Физика / Физика / Механика (2-8) PDF / Mет. 5
.pdfФедеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет
5
Определение момента инерции тела произвольной формы методом крутильных колебаний
Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения
Ухта
2007
УДК 53 (075) П 27
ББК 22.3 Я7
Перфильева, Э.А. Определение момента инерции тела произвольной формы методом крутильных колебаний [Текст]: метод. указания / Э.А. Перфильева. – Ухта: УГТУ, 2007. – 11 с.: ил.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторных работ по теме «Механика твердого тела» для студентов специальностей 290700, 290300 и направлению 550100.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 19.02.07., пр. № 5.
Содержание методических указаний соответствует рабочей учебн ой программе.
Рецензент: |
Серов И.К., доцент кафедры физики Ухтинского государствен - |
||
|
ного технического университета. |
||
Редактор: |
Северова Н.А., доцент кафедры физики Ухтинского |
||
|
государственного технического университета. |
||
В методических указаниях учтены предложение рецензента и редактора. |
|||
План 2007 г., позиция |
32 |
|
|
Подписано в печать |
04.06.2007. |
. |
|
Компьютерный набор: Лодыгина Л.В., гр. ИСТ – 05. |
|||
Обьем 11 с. |
Тираж 60 экз. Заказ № |
211 |
|
©Ухтинский государственный технический университет, 2007 169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
Отдел оперативной полиграфии УГТУ. 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ А ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Краткая теория
Если в динамике поступательного движения инерционные свойства тела полностью определяются его массой, то в динамике вращательного движения они определяются не только массой, но и её р аспределением вокруг оси вращения. Поэтому во вращательном движении вводится величина, определяющая инертные свойства вращающегося тела, называемая моментом инерции тела. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется пр оизведение массы материальной точки на квадрат её расстояния до этой оси:
J m r 2 . |
(1) |
i i |
|
Моментом инерции тела называется величина, равная сумме моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело:
n |
|
|
J mi ri |
2 . |
(2) |
i 1
Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу по всему объёму тела:
J r 2 dm . |
(3) |
Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z. Путем интегрирования находятся моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы. Моменты инерции некоторых и з них даны
в следующей таблице:
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Тело |
|
момент |
Положение оси вращения |
||
|
инерции |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полый |
цилиндр |
|
0' |
|
|
1 |
mR2 |
|
|
|
||
|
или обруч |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
Сплошной |
|
|
0' |
|
|
2 |
|
1/2 mR2 |
|
|
|
|
цилиндр или диск |
|
|
|
|||
0 |
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
3
|
Тонкий стержень |
|
|
|
|
0' |
|
|||
|
длиной l : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
а) с осью через |
1 |
/12 |
ml |
2 |
|
|
|
|
|
центр |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
б) через конец |
1/3 |
m l2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
стержня |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Кольцо с |
|
|
|
|
0' |
|
|
|
|
|
радиусами R и r |
1/2 m(R2+ r2) |
|
R |
r |
|||||
|
(внешним и |
|
||||||||
|
внутренним) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0' |
|
|
|
|
5 |
Сплошной шар |
2/5 |
m R2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Если известен момент инерции J0 тела относительно оси, проходящей через центр масс, то можно найти момент инерции относ ительно любой оси параллельной данной, используя теорему Штейнера:
Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен его моменту инерции J0 относительно параллельной оси и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:
J J0 ma2 . |
(4) |
Используя эту теорему, можем для примера определить момент инерции J сплошного диска относительно оси, проходящей через образующую диска
перпендикулярно его плоскости (рис.1). Из таблицы 1 находим, что J0 = |
1 |
m R2, |
||||||
расстояние между осями а = R. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По теореме Штейнера получим: |
1 mR 2 |
|
|
3 |
mR 2 . |
|
|
|
|
J J 0 mR 2 |
mR 2 |
|
|
|
|||
0′ |
2 |
|
|
|||||
0 |
2 |
|
|
|
|
|
||
a 
В случае тел неоднородных и тел неправильной формы моменты инерции находятся экспериментально.
Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси:
0′ |
0 |
|
J 2 |
(5) |
|
|
|
2 |
|
Рис. 1 |
|
где - угловая скорость вращения. |
|
|
4
Из формулы (5) видно, что чем больше момент инерции тела, тем большую энергию надо затратить для достижения данной скорости, т.е. момент инерции – есть мера инертности вращающегося т ела.
Описание установки, вывод рабочих формул
Установка, с помощью которой можно определять моменты инерции тел произвольной формы, представляет собой трифилярный подвес (рис. 2), состоящий из верхней и нижней платформ, соединенных между собой тремя нитями. Верхняя платформа неподвижна, нижняя может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через центры платформ.
Колебания нижней платформы со вершаются за счет потенциальной энергии, приобретенной в результате поворота ее на угол . Если угол закручивания мал, то
колебания платформы будут гармоническими и изменение угла со временем будет происходить по
синусоидальному закону:
0 sin 2T t , (1)
где T- период колебания;
t - время от начала колебаний;
Рис. 2
Пусть платформа массы m в результате поворота ее на угол поднялась на
высоту h. Тогда ее потенциальная энергия относительно положения равновесия будет равна:
E mgh . |
(2) |
При опускании платформа придет во вращательное движение и пройдет по инерции положение равновесия с кинетической энергией:
E |
|
|
J |
2 |
, |
(3) |
||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
d |
|
||
где J – момент инерции платформы; |
|
|
|
|
- угловая скорость платформы. |
|||
|
|
|
||||||
|
|
dt |
||||||
Пренебрегая потерями энергии на трение, можно записать закон сохранения энергии для платформы в виде:
mgh |
|
|
J |
2 |
. |
(4) |
|
2 |
|
|
|||||
Откуда: |
|
|
|
|
|
||
2 mgh |
|
|
|
|
|||
J |
|
. |
(5) |
||||
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
5
Высота подъема платформы h может быть определена из простых геометрических соображений (см. приложение):
h |
|
rR |
02 |
, |
(6) |
|
2 |
l |
|||||
|
|
|
|
где r и R радиусы платформ; l – длина нити.
Дифференцируя по времени выражение (1), получим:
|
|
|
d |
|
|
2 0 |
Cos |
2 |
|
t . |
|
|||||
|
dt |
|
|
|
T |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
||||
Т.к. при прохождении положения равновесия |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
cos |
|
2 |
|
t 1 |
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
и |
|
2 |
|
4 |
2 02 |
. |
||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
||||||
Подставляя (6) и (7) в выражение (5), получим расчетную формулу:
J |
mgrRT |
2 |
|
. |
|||
|
4 2 l |
(7)
(8)
Полученное выражение (8) позволяет определить как момент инерции пустой платформы J1оп., так и системы: платформа + тело J2оп.. Чтобы определить момент инерции тела, следует из общего момента инерции вычесть момент
инерции пустой платформы.: Jоп J2оп J1оп. В данной лабораторной работе
исследуемым телом является кольцо, (диск). Необходимо определить его момент инерции опытным путем, используя формулу (8) и теоретически по формулам:
для кольца: |
J |
К |
|
|
1 |
|
|
m ( R |
K2 |
|
r K2 ) , |
(9) |
|
ТЕОР |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для диска: |
J |
Д |
|
. |
|
1 |
|
mR |
д |
2 |
, |
(10) |
|
ТЕОР |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
RK - внешний радиус кольца, (RД – радиус диска), rK - внутренний радиус кольца.
Выполнение работы
1.Измерьте радиусы верхней и нижней платформ и среднюю длину нитей. Результаты запишите в таблицу 1.
2.Возбудите колебания нижней платфо рмы, повернув ее двумя руками на малый угол 0 5 100 .
6
3.Убедившись, что платформа совершает чисто крутильные колебания, включите секундомер и измерьте время n=10 полных колебаний. Проведите опыт еще два раза. Найдите период колебаний пустой платформы:
|
|
T |
t ср |
. |
|
t t1 t2 t3 |
n |
||||
|
|
||||
- среднее время 10-ти колебаний платформы. |
|||||
ср |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.Положите кольцо, (диск) (по указанию преподавателя) на платформу так, чтобы центр кольца, (диска) совпадал с центром платформы. Измерьте аналогичным образом период колебаний платформы с телом.
5.По результатам измерений вычислите момент инерции пустой платформы ( J1оп ) и платформы с кольцом, (диском) ( J2оп) по формуле (8).
6.По формуле:
J |
|
|
m |
2 |
|
g |
|
2 |
|
r |
2 |
|
R |
2 |
|
|
T |
2 |
|
|
|
2 |
|
l |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J1оп |
m |
|
|
g |
|
|
r |
|
R |
|
T |
|
|
|
l |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
определите относительную погрешность измерения момента инерции пустой платформы. Для платформы с кольцом, (диском) она будет практически такой же. Абсолютную погрешность найдите так: ∆J=δ·J.
7.Вычитанием определите момент инерции кольца, (диска): Jоп J2он J1оп.
8.Окончательный результат запишите в таком виде:
Jоп J J.
9.Измерьте радиусы R и r кольца (или Rд для диска) и занесите данные в таблицу 2.
10.Определите момент инерции кольца (диска ) теоретически по формуле (9) или (10).
Оцените расхождение результатов:
J |
|
J оп. - J теор . |
100% |
|
J |
J оп. |
|||
|
. |
7
Таблица 1 для опытного определения момента инерции кольца (диска)
|
|
|
|
Платформа |
|
|
|
Платформа + тело (кольцо, диск) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m±∆m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ±∆R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ±∆r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l ∆l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tср ±∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T ±∆T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g ±∆g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π ±∆π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆J/J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J ±∆J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Jк ±∆J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Таблица 2 для теоретического определения момента инерции кольца |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(диска) |
|
|
|
|
|
||
|
mк mк |
Rк Rк |
|
|
|
Jк.теор |
|
J оп . J теор . |
% |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J оп . |
|
|
|
|
|
|
rк=… |
Rк=… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rд = ... |
|
|
m |
д = ... |
кг |
|
|
|
|||||
8
Приложение
Вывод формулы высоты подъема платформы h при крутильных колебаниях. Из рис 3 следует:
h OO1 BC BC1 |
BC 2 BC12 |
|
, известно, что |
|||||||
|
|
|
|
|
|
BC BC1 |
|
|||
BC 2 |
AB2 AC 2 l 2 |
R r 2 , |
|
|
или: |
|||||
BC12 BA12 A1C12 |
l 2 R2 r 2 |
2RrCos 0 , |
||||||||
то |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
2Rr 1 Cos |
|
|
|
4RrSin |
|
|
|
|
|
h |
0 |
|
|
2 |
, откуда |
|||||
BC BC1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
BC BC1 |
|||||
|
h |
|
Rr 02 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
||
Рис.3
Контрольные вопросы
1.Напишите выражение для момента инерции материальной точки; системы материальных точек; твердого тела. Какое свойство тел характеризует момент инерции?
2.В каких единицах измеряется момент инерции?
3.Чему равен момент инерции любого тела?
4.Какие кинематические характеристики используются для описания вращательного движения? Дайте их определения. Напишите выражения, связывающие угловые и линейные кинематические характеристики вращательного движения.
5.Сформулируйте теорему Штейнера.
6.Можно ли пользоваться предложенным методом для определения моментов инерции тел в том случае, если ось вращения не проходит через их центр тяжести?
7.Какие колебания называются гармоническими?
8.Запишите, как изменяется угол поворота трифилярного подвеса со временем.
9.Напишите выражение для угловой скорости трифилярного подвеса .
10.Напишите и поясните формулу кинетической энергии вращающегося тела.
11.Запишите закон сохранения энергии для колебаний нижней платформы.
Индивидуальные задания
1.Угол поворота тела при колебаниях меня ется со временем по закону:
2sin 3t( рад) .
Найдите период колебаний тела и угловую скорость смещения тела.
2.Используя теорему Штейнера, найдите момент инерции диска через ось, перпендикулярную его плоскости и проходящую через середину радиуса.
3.Вычислите кинетическую энергию платформы в поло жении равновесия, если в крайнем положении она приподнялась на 2 см. Использовать массу, указанную на установке. Трением пренебречь.
4.Крутильный маятник колеблется по закону косинусов с круговой частотой 0,2 рад/с. Максимальное отклонение ма ятника от положения равновесия 5°. Запишите уравнение колебаний этого маятника в системе СИ, если в момент времени t= 0, он находился в положении равновесия. Найдите период его колебаний.
5.Найдите угловую скорость платформы в положении равновесия, если при наибольшем отклонении от положения равновесия она приподнялась на 1 см. Трением пренебречь. Платформу рассматривать как сплошной однородный диск массы 500 г и радиуса 20см.
6.Определить момент инерции J кольца относительно оси, проходящей через середину внешнего радиуса перпендикулярно плоскости кольца. Внешний радиус кольца 20 см, внутренний радиус 10см, масса кольца 1кг.
7.Вычислить период колебаний платформы, если она за 2 с совершила 3 колебания..
8.Изменение угла поворота вращающегося тела от времени t происходит по
закону A Bt 2 Ct 3 , где
`
B = 4 рад/c2; C = -1 рад/c3;
Найти: а) угловую скорость в момент времени t = 2 c. в) угловое ускорение в момент времени t = 2 c.
9.В трифилярном подвесе нижняя платформа в виде диска массой 1кг и радиусом 20 см колеблется так, что угол ее поворота меняется по закону:= 3sin2t рад. Найти: 1) период колебаний платформы. 2) кинетическую энергию при прохождении положения равновесия. 3) На какую наибольшую высоту может подняться платформа при колебаниях? (0,36 Дж; 3,7 см)
3