Механика 2-8

Если известен момент инерции J0 тела относительно оси, проходящей через центр масс, то можно найти момент инерции относ ительно любой оси параллельной данной, используя теорему Штейнера:

Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен его моменту инерции J0 относительно параллельной оси и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:

Используя эту теорему, можем для примера определить момент инерции J сплошного диска относительно оси, проходящей через образующую диска

4

Из формулы (5) видно, что чем больше момент инерции тела, тем большую энергию надо затратить для достижения данной скорости, т.е. момент инерции – есть мера инертности вращающегося т ела.

Описание установки, вывод рабочих формул

Установка, с помощью которой можно определять моменты инерции тел произвольной формы, представляет собой трифилярный подвес (рис. 2), состоящий из верхней и нижней платформ, соединенных между собой тремя нитями. Верхняя платформа неподвижна, нижняя может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через центры платформ.

Колебания нижней платформы со вершаются за счет потенциальной энергии, приобретенной в результате поворота ее на угол . Если угол закручивания мал, то

колебания платформы будут гармоническими и изменение угла со временем будет происходить по

синусоидальному закону:

0 sin 2T t , (1)

где T- период колебания;

t - время от начала колебаний;

Рис. 2

Пусть платформа массы m в результате поворота ее на угол поднялась на

высоту h. Тогда ее потенциальная энергия относительно положения равновесия будет равна:

При опускании платформа придет во вращательное движение и пройдет по инерции положение равновесия с кинетической энергией:

Пренебрегая потерями энергии на трение, можно записать закон сохранения энергии для платформы в виде:

5

Высота подъема платформы h может быть определена из простых геометрических соображений (см. приложение):

где r и R радиусы платформ; l – длина нити.

Полученное выражение (8) позволяет определить как момент инерции пустой платформы J1оп., так и системы: платформа + тело J2оп.. Чтобы определить момент инерции тела, следует из общего момента инерции вычесть момент

инерции пустой платформы.: Jоп J2оп J1оп. В данной лабораторной работе

исследуемым телом является кольцо, (диск). Необходимо определить его момент инерции опытным путем, используя формулу (8) и теоретически по формулам:

RK - внешний радиус кольца, (RД – радиус диска), rK - внутренний радиус кольца.

Выполнение работы

1.Измерьте радиусы верхней и нижней платформ и среднюю длину нитей. Результаты запишите в таблицу 1.

2.Возбудите колебания нижней платфо рмы, повернув ее двумя руками на малый угол 0 5 100 .

6

3.Убедившись, что платформа совершает чисто крутильные колебания, включите секундомер и измерьте время n=10 полных колебаний. Проведите опыт еще два раза. Найдите период колебаний пустой платформы:

4.Положите кольцо, (диск) (по указанию преподавателя) на платформу так, чтобы центр кольца, (диска) совпадал с центром платформы. Измерьте аналогичным образом период колебаний платформы с телом.

5.По результатам измерений вычислите момент инерции пустой платформы ( J1оп ) и платформы с кольцом, (диском) ( J2оп) по формуле (8).

6.По формуле:

определите относительную погрешность измерения момента инерции пустой платформы. Для платформы с кольцом, (диском) она будет практически такой же. Абсолютную погрешность найдите так: ∆J=δ·J.

7.Вычитанием определите момент инерции кольца, (диска): Jоп J2он J1оп.

8.Окончательный результат запишите в таком виде:

Jоп J J.

9.Измерьте радиусы R и r кольца (или Rд для диска) и занесите данные в таблицу 2.

10.Определите момент инерции кольца (диска ) теоретически по формуле (9) или (10).

Оцените расхождение результатов:

7

Таблица 1 для опытного определения момента инерции кольца (диска)

8

Индивидуальные задания

1.Угол поворота тела при колебаниях меня ется со временем по закону:

2sin 3t( рад) .

Найдите период колебаний тела и угловую скорость смещения тела.

2.Используя теорему Штейнера, найдите момент инерции диска через ось, перпендикулярную его плоскости и проходящую через середину радиуса.

3.Вычислите кинетическую энергию платформы в поло жении равновесия, если в крайнем положении она приподнялась на 2 см. Использовать массу, указанную на установке. Трением пренебречь.

4.Крутильный маятник колеблется по закону косинусов с круговой частотой 0,2 рад/с. Максимальное отклонение ма ятника от положения равновесия 5°. Запишите уравнение колебаний этого маятника в системе СИ, если в момент времени t= 0, он находился в положении равновесия. Найдите период его колебаний.

5.Найдите угловую скорость платформы в положении равновесия, если при наибольшем отклонении от положения равновесия она приподнялась на 1 см. Трением пренебречь. Платформу рассматривать как сплошной однородный диск массы 500 г и радиуса 20см.

6.Определить момент инерции J кольца относительно оси, проходящей через середину внешнего радиуса перпендикулярно плоскости кольца. Внешний радиус кольца 20 см, внутренний радиус 10см, масса кольца 1кг.

7.Вычислить период колебаний платформы, если она за 2 с совершила 3 колебания..

8.Изменение угла поворота вращающегося тела от времени t происходит по

закону A Bt 2 Ct 3 , где

`

B = 4 рад/c2; C = -1 рад/c3;

Найти: а) угловую скорость в момент времени t = 2 c. в) угловое ускорение в момент времени t = 2 c.

9.В трифилярном подвесе нижняя платформа в виде диска массой 1кг и радиусом 20 см колеблется так, что угол ее поворота меняется по закону:= 3sin2t рад. Найти: 1) период колебаний платформы. 2) кинетическую энергию при прохождении положения равновесия. 3) На какую наибольшую высоту может подняться платформа при колебаниях? (0,36 Дж; 3,7 см)

3

10.Вычислить момент инерции пластины, помещенной в центре нижней платформы трифилярного подвеса, если ма сса пластины 7кг, а период колебания платформы с пластиной 0.5с. Остальные данные возьмите из своего отчета.

Библиографический список

1). Т.И. Трофимова. Механика твердого тела./ Трофимова Т. И.// Курс физики: Учеб. – М; 2001. – Гл. 4., § 16-19. - С. 34-41.

2)Т.И. Трофимова. Колебания и волны./ Трофимова Т. И.// Курс физики: Учеб. – М; 2001. – Гл. 14., § 16-17. - С. 255-257

3)А.Г. Чертов и др. «Задачник по физике» §3,§6.

4

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

6

Определение массы и средней плотности Земли методом математического маятника

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007