МАТМОД / РГР

Министерство Образования и Науки России

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ухтинский государственный технический университет»

Кафедра ЭАТП

Расчетно-графическая работа №1

«Математические модели в расчётах ЭВМ»

Вариант 17

Выполнил: ст. гр. ЭТ-1-12 А. А. Горобчук

Проверила: Л. П. Бойченко

УХТА, 2014

Требования к выполнению работы:

В процессе выполнения контрольной работы необходимо сделать следующее:

1. Рассчитать средние значения отклика в каждом опыте.

2. Рассчитать выборочные дисперсии в каждом опыте.

3. Проверить статистическую гипотезу об однородности дисперсий.

4.Рассчитать оценки дисперсии воспроизводимости и дисперсии среднего значения отклика.

5. Рассчитать матричным методом оценки коэффициентов А и В.

6. Проверить статистическую гипотезу об адекватности модели.

7. Определить дисперсию предсказания модели.

8. Рассчитать коридор ошибок при значениях х от 9 до 13 с интервалом 0.25.

9. Построить график модели с доверительным интервалом. На график нанести экспериментальные точки (среднее значение отклика в каждом опыте).

10. Рассчитать собственные числа, направления собственных векторов и длины главных полуосей доверительного эллипсоида.

11. Построить график доверительного эллипсоида.

Примечания:

1. Во всех расчетах принять уровень значимости α=0.05.

2. Погрешность всех результатов не должна превышать третьей значащей цифры.

3. Данные п.п. 1,2,6 занести в таблицу 1, а данные п. 8 – в таблицу 2.

Дано:

Модель y(x)=A+Bx^2

x(1)=18.00	y(1,1)=19.90	y(1,2)=20.48	y(1,3)=21.75
x(2)=18.02	y(2,1)=19.93	y(2,2)=22.05	y(2,3)=22.09
x(3)=18.13	y(3,1)=22.07	y(3,2)=22.31	y(3,3)=19.58
x(4)=18.47	y(4,1)=22.04	y(4,2)=22.60	y(4,3)=21.17
x(5)=18.69	y(5,1)=22.40	y(5,2)=22.11	y(5,3)=22.69
x(6)=18.71	y(6,1)=21.91	y(6,2)=22.23	y(6,3)=22.15
x(7)=18.81	y(7,1)=22.29	y(7,2)=21.29	y(7,3)=23.50
x(8)=18.90	y(8,1)=23.15	y(8,2)=21.53	y(8,3)=22.62
x(9)=19.00	y(9,1)=23.29	y(9,2)=24.39	y(9,3)=23.54

Размерность задачи:

• число опытов N = 9;

• число повторностей каждого опыта n = 3;

• число коэффициентов уравнения регрессии k = 2.

Это задание представляет собой имитацию на ЭВМ результатов 9-ти экспериментов, проведенных при условиях (т.е. при значениях факторов) Х(1), Х(2), …, Х(9). Каждый из экспериментов дублировался трижды, и, соответственно, получено три значения отклика для каждого эксперимента: Y(i,1), Y(i,2), Y(i,3), где i – номер эксперимента. Таким образом, проведено 27 опытов, из которых только 9 – при разных значениях факторов.

Решение:

Вначале рассчитаем средние значения откликов по формуле:

Следующим шагом является расчет выборочных дисперсий (т.е. оценок дисперсий) для каждого из 9-ти опытов по формуле:

Рассчитав таким образом все 9 выборочных дисперсий, запишем их в таблицу 1.

Таблица1

Следующий этап состоит в проверке статистической гипотезы об однородности (равенстве) дисперсий во всех опытах, т.е. в проверке воспроизводимости. Для этого рассчитываем статистику Кохрена по формуле:

и сравниваем ее с табличным значением G_0,05(2,9)=0.4775. Видно, что экспериментальное значение меньше табличного, следовательно вторая предпосылка регрессионного анализа выполняется. А это означает, что можно воспользоваться следующими формулами для расчета соответствующих дисперсий:

а также воспользоваться формулой для расчета коэффициентов уравнения регрессии:

С этой целью запишем матрицу Х. Т.к. в нашей модели f1(x)=1, a f2(x)=x², то матрица запишется:

Проведём матричные расчеты:

Мы получили, что A==, а B==. Следовательно уравнение регрессии можно записать как y=+x². Проверим адекватность полученного уравнения. Вначале рассчитаем предсказанные моделью значения отклика в точках эксперимента.

Далее рассчитаем разность квадратов экспериментального и предсказанного по модели значений откликов. Затем по формуле (40) рассчитаем величину дисперсии адекватности:

Рассчитаем экспериментальное значение статистики Фишера:

и сравним ее с табличным значением . Т.к. экспериментальное значение больше табличного, у нас есть основание отбросить гипотезу об адекватности модели. Найдем оценку дисперсии предсказания по формуле:

А затем определим доверительный интервал:

Протабулируем полученную модель в пределах от 17 до 21, рассчитаем для каждого значения верхнюю и нижнюю границы, а полученные результаты занесем в таблицу 2.

Таблица 2

Построение доверительного эллипсоида. Границы доверительной области для коэффициентов уравнения регрессии задаются, как уже отмечалось, при помощи уравнения:

2*0.281*3.55

9(θ₁-)²+6179.929(θ₁-)(θ₂-)+ (θ₂+)²=1,9951

Уравнение эллипса с центром в точке (; )

Для получения более наглядного представления об этом эллипсе найдем собственные числа и собственные векторы матрицы X*X^т. Из алгебры известно, что собственные числа являются корнями векового уравнения:

Записав это уравнение для нашей задачи, получим:

Решив это квадратное уравнение, получим два корня:

Для определения собственных векторов, составляющих матрицу U, каждое из полученных собственных значений подставляется в систему уравнений:

Так как k = 2, то система запишется следующим образом:

Для первого собственного значения:

Для второго собственного значения:

Теперь найдем длины главных полуосей:

;

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости p = 0.05

f₁ - число степеней свободы большей дисперсии, f₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии

	f1
f2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15
13	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.53
14	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.46
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.40
16	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.35
17	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.31
18	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.27
19	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.23
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.20