси, то сила

тяжести G на Земле была бы равна силе тяготения F . Однако Земля вращается с постоянной скоростью, совершая один оборот за 24 часа. На экваторе её линейная скорость составляет 465 м/с и центробежная сила f

имеет максимальное значение, на полюсах же она равна нулю. Вследствие этого, при образовании земного шара, когда его поверхность не была достаточно твердой, некоторая масса Земли «сползла» от полюсов к экватору и земной шар стал иметь форму, близкую к эллипсоиду вращения, сплюснутому около полюсов и вытянутому у экватора. Поверхность этого эллипсоида всюду перпендикулярна направлению действия силы тяжести (G ).

Покажем, что сила тяжести G зависит от места расположения тела, в

частности от широты φ.

Рассмотрим заштрихованный треугольник (см.рис. 3) и, воспользовавшись теоремой косинусов, найдем значение силы тяжести в любой то чке Земли:

G2 F 2 f 2 2 fF cos F 2 fe2 cos2 2 fe F cos2 . Вычисляя отношение второго слагаемого к третьему:

видим, как оно мало, по сравнению с третьим. Пренебрегая им, п олучим:

Эта формула в общем виде выведена еще в середине Х YIII в. известным французским математиком и астрономом А. Клеро и получила его имя (математическое выражение закона Клеро).

Из закона Клеро (7) следует:

На экваторе (φ=0°) ge = 9,78049 м/с2 - наименьшее; На полюсах (φ=90°) ge = 9,83235 м/с2 - наибольшее ;

На широте (φ=45°) ge = 9,80665 м/с2 - называется нормальным. Ускорение силы тяжести варьирует от полюса к эк ватору на 5,2·10-2 м/с2: а) за счет центробежной составляющей – на 3,4·10-2 м/с2, б) за счет изменения радиуса - на 1,8·10-2 м/с2.

В большинстве практических задач пренебрегают влиянием несферичности Земли и её суточного вращения вокруг своей оси и полагаю т, что сила тяжести (3) примерно равна силе гр авитационного тяготения (2), т.е.

G F mM

R h 2

Измерение ускорения силы тяжести методом математического маятника

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на конце невесомой и нерастяжимой нити, второй конец которой закреплён неподвижно. Близким к математическому маятнику является тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой н ити (рис.4).

При отклонении маятника от положения равновесия возникает возвращающая сила F, которая стремится вернуть его в положение ра вновесия: