Задача 1

Предположим, что для производства двух видов продукции иможно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия видарасходуетсякг материала первого сорта,кг материала второго сорта икг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия видарасходуетсякг материала первого сорта,кг материала второго сорта,кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сортакг, материала второго сортакг, материала третьего сортакг. От реализации единицы готовой продукции видафабрика имеет прибыльруб., а от продукции видаприбыль составиларуб.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов и. Решить задачу симплекс-методом. Дать геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи.

Решение:

Через иобозначим количество производимых изделий видаисоответственно. Тогда целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую прибыль:

Неравенства-ограничения на используемое сырье:

По смыслу задачи

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Приведем задачу к каноническому виду. Введем дополнительные переменные. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю. Дополнительные переменные прибавим к левым частям ограничений, не имеющих предпочтительного вида, и получим равенства.

Заполняем симплексную таблицу:

№	БП	cБ	Ao	x1	x2	x3	x4	x5	Симплексные
				12	16	0	0	0	отношения
0	x3	0	414	3	5	1	0	0	414/5
	x4	0	723	9	3	0	1	0	241
	x5	0	788	10	2	0	0	1	394
	fj - cj		0	-12	-16	0	0	0
1	x2	16	414/5	3/5	1	1/5	0	0	138
	x4	0	2373/5	36/5	0	-3/5	1	0	791/12
	x5	0	3112/5	44/5	0	-2/5	0	1	778/11
	fj - cj		6624/5	-12/5	0	16/5	0	0
2	x2	16	173/4	0	1	1/4	-1/12	0
	x1	12	791/12	1	0	-1/12	5/36	0
	x5	0	127/3	0	0	1/3	-11/9	1
	fj - cj		1483	0	0	3	1/3	0

На основании симплексной таблицы получено следующее решение задачи линейного программирования:

Таким образом, необходимо выпускать 65.9 изделий вида и 43.3 изделий вида. Прибыль достигнет максимума и составит 1483 ден.ед. При реализации оптимального плана остаток ресурса 3-го вида составит 42.3 единиц.

Дадим геометрическую интерпретацию решения.

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции. Здесь- коэффициент пропорциональности.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .

Областью допустимых решений является фигура .

Перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на максимум является точка, координаты которой находим как точку пересечения прямых (1) и (2).

Таким образом, необходимо выпускать 65.9 изделий вида и 43.3 изделий вида. Прибыль достигнет максимума и составит 1483 ден.ед.