Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
10
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
103.13 Кб
Скачать

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

4

Определение момента инерции и положения центра тяжести физического маятника

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007

УДК

53 (075)

 

Л 24

ББК

22.3. Я7

Лапина, Л.Н. Определение момента инерции и положения центра т яжести физического маятника [Текст]: метод. указания/ Л.Н. Лапина. – Ухта: УГТУ, 2007 – 9 с.; ил.

Методические указания к лабораторным занятиям по физике по теме теме «Механические колебания» предназначены для студентов специальностей 290700, 290300 и направлению 550100.

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики 19.02.07., пр.№ 5.

Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.

Рецензент: Филиппов Г.П., старший преподаватель кафедры физики Ухтинского государственного технического униве рситета.

Редактор: Северова Н.А., доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.

В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.

План 2007г., позиция 31. Подписано в печать 04.06.2007.

Компьютерный набор: Логинова Н., гр. ИСТ – 05.

Объем 9 с.

Тираж 60 экз.

Заказ № 211.

©Ухтинский государственный технический университет, 2007 169300, г.Ухта, ул.Первомайская, 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ. 169300, г.Ухта, ул.Октябрьская, 13.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Краткая теория

Физическим маятником называется тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести, и способное совершать колебания относительно этой оси (рис. 1).

Докажем, что маятник, отклоненный на малый уголот положения равновесия, будет совершать гармонические колебания.

Гармоническим колебанием физической величины

называется процесс изменения ее во времени t по закону

2

 

,

A sin

T

t

 

 

 

где А -амплитуда колебания, Т-период колебания.

Величина

2

t

носит название фазы ( -const).

рис. 1

T

График такого колебания представлен на рис. 2.

α

t

рис. 2

Из определения гармонического колебания следует, что период колебания является наименьшим промежутком времени, по истечению которого движение в точности повторяется. Действительно,

Asin

2

 

2

 

T

t

Asin

T

t T .

 

 

 

За время t=T совершается одно полное колебание. Амплитуда колебания А равна максимальному значению . Величина соответствует фазе в начальный момент времени (t=0) и называется начальной фазой.

3

Величина

2

 

(1)

называется круговой (циклической) част отой.

 

 

T

 

 

2

 

 

Если начальная

фаза

равна

, то уравнение

гармонического

колебания записывается в виде:

 

,

(2)

 

 

 

 

A cos t

обозначим через J момент инерции маятника относительно оси О.

Пусть точка А является центром тяжести. Силу тяжести

P mg можно

разложить на две составляющие,

одна из

которых P2 уравновешивается

реакцией опоры. Под действием другой составляющей:

 

P1 Psin ,

маятник приходит в движение.

На

основании второго закона механики для вращательного

( M J )

имеем:

J P1 ,

где угловое ускорение равно:

 

d 2

 

 

 

,

dt 2

(3)

движения

(4)

(5)

ℓ=OA – расстояние от точки подвеса до центра тяжести. Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону противоположную

положительному направлению отклонения маятника. Так как

мал, то:

sin

и P 2 mg .

(6)

Подставляя (5) и (6) в (4) получим:

 

 

J

d 2

 

(7)

 

dt

2 mg 0 .

 

 

 

 

 

Покажем,что частным решением последнего дифференциального

уравнения является:

 

A cos

t ,

 

 

(8)

если

 

 

 

 

 

 

mg

.

 

J

Действительно:

d 2

A

2

cos t A

mg

cos t

mg

.

dt

2

 

J

J

 

 

 

 

 

 

(9)

(10)

Подставляя (8) и (10) в (7), можно убедиться, что левая часть уравнения тождественно равна нулю. Сравнивая (9) и (1), получим:

T 2

J

 

mg .

(11)

Из уравнения (11) следует, что период колебания увеличивается с увеличением момента инерции.

4

Математическим маятником называется колебательная система, состоящая из материальной точки, прикрепленной к концу идеально гибкой, нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой за креплен неподвижно.

Близким к математическому маятнику является тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити рис.3.

Момент инерции математического маятника относительно точки подвеса равен:

рис. 3

J m 2 .

Период математического маятника можно определить,

подставляя последнее выражение в (11):

 

 

 

 

 

 

 

T 2

 

.

(12)

 

 

 

g

 

Из формулы (12) следует, что период

колебаний

математического маятника не зависит от его массы m.

Описание установки и вывод расчетных формул

Прибор состоит из горизонтальной площадки (1), прикрепленной к стене, на площадке смонтированы подушки ножевых опор (2) для установки на них физического маятника. Кроме того на той же площадке расположено крепление нити математического маятника.

Физический маятник представляет собой цилиндрический стержень (3), на котором закреплены две неподвижные ножевые опоры О 1 и О2 и две чечевицы А1 и А2, из которых первая неподвижна, а вторая может перем ещаться вдоль шкалы Ш. Ввиду наличия двух точек подвеса,

рис. 4 данный физический маятник является оборотным. Если расстояние между ножами оборотного маятника равно L, то центр тяжести может быть найден следующим образом.

На основании формулы (11) получим:

 

2

 

 

J1

T1

 

mg 1 ,

(13)

4

2

 

 

 

 

где 1- расстояние от центра тяжести С до точки подвеса О1.

Если маятник перевернуть, то период его колебаний изменится, так как изменится момент инерции и расстояние от оси вращения до центра т яжести:

J 2

T 2

mg L 1 ,

 

2

(14)

4 2

 

 

 

5

где (L-ℓ1)= ℓ2 .

Воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера для определения момента инерции при параллельном переносе оси вращения:

где J 0

 

 

 

 

J1 J0 m 12 ,

 

 

 

 

 

(15)

– момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяж ести.

 

Для перевёрнутого маятника можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

J2 J0 m L 1 2 .

 

 

 

 

(16)

 

Вычитая из (16) выражение (15), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

J2 J1 mL L 2 1 .

 

 

(17)

 

Вычитая из (14) формулу (13), получим:

 

 

 

 

 

 

 

J

2

J

1

 

mg

L

1

T 2

T 2

 

(18)

 

 

 

 

 

 

 

4 2

 

2

 

1

1

.

 

Сравнивая правые части выражений (17) и (18), имеем:

 

 

gLT22 g 1T22 g 1T12

4 2 L2

8 2 L 1 ,

 

откуда после перестановки членов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 2 L 1 g 1T22 g 1T12

 

4 2 L2

gLT22 ,

 

и окончательно:

 

 

 

 

 

4 2 L gT22 L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

8 2 L g T

2 T 2

 

.

 

 

(19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

Определив 1, нетрудно по формулам (13) и (14) вычислить моменты инерции относительно двух осей вращения.

Сравнивая формулы для периодов колебаний физического (11) и математического (12) маятников, можно заключить, что математический маятник с длиной:

пр.т.

J1

 

,

(20)

m

1

 

 

 

будет иметь такой же период колебан ий, как и данный физический маятник. Вычисленная по этой формуле величина называется приведенной длиной физического маятника.

Выполнение работы

1.Подвесить маятник за призму О1, при этом обе чечевицы окажутся ниже точки подвеса. Установить с помощью ключа чечевицу А2 в одном из положений относительно шкалы по указанию преподавателя.

2.Отклонить маятник на небольшой угол и отпустить. Заметить на стене какую-либо крайнюю точку, которой достигает маятник при своих качаниях. Пронаблюдать несколько колебаний маятн ика. На счет «ноль» включить секундомер и измерить время 10 колебаний маятника. Повт орить опыт еще

6

два раза. Расхождение времен в отдельных опытах не должно превосходить погрешности секундомера (0,2 с).

3.Определить экспериментально приведенную длину физичес кого маятника

при его качаниях на оси О1. Для этого, изменяя длину математическ ого маятника, подвешенного на одной стойке с физическим маятником, подобрать такую длину, чтобы колебания обоих маятников были си нхронны.

4.Перевернуть маятник и измерить период к ачаний физического маятника на оси О2. Определить экспериментально его приведенную длину.

5.По результатам измерений вычислить положение центра тяжести ( 1 и 2), моменты инерции J 1 и J 2, и теоретические значения приведенных длин. (Масса маятника 6,38 кг и расстояние между опорными призмами L = 0,74 м.).

6.Оценить погрешность измерений по относительной погрешности изм ерения приведенных длин:

 

 

 

 

 

E

 

 

пр.э. пр.т.

 

 

100%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пр.э.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица измерений и вычислений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ось

L

n

 

 

t

 

 

 

tср.

T

 

J

пр..э.

пр.т.

Е

 

 

 

1

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы

1.Чему равен момент инерции для материальной точки и для твердого т ела?

2.В чем заключается физический смысл момента инерции, от чего зависит момент инерции и в каких единицах он измеряется в системе СИ?

3.Объяснить и записать теорему Штейнера.

4.Записать основной закон динамики вращательного движения. Пояснить значения величин в него входящих.

5.Запишите закон изменения угла отклонения физического маятника от времени и объяснить все величины, входящие в него.

6.Какие колебания называются гармоническими?

7.Что называется физическим маятником?

8.Записать и объяснить формулу для периода физического маятника.

9.Что называется приведенной длиной физического маятника? Выведите формулу приведенной длины физического маятника.

7

Индивидуальные задания

1.Диск массой m, радиусом R колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно к плоскости диска. Определить частоту колебания такого физического маятника

2.Два шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком, невесомом

 

 

 

 

 

 

стержне длиной = 40 см так, как

O

 

m

 

 

2m

это указано на рис. 5 а, б.

J

а)

 

 

 

 

 

Определить

моменты

инерции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

m

системы

относительно

оси,

O

 

 

 

перпендикулярной

стержню

и

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

проходящей через его конец в этих двух

/2

 

/2

 

 

 

 

 

 

 

случаях. Размерами шаров пренебречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

 

 

Ответы: а). 9/4 mℓ2 , б). 3/2 mℓ2.

 

3.Три маленьких шарика массой m = 10г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 20см и скреплены между собой .Определить момент инерции J системы относительно оси : 1)

перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описаной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и прох одящей через центр описанной окружности и одной из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь.

Ответы: 1) 4 10-4 кг м2 ; 2) 2 10-4 кг м2.

4.Найти момент инерции J относительно оси О, О1, О2, О3 для случаев а) шары (m, R); б) обручи (m, R, 2m, 2R); в) обруч(m, R) + шар (5m, R/2) ;г) стержень

(3m, ℓ) + диск (2m, R = /8)

 

О

 

О1

а)

 

б) О

в)

г)

О

 

О2

 

 

 

 

 

 

О3

 

 

 

 

 

 

С

 

О

 

 

 

 

 

Рис. 6

5. В однородном диске массой m = 1 кг и радиусом r = 30 см вырезано круглое отверстие диаметром d = 20 cм, центр которого находится на расстоянии = 15 см от оси диска (рис. 7). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр. Ответ: 4,19 10-2 кг м2.

d

О1

О

r

Рис. 7

8

6.Тонкий однородный стержень длиной = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением = 3 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М. Ответ: 0,025 н м.

7.Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости.

Зависимость угловой скорости вращения диска от времени t дается уравнение =A+Bt, где B = 8 рад/с2. Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь. Ответ: F = 4,0 Н.

8.Маховик, момент инерции которого J = 63,6 кг м2 вращается с угловой

скоростью = 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения M, под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском. Ответ: M=100 Н м.

9.Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период к олебаний T обруча. Ответ: T=1,5 с.

Библиографический список

Трофимова Т. И. Колебания и волны./ Т. И. Трофимова // Курс физики: Учеб. – М; 1998.- Гл. 18., § 140-141; С.255-257.

9

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Механика (2-8) PDF