Механика 2-8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Краткая теория

Физическим маятником называется тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести, и способное совершать колебания относительно этой оси (рис. 1).

Докажем, что маятник, отклоненный на малый уголот положения равновесия, будет совершать гармонические колебания.

Гармоническим колебанием физической величины

называется процесс изменения ее во времени t по закону

где А -амплитуда колебания, Т-период колебания.

График такого колебания представлен на рис. 2.

α

t

рис. 2

Из определения гармонического колебания следует, что период колебания является наименьшим промежутком времени, по истечению которого движение в точности повторяется. Действительно,

За время t=T совершается одно полное колебание. Амплитуда колебания А равна максимальному значению . Величина соответствует фазе в начальный момент времени (t=0) и называется начальной фазой.

3

реакцией опоры. Под действием другой составляющей:

ℓ=OA – расстояние от точки подвеса до центра тяжести. Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону противоположную

Подставляя (8) и (10) в (7), можно убедиться, что левая часть уравнения тождественно равна нулю. Сравнивая (9) и (1), получим:

Из уравнения (11) следует, что период колебания увеличивается с увеличением момента инерции.

4

Математическим маятником называется колебательная система, состоящая из материальной точки, прикрепленной к концу идеально гибкой, нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой за креплен неподвижно.

Близким к математическому маятнику является тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити рис.3.

Момент инерции математического маятника относительно точки подвеса равен:

математического маятника не зависит от его массы m.

Описание установки и вывод расчетных формул

Прибор состоит из горизонтальной площадки (1), прикрепленной к стене, на площадке смонтированы подушки ножевых опор (2) для установки на них физического маятника. Кроме того на той же площадке расположено крепление нити математического маятника.

Физический маятник представляет собой цилиндрический стержень (3), на котором закреплены две неподвижные ножевые опоры О 1 и О2 и две чечевицы А1 и А2, из которых первая неподвижна, а вторая может перем ещаться вдоль шкалы Ш. Ввиду наличия двух точек подвеса,

рис. 4 данный физический маятник является оборотным. Если расстояние между ножами оборотного маятника равно L, то центр тяжести может быть найден следующим образом.

На основании формулы (11) получим:

где ℓ1- расстояние от центра тяжести С до точки подвеса О1.

Если маятник перевернуть, то период его колебаний изменится, так как изменится момент инерции и расстояние от оси вращения до центра т яжести:

5

где (L-ℓ1)= ℓ2 .

Воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера для определения момента инерции при параллельном переносе оси вращения:

Определив ℓ1, нетрудно по формулам (13) и (14) вычислить моменты инерции относительно двух осей вращения.

Сравнивая формулы для периодов колебаний физического (11) и математического (12) маятников, можно заключить, что математический маятник с длиной:

будет иметь такой же период колебан ий, как и данный физический маятник. Вычисленная по этой формуле величина называется приведенной длиной физического маятника.

Выполнение работы

1.Подвесить маятник за призму О1, при этом обе чечевицы окажутся ниже точки подвеса. Установить с помощью ключа чечевицу А2 в одном из положений относительно шкалы по указанию преподавателя.

2.Отклонить маятник на небольшой угол и отпустить. Заметить на стене какую-либо крайнюю точку, которой достигает маятник при своих качаниях. Пронаблюдать несколько колебаний маятн ика. На счет «ноль» включить секундомер и измерить время 10 колебаний маятника. Повт орить опыт еще

6

два раза. Расхождение времен в отдельных опытах не должно превосходить погрешности секундомера (0,2 с).

3.Определить экспериментально приведенную длину физичес кого маятника

при его качаниях на оси О1. Для этого, изменяя длину математическ ого маятника, подвешенного на одной стойке с физическим маятником, подобрать такую длину, чтобы колебания обоих маятников были си нхронны.

4.Перевернуть маятник и измерить период к ачаний физического маятника на оси О2. Определить экспериментально его приведенную длину.

5.По результатам измерений вычислить положение центра тяжести ( ℓ1 и ℓ2), моменты инерции J 1 и J 2, и теоретические значения приведенных длин. (Масса маятника 6,38 кг и расстояние между опорными призмами L = 0,74 м.).

6.Оценить погрешность измерений по относительной погрешности изм ерения приведенных длин:

Контрольные вопросы

1.Чему равен момент инерции для материальной точки и для твердого т ела?

2.В чем заключается физический смысл момента инерции, от чего зависит момент инерции и в каких единицах он измеряется в системе СИ?

3.Объяснить и записать теорему Штейнера.

4.Записать основной закон динамики вращательного движения. Пояснить значения величин в него входящих.

5.Запишите закон изменения угла отклонения физического маятника от времени и объяснить все величины, входящие в него.

6.Какие колебания называются гармоническими?

7.Что называется физическим маятником?

8.Записать и объяснить формулу для периода физического маятника.

9.Что называется приведенной длиной физического маятника? Выведите формулу приведенной длины физического маятника.

7

Индивидуальные задания

1.Диск массой m, радиусом R колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно к плоскости диска. Определить частоту колебания такого физического маятника

2.Два шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком, невесомом

3.Три маленьких шарика массой m = 10г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 20см и скреплены между собой .Определить момент инерции J системы относительно оси : 1)

перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описаной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и прох одящей через центр описанной окружности и одной из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь.

Ответы: 1) 4 10-4 кг м2 ; 2) 2 10-4 кг м2.

4.Найти момент инерции J относительно оси О, О1, О2, О3 для случаев а) шары (m, R); б) обручи (m, R, 2m, 2R); в) обруч(m, R) + шар (5m, R/2) ;г) стержень

8

6.Тонкий однородный стержень длиной ℓ = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением = 3 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М. Ответ: 0,025 н м.

7.Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости.

Зависимость угловой скорости вращения диска от времени t дается уравнение =A+Bt, где B = 8 рад/с2. Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь. Ответ: F = 4,0 Н.

8.Маховик, момент инерции которого J = 63,6 кг м2 вращается с угловой

скоростью = 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения M, под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском. Ответ: M=100 Н м.

9.Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период к олебаний T обруча. Ответ: T=1,5 с.

Библиографический список

Трофимова Т. И. Колебания и волны./ Т. И. Трофимова // Курс физики: Учеб. – М; 1998.- Гл. 18., § 140-141; С.255-257.

9

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

5

Определение момента инерции тела произвольной формы методом крутильных колебаний

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ А ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Краткая теория

Если в динамике поступательного движения инерционные свойства тела полностью определяются его массой, то в динамике вращательного движения они определяются не только массой, но и её р аспределением вокруг оси вращения. Поэтому во вращательном движении вводится величина, определяющая инертные свойства вращающегося тела, называемая моментом инерции тела. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется пр оизведение массы материальной точки на квадрат её расстояния до этой оси:

Моментом инерции тела называется величина, равная сумме моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело:

i 1

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу по всему объёму тела:

Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z. Путем интегрирования находятся моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы. Моменты инерции некоторых и з них даны

в следующей таблице:

3