Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Механика 2-8

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
748.13 Кб
Скачать

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СРЕДНЕЙ ПЛОТНОСТИ ЗЕМЛИ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Краткая теория

Цель данной работы:

Измерить ускорение силы тяжести в данной точке Земли с помощью математического маятника (14) и по измеренному значению g вычислить массу Мз (9) и среднюю плотность (10) Земли.

1. Закон всемирного тяготения

Фундаментальным законом механики является закон всемирного тяготения (гравитации), установленный И. Ньютоном в 1687 году. Согласно этому закону любые две материальные точки взаимодействуют с силой , пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила взаимного притяжения двух частиц или тел называется гравитационной силой или силой всемирного тяготения . Согласно закону всемирного тяготения каждая час тица планеты и планета в целом притягивается Солнцем. Солнце же в свою очередь притягивается планетой. Все тела, находящиеся на данной планете и планета взаимно притягиваются. С помощью закона всемирного тяготения описыва ют с высокой степенью точности движение космических тел, а также предсказывают на много лет вперед солнечные и лунные затмения, что является основной проверкой этого закона.

Закон всемирного тяготении можно выразить математически, обозначив

буквой F - силу всемирного тяготения между двумя телами, массами

находящихся на расстоянии r друг от друга:

 

F m1m2 .

(1)

r2

 

Силы тяготения являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Такие силы называются

центральными (см. рис. 1 ).

Гравитация - от латинского слова “gravitas” - тяжесть.

F

r

-

m

m1 и m2,

m

Коэффициент

(греческая - гамма) был

Рис. 1

 

определен экспериментально английским физиком Г.Кавендишем (1731-1810) с помощью крутильных весов и назван

гравитационной постоянной. Физический смысл постоянной тяготения выясняется, если в формуле (1) положить m1 m2 1кг , r 1м. Тогда F . Это

значит, что постоянная тяготения равна силе тяготения между двумя точечными массами в 1кг каждая, находящихся на расстоянии 1м друг от друга.

Значение γ, полученное современными методами принимается равным:

6,6745 10 11 H м2 кг2 .

Такое малое значение постоянной тяготения объясняет, почему мы не наблюдаем взаимного притяжения тел в п овседневной жизни, когда имеем дело с телами малой массы. По этой же причине гравитационное взаимодействие не играет никакой роли в атомно -молекулярных явлениях. Но с ростом массы роль гравитационного взаимодействия возрастает. Практически, имеет смысл учитывать силу всемирного тяготения, когда хотя бы одно из тел является астрономическим. Движение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, вращение Галактики вокруг своего центра полностью определяются гравитационным взаим одействием.

Постоянная тяготения относится к мировым константам наряду с такими, как скорость света, заряд электрона и др. Она характеризует с количественной стороны фундаментальное свойство материи – гравитацию.

Применяя закон всемирного тяготения к случаю взаимодействия земного

шара с телом, расположенным вблизи его поверхности, получим:

 

F

Mm

 

Mm

,

(2)

r2

R h 2

где M - масса Земли, r - расстояние между телом и центром Земли, R - радиус

Земли, m - масса тела, h - его высота над поверхностью Земли.

Если R>>h, то выражение силы тяготения тел к Земле представляют в виде:

F Mm .

R2

2. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость

Силой тяжести (G mg ) называют равнодействующую двух сил - силы ньютоновского притяжения тела всей массой Земли ( F ) и центробежной силы, возникающей вследствие суточного вращения Земли ( f ) ('см. рис. 3)

G F f .

Сила тяжести направлена отвесно вниз, точкою приложения её является центр тяжести тела. Вес является следствием статического действ ия силы тяжести.

Весом тела называется сила ( P ) с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса. Вес приложен к подставке и действует в направлении силы тяжести.

1. Во всех тех случаях, когда тело покоится относительно Земли ( лежит на опоре) или движется прямолинейно и равномерно сила тяжести проявляет себя статически и вес тела равен силе тяжести. Поэтому в таких случаях вес и силу не различают и указывают не обе силы, а одну из них (см. рис. 3), т.е. P G mg .

2. Если же тело движется вниз с ускорением a g (см. рис. 2) вес уменьшается, т.е.

 

0

 

 

12

 

4

0

 

8

12

4

 

 

 

 

 

8

 

3кгкг

 

 

3кгкг

a

0

12 4 8

3кгкг

a

Рис.2

P m ( g a ) . (3)

Сила тяжести в этом случае лишь частично проявляет себя статически, деформируя тело, а частично проявляет себя динамически, сообщая телу

ускорение a.

3. Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории в любом направлении, сила тяжести полностью проявляет себя динамически в сообщении ускорения a g и статического действия не оказывает. Тело не

деформируется и не давит на опору, P 0 , т.е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, нахо дящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

3. Изменение силы тяжести и веса тела с широтой места

Тела в поле сил тяготения Земли испытывают действие нескольких сил. С точки зрения наблюдателя, находящегося во вращающейся (неинерциальн ой) системе отсчета, связанной с Землей, на тело, находящееся на поверхности Земли действуют:

1.сила гравитационного тяготения ( F) (1), направленная к центру

Земли.

2.центробежная сила ( f ) , направленная по радиусу (r)

перпендикулярному оси вращения и определяемая формулой : f mw2r mw2 R cos fe cos ,

где w 7,3 10 5 рад/с - угловая скорость суточного вращения Земли ;

полюс

G p

 

f

 

F F

G P F

Ge экваторf

Рис. 3

fe mw2 R - величина центробежной силы на экваторе. Результирующая этих двух сил является силой тяжести G см. рис. 3.

На рис. 3 схематически изображены различные положения тела m на поверхности Земли: в средних широтах, на полюсе и на э кваторе.

Если бы Земля была бы шаром и не вращалась вокруг своей оси, то сила

тяжести G на Земле была бы равна силе тяготения F . Однако Земля вращается с постоянной скоростью, совершая один оборот за 24 часа. На экваторе её линейная скорость составляет 465 м/с и центробежная сила f

имеет максимальное значение, на полюсах же она равна нулю. Вследствие этого, при образовании земного шара, когда его поверхность не была достаточно твердой, некоторая масса Земли «сползла» от полюсов к экватору и земной шар стал иметь форму, близкую к эллипсоиду вращения, сплюснутому около полюсов и вытянутому у экватора. Поверхность этого эллипсоида всюду перпендикулярна направлению действия силы тяжести (G ).

Покажем, что сила тяжести G зависит от места расположения тела, в

частности от широты φ.

Рассмотрим заштрихованный треугольник (см.рис. 3) и, воспользовавшись теоремой косинусов, найдем значение силы тяжести в любой то чке Земли:

G2 F 2 f 2 2 fF cos F 2 fe2 cos2 2 fe F cos2 . Вычисляя отношение второго слагаемого к третьему:

fe cos2

 

 

fe

 

R2mw2 R

 

w2 R3

 

1

,

2 fe F cos2

 

2F

2 mM

2 M

576

 

 

 

 

 

 

видим, как оно мало, по сравнению с третьим. Пренебрегая им, п олучим:

G2

F 2

 

f

e

cos2

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

F

 

или

G F 1 2 Ffe cos2 .

Вычитаемое выражение под корнем меняется в зависимости от широты

в пределах

 

 

 

 

 

2 fe

 

 

 

 

1 00 .

 

90 0

 

0

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

144

 

Поэтому применим с высокой точностью формулу приближенного

вычисления корня:

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 , если 1.

 

Тогда имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

2

 

,

 

 

 

 

 

 

G F 1

 

 

e

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G( ) F fe cos2 ,

 

 

 

 

 

 

(4)

или

mM

 

 

 

 

 

 

.

 

(5)

 

 

 

2

2

 

 

 

G( )

 

 

mw Rcos

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

Из выражений (4, 5) следует, что из -за несферичности Земли и ее суточного вращения сила тяжести G несколько варьирует с широтой: уменьшается от полюса к экватору благодаря увеличению в этом направлении cos и R приблизительно на 0,02%.

Сила тяжести (вес) тела на полюсе -

Gp

 

Mm .

 

 

R2

 

 

Сила тяжести (вес) тела на экваторе - G

 

Mm

mw2 R .

(6)

 

e

 

R2

 

 

 

 

Для более точных вычислений надо учесть, что экваториальный радиус (Rэ=6378км) на 21 км больше полярного радиуса ( Rп=6357км).

4. Влияние вращения и формы Земли на ускорение силы тяжести

Любое, ничем не поддерживаемое тело при движении с небольшой высоты h над поверхностью земли (h >>R) приобретает под действием силы тяжести G ускорение свободного падения g (ускорение силы тяжести).

Найдем зависимость ускорения силы тяжести gφ от широты φ. Для этого воспользуемся формулой (5):

G( ) mMR2 mw2 R cos2

mMR2 mw2 R mw2 R mw2 R cos2

mMR2 mw2 R mw2 R sin2 .

Учитывая (6):

 

g

 

G mw2 Rsin2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По второму закону Ньютона:

 

 

g

 

 

 

G( )

Ge

w2 Rsin2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введём обозначение для ускорения силы тяжести на экваторе

результате получим:

 

 

 

 

 

 

g

 

 

g

e

w2 Rsin2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

g

 

 

g

 

 

 

w2 R

sin

2

 

 

 

 

e

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ge

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этой формуле w

2

- угловая скорость вращения Земли,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

T=24·3600 с, R=6400·103 м - экваториальный радиус Земли,

g

 

9,78 м/с2, следовательно w2R

0,0035

,

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ge

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

g

e

1 0,0035sin2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ge Gme и в

(7)

Эта формула в общем виде выведена еще в середине Х YIII в. известным французским математиком и астрономом А. Клеро и получила его имя (математическое выражение закона Клеро).

Из закона Клеро (7) следует:

На экваторе (φ=0°) ge = 9,78049 м/с2 - наименьшее; На полюсах (φ=90°) ge = 9,83235 м/с2 - наибольшее ;

На широте (φ=45°) ge = 9,80665 м/с2 - называется нормальным. Ускорение силы тяжести варьирует от полюса к эк ватору на 5,2·10-2 м/с2: а) за счет центробежной составляющей – на 3,4·10-2 м/с2, б) за счет изменения радиуса - на 1,8·10-2 м/с2.

В большинстве практических задач пренебрегают влиянием несферичности Земли и её суточного вращения вокруг своей оси и полагаю т, что сила тяжести (3) примерно равна силе гр авитационного тяготения (2), т.е.

G F mM

R h 2

и

g G

 

mM

const ,

(8)

R h 2

 

 

m

 

 

 

 

для h<<R

 

 

 

 

 

g

G

 

M

 

const .

(8′)

 

R2

 

m

 

 

 

Из уравнения (8) следует, что:

а) ускорение силы тяжести не зависит от массы, размеров и других характеристик тела, поэтому все тела свободно падают в безвоздушном прост - ранстве с одинаковым ускорением.

б) ускорение силы тяжести с изменением высоты на 1 км изменяется на 3 10-3 м/с2.

Из уравнения (8) можно практически определить массу Земли :

 

 

R2g

(9)

 

 

 

и среднюю плотность Земли

 

 

 

 

 

,

(10)

 

V

 

 

 

где

4 R3

 

 

V

- объем Земли.

 

 

3

 

 

 

 

Справочные данные:

 

 

 

 

 

 

 

Радиус Земли

 

 

 

 

R=6.37·106м

Масса Земли

 

 

 

 

M=5.98·1024кг

Плотность Земли

 

 

 

 

ρ=5,5·103кг/м3

Нормальное ускорение свободного п адения

g=9,81м/с2

Гравитационная постоянная

 

 

 

 

=6,67·10-11м3/кг·с2

Примечание:

В гравиметрии (наука о силе тяжести) за единицу ускорения силы тяжести принята названная в честь итальянского физика и астронома Г.Галилея величина 1Гал=10-2 м/с2. Используются также более мелкие единицы 1мГал=10 - 5м/с2 и 1мкГал=10-8 м/с2.

Измерение ускорения силы тяжести методом математического маятника

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на конце невесомой и нерастяжимой нити, второй конец которой закреплён неподвижно. Близким к математическому маятнику является тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой н ити (рис.4).

При отклонении маятника от положения равновесия возникает возвращающая сила F, которая стремится вернуть его в положение ра вновесия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F mgsin mgx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

- длина маятника, x- величина смещения от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

положения равновесия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

По второму закону Ньютона:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

F ma m

d 2 x

или

 

 

 

m

d 2 x

mg

x

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mg

 

 

 

откуда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

x

 

g

 

x 0 .

 

 

 

 

(11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением этого дифференциального уравнения является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x Asin( t ) ,

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где A - амплитуда колебаний,

g

 

- круговая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частота.

 

Учитывая,

что

круговая

частота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

связана

с периодом

колебаний

T соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/2

T

2 , получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T 2

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если определить периоды колебаний двух

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

маятников с различными длинами, то согласно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формуле (13) можем записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1 2

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

T2 2

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда после возведения в квадрат и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вычитания получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

 

 

 

 

g

4 2

(

1

 

2

)

 

.

 

 

 

(14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1 T2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, для того чтобы определить ускорение силы

тяжести достаточно измерить периоды колебаний и разность длин двух математических маятников.

Описание установки

Установка для выполнения работы состоит из математического маятника (тяжелый шарик на тонкой нити) и шкалы. Начало шкалы смещено

относительно точки подвеса на некоторое расстояние 0 (рис. 5).

Покажем, что разность длин двух математических маятников 1 2 равна

разности отсчетов

положений нижнего края шарика относительно шкалы

1 2 :

 

1 0 1 r

;

2 0 2 r , где

r - радиус шарика.

 

 

 

 

Вычитая, получим:

1

2

1

2 ,

Примечание:

 

 

 

 

Для определения ускорения силы тяжести в данной точке Земли с двумя верными знаками разность длин и разность периодов должны быть измерены с тремя верными знаками.

Выполнение работы

1. Опустите шарик до некоторого нижнего положения.

Приставьте к стене или шкале треугольник так, чтобы шарик слегка касался верхнего края треугольника.

Определите по шкале положение нижнего края шарика 1 с точностью до 0,5 мм и запишите полученный результат в табл ицу.

2. Отведите маятник на угол 5-6 градусов и отпустите. В одном из крайних положений маятника на счет "ноль" включите секундомер и измерьте время 20-50 колебаний по указанию преподавателя. Пов торите измерение времени еще два раза, при этом расхождение во времени в отдельных измерениях не должно превышать 0,2 с.

3. Поднимите шарик на 50-60 см и запишите в таблицу его новое положение относительно шкалы 1/ .

4. Измерьте три раза время 20-50 колебаний маятника.

2 , среднее

5. По результатам измерений вычислите разность длин 1

время t_

и периоды колебаний T1 и T2 (T

t_

, где n - число колебаний),

 

 

n

 

 

ускорение свободного падения g (14), массу Mз (9) и среднюю

плотность Земли ρз (10).

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Погрешность определения

 

вычислите по формуле:

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

T T

 

 

2

 

T T

 

 

2

 

 

1

2

 

 

2

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

T T

2

 

 

 

 

T T

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

где ∆π - абсолютная погрешность числа π (π=3,1415826) Принимая π равным 3,14 мы допускаем погрешность 0,001 5926,

1

и

 

2 - абсолютные погрешности, допускаемые при измерении

 

 

 

 

положения шарика относительно шкалы. Принимаются

 

 

 

 

равными половине наименьшего деления шкалы;

T1

и

 

T2 - абсолютные погрешности

 

измерения периодов,

 

 

 

 

определяются по результатам измерения врем ени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ti

 

 

 

 

 

 

T t ,

где t

t

 

.

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Таблица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ опыта

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

(мм)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( '

' )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gср

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆g∕g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.