методичка 2 курс 3 семестр3 1911

Область сходимости степенного ряда an xn

определяется из условия

n 0

x

R , где число R называется радиусом сходимости. Внутри интервала

x

R

или

R x R ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится.

Для

определения сходимости ряда на концах интервала

R x R , т. е. в точках

x R , требуется дополнительное исследование.

Область сходимости находят по признаку Даламбера: lim

un 1

1

u

n

n

Ряд Тейлора

f

n

(x0 )

f (x) f (x

)

f (x0 )

x x

f (x0 )

(x x

)2

...

x x

n ...

0

0

0

0

1!

2!

n!

Ряд Маклорена

f

n

(0)

f (x) f

(0)

f

(0)

x

f (0)

x2

...

xn

...

1!

2!

n!

Разложение функций в ряд.

e x 1

x

x2

x3

...

xn

...,

x ;

1!

2!

3!

n!

sin x

x

x3

x5

x7

...

1 n 1

x2n 1

...,

x ;

1!

3!

5!

7!

2n 1 !

x2

x4

n

x2n

cos x 1

... 1

...,

x ;

2!

4!

2n !

1

1 х х2

... хn ...,

1 x 1

1 х

1 x m 1

m

x

m m 1

x2

m m 1 m 2

x3 ...

m m 1 ... m n 1

x n

...,

1!

2!

3!

n!

1 x 1;

ln 1 x x

x2

x3

... 1 n 1

xn

...,

1 x 1;

2

3

n

arctgx x

x3

x5

... 1 n

x2n 1

..., 1 x 1;

3

5

2n 1

1

x3

1 3

x5

1 3 5

x7

1 3 ... 2n 1

x2n 1

arcsin x

x

...,

2

3

2 4

5

2 4 6

7

2 4 ... 2n

2n 1

1 x 1;

Ряд Фурье

Функция

f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке ; ,

если

3)

во всех точках отрезка ; f (x)

f (x 0) f (x 0)

, т. е. равна

2

среднему арифметическому пределов функции f (x) справа и слева.

Если функция f (x) задана на отрезке ; , то при выполнении на этом

a0

n x

n x

, на промежутке l; l

f (x)

an cos

bn

sin

2

n 1

l

l

где a

1

l

f (x)dx,

a

1

l

f (x) cos

n x

dx,

b

1

l

f (x) sin

n x

dx.

0

n

l l

l l

l

n

l l

l

Если f (x) - четная,

f (x)dx , an

f (x) cos n x dx , bn

0

то

f x a0

an

cos n x , где a0

2

l

2

l

0

0

2 n 1

l

l

l

l

Если f (x) - нечетная,

0 , bn

2

f (x) sin n x dx

то

f x

bn sin n x , где a0 0, an

l

0

n 1

l

l

l