4.5 Пример решения задачи с бесконечным числом этапов методом итерации по стратегиям без дисконтирования

Решим задачу, описанную в предыдущем примере методом итерации по стратегиям без дисконтирования.

Решение задачи можно начать с произвольной стратегии. Пусть в качестве начальной рассматривается стратегия, исключающая применение каких-либо мер по стимулированию спроса. Имеем соответствующие матрицы.

P1 =		1	2	3		R1 =		1	2	3
	1	0,3	0,3	0,4			1	100	90	70
	2	0,1	0,7	0,2			2	110	95	65
	3	0,05	0,2	0,75			3	100	85	60

Уравнения шага оценивания параметров принимают вид

Полагая f(3) = 0, получаем решение этих уравнений

E = 78,547, f(1) = 30,676, f(2) = 50,068, f(3) = 0.

Перейдем к шагу улучшения стратегии. Результаты вычислений приведены в таблице.

				Оптимальное решение
i	k = 1	k = 2	k = 3	f(i)
1	85 + 0,3·30,676 + 0,3·50,068 + 0,4·0= 109,223	138,304	153,244	153,244	3
2	90,5 + 0,1·30,676 + 0,7·50,068 + 0,2·0= 128,615	117,108	111,027	128,615	1
3	67 + 0,05·30,676 + 0,2·50,068 + 0,75·0= 78,547	75,014	93,614	93,614	3

Новая стратегия предусматривает организацию бесплатной доставки, если объем продаж на уровне 1 или 3. Новой стратегии соответствуют матрицы

P14 =		1	2	3		R14 =		1	2	3
	1	0,3	0,6	0,1			1	130	110	90
	2	0,1	0,7	0,2			2	110	95	65
	3	0	0,2	0,8			3	125	98	80

Эти матрицы определяют следующие уравнения:

Полагая f(3) = 0, получаем решение этих уравнений

E = 88,677, f(1) = 57,935, f(2) = 25,387, f(3) = 0.

Результаты вычислений на шаге улучшения стратегии приведены в следующей таблице.

				Оптимальное решение
i	k = 1	k = 2	k = 3	f(i)
1	109,997	136,868	146,613	146,613	3
2	114,064	105,026	101,155	114,064	1
3	74,974	70,077	88,677	88,677	3

Новая стратегия идентична предыдущей, поэтому последняя стратегия оптимальна и итеративный процесс заканчивается. Естественно, что этот результат совпадает с результатом, полученным методом полного перебора. Однако, следует отметить, что метод итерации по стратегиям достаточно быстро сходится к оптимальному решению, что является его характерной особенностью.

Часть 5. Теория игр и принятие решений

5.1 Постановка задачи

В экономической практике часто возникают ситуации, в которых различные стороны преследуют различные цели. Например, отношения между продавцом и покупателем, поставщиком и потребителем, банком и вкладчиком и т.д. Эти отношения представляют подобия игр, в которых один игрок пытается выиграть у другого.

Игра – это математическая модель конфликтной ситуации с участием не менее двух лиц, использующих несколько различных способов для достижения своих целей. Игра называется антагонистической, если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Следовательно, для задания игры достаточно задать величины выигрышей одного игрока в различных ситуациях.

Любой способ действия игрока в зависимости от сложившейся ситуации называется стратегией. Каждый игрок располагает определенным набором стратегий. Стратегии называются чистыми, если каждый из игроков выбирает только одну стратегию определенным, а не случайным образом.

Решение игры заключается в выборе такой стратегии, которая удовлетворяет условию оптимальности. Это условие состоит в том, что один игрок получает максимальный выигрыш, если второй придерживается своей стратегии для получения минимального проигрыша. Цель игры – это определение оптимальной стратегии для каждого игрока.