Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1259 вузов, 4592 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Ухтинский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Физика / Физика / Механика (2-8) PDF / Mет. 2

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
89.98 Кб
Скачать
☆

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

2

Определение момента инерции махового колеса

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007

УДК 53 (075) Ш 19

ББК 22.3. Я7

Шамбулина, В.Н. Определение момента инерции махового колеса [Текст]: метод. указания/ В. Н. Шамбулина, В.А. Жевнеренко.– Ухта: УГТУ, 2007– 9 с.; ил.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по физике по теме «Механика твердого тела» для студентов специальностей 290700, 290300 и направлению 550100.

Методические указания рассмотрены и одобрены к афедрой физики 19.02.07., пр.№ 5

Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.

Рецензент: Филиппов Г.П., старший преподаватель кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.

Редактор: Северова Н.А., доцент кафед ры физики Ухтинского государственного технического университета.

В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.

План 2007г., позиция 29. Подписано в печать 16.04.2007.

Компьютерный набор: Логинова Н., гр. ИСТ-05.

Объем 9 с. Тираж 60 экз.

Заказ № 209.

©Ухтинский государственный технический университет, 2007 169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ . 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.

2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА Цель работы: экспериментальное и теоретическое определение момента инерции махового колеса.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Кинетическая энергия вращающегося тела

Возьмем тело произвольной формы, вращающееся ок оло некоторой оси ОО' (рис. 1) .Кинетическая энергия элементарной массы определяется по известному соотношению:

 

E i

 

 

m

i

i

2

.

(1)

o

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда кинетическая

энергия всего тела будет

равна

i

Ri

сумме кинетических

 

энергий

 

 

всех элементарных

масс,

mi

 

 

 

составляющих тело:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

m 2

 

o

 

i i

.

(2)

 

2

Рис. 1

i

 

 

 

Линейная скорость

υ не является

величиной,

 

характерной для вращательного движения твердого тела в

целом, так как она различна для различных точек тела. Заменим линейную

скорость элементарной массы через угловую скорость

, которая одинакова

для всех точек тела:

Ri ,

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

(3)

тогда:

m 2

 

 

 

 

 

I 2

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

E

i

Ri

 

miRi

 

 

.

(4)

2

2

i

2

 

i

 

 

 

 

В правую часть уравнения (4) входит сумма:

 

 

 

 

 

 

 

 

mi Ri2

I ,

 

 

 

 

 

 

(5)

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которая носит название момента инерции тела относительно заданной оси вращения. Величина, стоящая под знаком суммы :

m i R i2 I i ,

(6)

называется моментом инерции элементарной массы материальной точки . Следовательно, моментом инерции материальной точки , относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат её расстояния до этой оси. Момент инерции тела на основании (5) равен:

I I i .

(7)

i

 

Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих это тело.

3

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами dm, и момент инерции тела определяется определяемся интегралом :

I

m r 2 dm .

(8)

 

0

 

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела.

Момент инерции тела характеризует инертные свойства вращающегося тела, так же как масса тела характеризует инертные свойства тела, движущегося поступательно . В этом заключен физический смысл момента инерции тела .

Момент инерции тела зависит не только от массы всего тела и её

распределения в теле, но и от ориентации тела относительно оси вращения.

Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инерции определяется экспериментально, а для однородных тел гео метрически правильной формы – посредством интегрирования. Интегрирование уравнения

(8)наиболее легко осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит

Очерез центр тяжести тела.

a l b

R

R

R

R

О/

Рис. 2

Приведем результаты интегрирования для расчета моментов инерции некоторых однородных тел (геометрически правильных) массой m относительно оси симметрии 00'.

Прямой тонкий стержень длиной

:

I

 

 

 

1

ml 2 .

(9)

12

 

 

 

 

 

Брусок длиной a и шириной b :

 

I

 

1

 

 

( a 2 b 2 )

(10)

12

 

 

 

 

 

 

 

 

Кольцо, внешний радиус которого R , а внутренний – r :

I

1 (R2 r2 ) .

(11)

 

2

 

 

 

 

Тонкостенное кольцо (обруч) радиуса R :

I mR2 .

 

(12)

Сплошной цилиндр (диск) радиуса

R :

I

 

1

 

mR

2 .

(13)

2

 

 

 

 

 

Сплошной шар радиуса R :

 

I

 

2

mR

2 .

(14)

 

 

 

5

 

 

 

 

4

Схема установки и вывод расчетной формулы

Установка для экспериментального определения значения момента инерции махового колеса представляет собой диск (маховое колесо - А со шкивом В), закрепленный на горизонтальной оси и отсчетной линейки. На шкив наматывается нить, к концу которой крепится платформа с грузом.

Общая масса платформы и груза равна m m1 m2 . Под действием силы

тяжести платформа с грузом начнет опускаться, маховое колесо приходит во вращательное движение (рис. 3)

Для вывода расчетной формулы применим закон сохра нения и превращения энергии. Если в результате движения до полного разматывания

нити платформа с грузом проходит расстояние h1 , то это означает, что в

начальный момент движения система груз-маховик обладала запасом потенциальной энергии:

E mgh1 .

(15)

В процессе опускания груза его потенциальная энергия будет превращаться в кинетическую энергию вращающегося маховика, кинетическую энергию опускающегося груза, а также расходоваться на работу против сил трения.

A

r B

 

0

m

v0

 

 

h1

h2

Рис. 3

Для груза, опустившегося до произвольной высоты h можно записать:

mgh

I 2

 

m 2

mgh f (h

h )

.

(16)

 

 

1

2

2

1

 

 

 

 

 

 

Для груза, достигшего нулевого уровня (нить размоталась полностью) можно записать:

mgh

I 0

2

m 0

2

fh

,

(17)

 

 

 

1

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

где fh1 - работа против сил трения.

При достижении грузом нулевого уровня его скорость меняет направление на противоположное. С этого момента груз движется вверх равно

5

замедленно за счет кинетической энергии маховика и достигает некоторой высоты h2 . На основании закона сохранения и превращения энергии можно записать:

I 0

2

m 0

2

mgh

fh

(18)

 

 

 

2

 

2

 

2

2 .

 

 

 

 

 

Решая совместно (17) и (18) получаем выражение для силы трения:

f

mg

h1

h2

 

 

 

.

(19)

h

h

 

1

2

 

 

Формулу для определения момента инерции махового колеса получим из выражения (18) , пренебрегая кинетической энерги ей груза m:

I 02

mgh (1 h1

h2 ) mgh

2h1

,

(20)

2

h1 h2

2

h1

h2

2

 

I

4mgh1h2

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(21)

 

h1 h2 0

 

 

 

Так как опускание груза происходит под действием постоянной силы, то зависимость пути и скорости от времени выражается формулами равноускоренного движения с начальной скоростью равной нулю, т.е

h1

at2

0

0

 

2 , 0 at ,

 

,

r

где t - время опускания груза из начального положения до нулевого уровня, радиус шкива, на который намотана нить.

Используя соотношения (22) получим выражение для угловой скорости

(22) r –

:

0

Подставляя в (21), получим

момента инерции махового колеса :

 

2h1

 

 

2

 

 

 

;

02

4h1

.

(23)

2 2

 

tr

 

 

t r

 

расчетную формулу для вычисления

I

mgr2t2h

 

 

 

2

.

(24)

h (h h )

1

1

2

 

 

Порядок выполнения работы

1.Установите линейку, вдоль которой опускаются грузы так, чтобы нижний край платформы совпадал с нулевой отметкой шкалы.

2.Запишите радиус шкива, на который наматывается нить в таблицу №1 . Значения радиусов шкивов даны на установке.

3.Для первого опыта положите на платформу один добавочный груз (по указанию преподавателя). Масса плат формы 50 г, массы грузов также по 50 г.

4.Вращением маховика намотайте нить на шкив так, чтобы платформа с грузом поднялась до отметки 80 - 100 см (по указанию преподавателя).

6

5.Удерживайте маховик от вращения левой рукой. Отпустите маховик и одновременно включите секундомер.

6.Выключите секундомер в тот момент, когда груз достигнет нулевой отметки, и продолжайте наблюдать за вращением маховика.

7.В момент остановки маховика задержите его левой рукой и прочитайте

по шкале высоту подъема груза h2 . Повторите измерение времени опускания и высоты подъема груза еще два раза.

8.Проведите еще два опыта, увеличивая массу опускающегося груза каждый раз по 50 г. Результаты измерений запишите в таблицу №1.

9.Вычислите момент инерции маховика по результатам каждо го опыта (по формуле (24)) и найдите среднее значение. По результатам одного из опытов определите погрешность измерения момента инерции маховика по формуле:

I

I

m 2m

 

g 2

 

r 2

 

t 2

 

h

2

 

h

2

 

h h

2

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

2

 

 

1

 

 

1

2

 

g

r

t

h

h h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

1

2

 

Таблица измерений и вычислений №1

1

2

3

 

m± m

 

r± r

 

h1± h1

t

 

(1)

 

(2)

 

 

(3)

 

tср±

t

h2

 

(1)

 

(2)

 

 

(3)

 

h2ср

± h2

 

I

 

I/ I

 

I

 

Iср± I

10.Для проверки правильности определения эксперименталь ного значения момента инерции махового колеса ( Iэ) проведите теоретическое

определение этого же момента инерции (IТ) учитывая, что момент инерции махового колеса складывается из момента инерции диска и момента инерции шкива, т.е.

IТ=Iд+Iш.

Данные измерений и вычислений запишите в таблицу № 2. Массы диска и шкива даны на установке.

7

 

Таблица измерений и вычислений №2

 

 

m

R

 

IТ

Диск

 

 

 

 

Шкив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание:

При выводе формулы момента инерции махового колеса мы пренебрегаем кинетической энергией груза ввиду его малости по сравнению с полной энергией. Покажем, что это действи тельно так. Для этого рассмотрим их отношение, учитывая, что при высоте h 1м время опускания груза t 4 5с :

m

2

 

 

 

2

2

 

2

 

2

t

2

 

2h

 

2

 

 

 

 

 

a

t

 

 

4h

 

 

 

0,01 .

2mgh

2gh

 

 

 

 

4

2

10 20

 

2gh

 

2ght

 

gt

 

Таким образом, наше допущение вносит погрешность порядка 1%, что вполне допустимо.

Контрольные вопросы

1.Как называется выполненная вами работа? Объяснить методику выполнения работы.

2.Момент инерции материальной точки и твердого тела. Что характеризует момент инерции, от чего зависит, в каких единицах измеряется?

3.Что называется моментом вращающей силы? Какой силой в данной работе создается вращающий момент?

4.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

5.Потенциальная и кинетическая энергия.

6.Сформулировать закон сохранения и превращения энергии в механике.

7.Записать закон сохранения энергии в случае, если груз в ра боте а) опустился до нулевой отметки.

б) остановился в промежуточной точке.

8.Запишите выражение кинетической энергии катящегося без скольжения цилиндра.

9.Определите момент инерции Земли.

Индивидуальные задания

1.Вывести формулу для момента инерции тонкого к ольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии. Ответ: mR2.

2.Вывести формулу для момента инерции тонкого стержня длиной l и массой m относительно оси , проходящей через центр масс перпендикулярно его длине. Ответ: 121 ml 2

8

3.На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=20 см, момент инерции которого J=0,15 кг∙м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m=0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Ответ: 1) t=2 с 2) T=4,31 H 3) Wк=1,32 Дж.

4.На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=50 см

намотано легкая нить, к концу которой прикреплен груз масс ой m=6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением a=2 м/с2. Определите: 1)

момент инерции J вала; 2) массу m1 вала. Ответ: 2) J=6,25 кг∙м2; 2) m1=50 кг.

5.К ободу однородного сплошного диска массой m=10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F=30 H. Определить кинетическую энергию через время t=4 с после начала действия силы. Ответ: Tвр=1,44 кДж.

6.Шар и сплошной цилиндр, изготовленые из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ T2/T1=1,07.

7.Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение a центра диска. Ответ: a 23 g sin .

8.Радиус вала махового колеса r=10-2 м. На вал намотан шнур, к концу которого привязан груз m=0,2 кг. Под действием силы тяжести груз

опускается за 5 с с высоты h1=1,2 м, а затем, вследствие вращения колеса по инерции, поднимается на высоту h2=0,8 м. Определить момент инерции колеса. Ответ: J=1,63 10-3 кг м2

9.Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n=12c-1, чтобы он остановился в течении времени Δt=8с. Диаметр блока D=30см. Массу блока m=6кг считать равномерно распределенной по ободу. Ответ : М=-1,273Н·м

10.Блок, имеющий форму диска массой m=0,4кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами

m1=0,3кг и m2=0,7кг. Определить силы натяжения Т1 и Т2 нити по обе стороны блока. Ответ: Т1=3,43Н, Т2=3,75Н

Библиографический список

Трофимова. Т.И. Механика твердого тела. / Т.И. Трофимова// Курс физики: Учеб. – М; 1998 – Гл. 4., §16 -19. – С. 34-41.

9

Соседние файлы в папке Механика (2-8) PDF
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности