Механика 2-8

Перфильева, Э.А. Изучение и проверка основного закона динамики вращательного движения [Текст]: метод. указания/ Э.А. Перфильева. – Ухта: УГТУ, 2007 – 10 с.; ил.

Методические указания к лабораторным занятиям по физике по теме «Механика твердого тела» предназначены для студентов всех специальностей технических вузов.

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 19.02.07 г. пр. № 5.

Редактор: Шамбулина В.Н., доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.

В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.

План 2007г., позиция 30 . Подписано в печать 16.04.2007. .

Компьютерный набор: Логинова Н., гр. ИСТ – 05.

Ухтинский государственный технический университет, 2007 169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ . 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.

2

ИЗУЧЕНИЕ И ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

точки ее приложения A до оси вращения, т.е. зависит от момента силы. Моментом M вращающейся силы (вращающим моментом) называется

произведение вращающей силы F на радиус окружности r, описываемый точкой приложения силы:

M Fr

Мысленно разобьем тело на очень малые частицы – элементарные массы. Хотя сила F приложена к одной точке A тела, ее вращающее действие передается всем частицам: к каждой элементарной массе будет приложена элементарная вращающая сила Fi (см. рис. 1). Согласно второму закону Ньютона:

где ai - линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножая обе части этого равенства на радиус ri окружности, описываемой элементарной массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение получим:

Firi miri2 .

Учитывая, что Firi= Mi – вращающий момент, приложенный к элементарной массе, и обозначая:

miri2 Ji ,

получим:

3

где Ji – момент инерции элементарной массы (элементарной точки). Следовательно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения есть произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Суммируя вращающие моменты Mi, приложенные ко всем

где Mi=M - вращающий момент, приложенный к телу, т.е. момент

вращающей силы F, Ji=J – момент инерции тела. Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.

Теперь можно переписать формулу (3) в виде:

Формула (4) выражает основной закон динамики вращения (второй закон Ньютона для вращательного движения) .

Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

Из формулы (4) видно, что угловое ускорение, со общаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела: чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции

характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении. Однако в отличие от массы момент инерции данного тела может иметь множество значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симметрии тела.

Из формулы (2) следует, что единицей измерения моме нта инерции является килограмм х квадратный метр (кг·м2).

Если вращающий момент M=const и момент инерции тела J=const, то формулу (4) можно представить в виде:

M J t 0 ,

или:

где ∆t - промежуток времени в течение, которого угловая скорость вращения изменяется от 0 до . Произведение M t (аналогичное импульсу силы F t)

называется импульсом момента силы, произведение J (аналогичное импульсу тела mυ) называется моментом импульса тела.

Формула (5) выражает основной закон динамики вращения через момент импульса тела..

4

Изменение момента импульса тела за некоторый промежуток времени равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.

В общем случае (M const) основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

производится на приборе, представляющим из себя крестовину, вращающуюся на горизонтальной оси (маятник Обербека). По стержням крестовины могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре груза одинаковой массы. С крестовиной связан шкив радиуса r, на который можно наматывать нить с грузом m.(Рис. 2)

Под действием спускающегося груза маятник приходит в равноускоренное вращательное движение. Формулу (4) можно переписать так:

Соотношение (6) показывает, что угловое ускорение :

1) прямо пропорционально вращающему моменту М при постоянном моменте инерции системы J:

Целью работы и является проверка зависимостей (7) и (8).

Для изучения зависимости углового ускорения от вращающего момента M при постоянном моменте инерции системы J к маятнику прикладываются различные вращающие моменты M1, M2, M3… и вычисляются соответствующие угловые ускорения 1, 2, 3…

5

Однако вместе с ε будет меняться и М, что затрудняет проверку

формулы (8).

Учитывая эти затруднения проверку соотношения (8) можно провести косвенно путем сравнения момента инерции маятника, определенного из графика рис. 3 с моментом инерции маятника вычисленным теоретически. Совпадение опытного и теоретического значений момента инерции маятника и будет доказательством справедливости соотношения (8).

Из основного закона динамики вращательного движения

где M – момент силы, созданный опускающимся грузом массы m (любое значение на графике, ε – угловое ускорение). Вычисленное по формуле (14) значение момента инерции маятника будет экспериментальным.

Теоретически момент инерции маятника может быть найден как, сумма момента инерции крестовины и моментов инерции четырех грузов, находящихся на крестовине. Если грузы расположены на одинаковых расстояниях от оси вращения, то момент инерции системы равен:

где Jкр. – момент инерции крестовины (указан на установке); Jгр. – момент инерции одного груза, который можно вычислить по формуле момента инерции материальной точки, т.е.

Jгр m1R2 ,

где R – расстояние от центра груза до оси вращения крестовины, m1 – масса одного груза, находящегося на крестовине.

Выполнение работы

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер, набор грузов, линейка.

1.Установите грузы на крестовине на одинаковых расстояниях R (по указанию преподавателя) от оси вращения и добейтесь безразличного равновесия крестовины. Для удобства работы нить с чашкой сл едует снять со шкива.

2.У преподавателя выясните и запишите высоту h опускания груза и радиус r шкива.

3.Запишите в таблицу (по указанию преподавателя) массы грузов с которыми предстоит выполнять работу. (Масса груза m складывается из массы чашки и положенного в нее разновеска. Масса чашки указана на установке).

7

4.Намотайте на шкив вращением маятника нить и измерьте три раза время опускания груза с высоты h. Найдите среднее значение времени.

5.Увеличивая массу груза m, проведите еще три - четыре опыта. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

6.По результатам измерений вычислите вращающие моменты M1, M2,М3 …

соответствующие им значения 1, 2, 3 … Постройте график зависимости углового ускорения от вращающего момента.

7.Пользуясь графиком определите момент сил трения и момент инерции маятника Jэ (экспериментальный).

8.Вычислите теоретическое значение момента инерции маятника Jт и сравните с экспериментальным, для чего найдите их относительное расхождение. Относительное расхождение находится по формуле :

Е Jт Jэ 100% .

Jт

m r h

1

t2

3

tср

a M

Контрольные вопросы

1.Как называется выполненная вами работа?

2.Что называется моментом инерции материальной точки, ? твёрдого тела?

3.Что характеризует момент инерции? От чего зависит? В каких единицах измеряется?

4.Что называется вращающим моментом? В каких единицах он измеряется?

5.Запишите основной закон динамики вращательно го движения твердого тела:

a)в общем виде,

b)для J=const.

6.Как находится Jm?

7.Каким образом можно уменьшить момент ин ерции маятника Обербека?

8

8.Что называется моментом импульса тела? В чем он измеряется?

9.Вывести расчетную формулу для вращающего момента М .

Индивидуальные задания

1. На какое расстояние надо передвинуть каждый груз, чтобы уменьшить момент инерции всей установки в 2 раза?

2.На горизонтальную ось насажен маховик и шкив радиуса R=5 см пренебрежимо малой массы. На шкив намотан шнур, к концу которого подвешен груз m=0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошёл путь S=1,8 м

за время t=3с. Определить момент инерции маховика. Ответ: 0,0235 кг·м2 .

3.Вычислите угловое ускорение и вращающий момент в задаче №2, пользуясь

значением момента инерции маховика, указанным в ответе? Ответ: 8 р/с2 ; 0,188 н·м .

4.Грузы массой 200г каждый находятся на крестовине в 20 см от оси вращения.

Чему равен момент инерции установки, есл и пренебречь массой крестовины? Ответ: 0,032 кг·м2 .

5.Вычислите момент силы трения, если установка приходит во вращение под действием груза не менее 100 г со шкивом радиусом 2 см.

Ответ: 0,196 Н·м.

6.К ободу однородного диска радиусом R=0.2 м приложена постоянная касательная сила F= 98.1 Н. При вращении на диск действует мом ент сил

трения Mтр=0.5Н м. Найти вес Р диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением 100рад/c2 .

Ответ: 93,6 Н.

7.На вал массой m1=20 кг. Намотана нить, к концу которой привязали груз массой m2=1 кг. Определить ускорение груза, опускающегося под действием силы тяжести. Трением пренебречь.

Ответ: a=0.89 м /с2.

8.Тело из состояния покоя приводится во вращение вокруг горизонтальной оси с помощью падающего груза, соединенного со шнуром, предварительно намотанным на ось. Определить момент инерции тела, если груз массой m=2 кг. в течение t=12 с. опускается на расстояние h=1 м. Радиус оси r=8 мм. Силой трения пренебречь.

Ответ: I=0.09 кг м2 .

Библиографический список

Трофимова. Т.И. Механика твёрдого тела./ Т.И. Трофимова //Курс физики: Учеб. – М; 2000. – Гл.4., § 16-18; С.34-38.

9

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

4

Определение момента инерции и положения центра тяжести физического маятника

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007