методичка 2 курс 3 семестр3 1911
.pdfМИНОБРНАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ)
Материалы для подготовки к экзамену по математике
для студентов 2 курса Часть 3
Семестр 3
Методические указания
Ухта, УГТУ, 2013г
.
УДК 51 ББК 22.172, 22.161
Пластинина, Е.В.
М 85 Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 2 курса. Часть 3 . Семестр 3 [Текст]: методические указания / Е. Н. Мотрюк, Е. В. Пластинина – Ухта: УГТУ, 2013. – 32 c.
Методические указания содержат банк вопросов, варианты экзаменационных билетов по курсу «Математика» (третий семестр) для студентов технических специальностей. Для подготовки к экзамену предлагаются справочные материалы по темам «Дифференциальные уравнения», «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы», «Теория поля», «Числовые, степенные и функциональные ряды». Уровень предлагаемых заданий соответствуют требованиям ФГОС III поколения.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой высшей математики, протокол № 09 от 25 мая 2013 г.
УДК 51
ББК 22.172, 22.161
Рецензент: Е. В. Жилина, старший преподаватель кафедры высшей математики УГТУ.
Редактор: Е. В. Хабаева, ассистент кафедры высшей математики УГТУ. Корректор и технический редактор: Т. К. Шпилева.
В методических указаниях учтены замечания рецензента и редактора.
План 2013 г., позиция Подписано в печать г. Компьютерный набор.
Объем 32 с. Тираж 200 экз. Заказ №.
© Ухтинский государственный технический университет, 2013. 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
Типография УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ.......................................... |
4 |
1.1. Дифференциальные уравнения........................................................................ |
4 |
1.2. Кратные интегралы ........................................................................................... |
4 |
1.3. Криволинейные и поверхностные интегралы................................................ |
5 |
1.4. Теория поля ....................................................................................................... |
5 |
1.5. Ряды .................................................................................................................... |
5 |
2. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА................................................................ |
7 |
3. ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ........................................ |
8 |
3.1. Билет 1 (кратные интегралы, криволинейные интегралы, теория поля, |
|
ряды).......................................................................................................................... |
8 |
3.2. Билет 2 (дифференциальные уравнения, кратные интегралы, |
|
поверхностные интегралы, ряды)........................................................................... |
8 |
3.3. Билет 3 (кратные интегралы, криволинейные интегралы, теория поля, |
|
ряды) – комбинированный: тест+задачи ............................................................... |
8 |
3.4. Билет 4 (дифференциальные уравнения, кратные интегралы, |
|
криволинейные интегралы, теория поля, ряды) – комбинированный: |
|
тест+задачи ............................................................................................................. |
10 |
3.5. Билет 5 (кратные интегралы, криволинейные интегралы, теория поля, |
|
ряды) – комбинированный: тест+задачи с выбором уровня сложности.......... |
12 |
4. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ....................................................................... |
16 |
4.1. Дифференциальные уравнения...................................................................... |
16 |
4.2. Кратные интегралы ......................................................................................... |
20 |
4.3. Криволинейные и поверхностные интегралы.............................................. |
23 |
4.4. Теория поля ..................................................................................................... |
25 |
4.5. Ряды .................................................................................................................. |
28 |
3
1.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1.1.Дифференциальные уравнения
1.Дифференциальные уравнения I-го порядка. Определение общего, частного решения.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3.Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка.
4.Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка.
5.Дифференциальные уравнения II-го порядка. Определение общего, частного решений.
6.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
7.Линейное дифференциальное уравнение II-го и n-го порядка, их классификация. Определение общего и частного решений. Структура общего решения однородного уравнения.
8.Фундаментальная система решений для однородного линейного дифференциального уравнения II-го и n-го порядков.
9.Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами (случаи разных, равных, комплексных корней характеристического уравнения).
10.Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
11.Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения II-го и n-го порядков.
12.Отыскание частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения II-го и n-го порядков с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
13.Метод вариации произвольной постоянной.
14.Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом характеристических корней
15.Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом подстановки.
1.2. Кратные интегралы
16.Определение двойного интеграла. Основные свойства, геометрический смысл.
17.Вычисление двойного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат.
18.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
19.Приложения двойного интеграла.
20.Определение тройного интеграла. Основные свойства.
21.Вычисление тройного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат.
22.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
4
23.Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
24.Приложения тройного интеграла.
1.3. Криволинейные и поверхностные интегралы
25.Криволинейный интеграл 1 рода, свойства, вычисление, приложения. 26.Криволинейный интеграл 2 рода, свойства, вычисления, физический
смысл. 27.Формула Грина.
28.Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Криволинейный интеграл от полного дифференциала.
29.Поверхностный интеграл 1 рода, определение, свойства, вычисление. 30.Поверхностный интеграл 2 рода, определение, способы вычисления. 31.Формула Остроградского-Гаусса.
32.Формула Стокса.
1.4. Теория поля
33.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня.
34.Градиент скалярного поля, производная по направлению.
35.Векторное поле. Векторные линии.
36.Поток векторного поля.
37.Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса. 38.Циркуляция векторного поля.
39.Ротор векторного поля. Формула Стокса.
40.Оператор Гамильтона (набла), определение. Использование для записи функциональных операций. Дифференциальные операции второго порядка.
41.Потенциальные, соленоидальные, гармонические поля. Их свойства.
1.5. Ряды
42.Числовые ряды. Основные понятия.
43.Ряд геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости числового ряда.
44.Признак сравнения рядов.
45.Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
46.Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд.
47.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
48.Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
49.Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящегося ряда.
50.Сходимость степенных рядов. Теорема Н. Абеля.
51.Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
52.Свойства степенных рядов.
53.Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
5
54.Приближенные вычисления с помощью рядов (вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений, нахождение значения функции в точке).
55.Понятие ряда Фурье.
56.Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
6
2.РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Высшая математика в упражнениях и задачах: [в 2 ч.] / Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. – 6-е изд. – М. : ОНИКС: Мир и Образование, 2007.
2.Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный 4-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2006.
3.Шипачев В. С. Высшая математика / В. С. Шипачев. – М.: Высшая школа,
2006.
4.Гусак А. А. Высшая математика / А. А. Гусак. – Т. 1. – Минск: Тетрасистемс. – 2008.
5.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / Л. А. Кузнецов. — СПб.: Издательство «Лань», 2005.
6.Пластинина Е. В. Теоретические сведения и примеры решения задач по математике для студентов I курса ФБО: учебное пособие / Е. В. Пластинина, С. Е. Зубкова, М. Н. Габова. – Ухта: УГТУ, 2008. – 105 с.
7.Мужикова А. В. Высшая математика: учебное пособие для студентов 2 курсов технических специальностей заочной формы обучения / А. В. Мужикова, Е. В. Жилина, Е. Н. Мотрюк. – Ухта: УГТУ, 2009. – 190 c.
8.Мотрюк Е. Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. методические указания для студентов 1 курса всех специальностей / А. В. Мужикова, Е. В. Пластинина, Е. Н. Мотрюк. – Ухта, 2005 – 60 с.
9.Мотрюк Е. Н. Дифференциальное и интегральное исчисление в некоторых задачах теории физических полей: учебное пособие / Е. Н. Мотрюк. – Ухта: УГТУ, 2008. – 84 с.: ил.
10.Пластинина Е. В. Ряды. Ряды Фурье / Э. Г. Майорова, Е. В. Пластинина, Ю. Г. Дашук. – Ухта: УГТУ, 2005. – 40 с.
7
3.ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ
Вбилеты 3.1-3.2 включаются 2 теоретических вопроса из разных разделов.
3.1. Билет 1 (кратные интегралы, криволинейные интегралы, теория поля, ряды)
1. |
Вычислить |
площадь фигуры, |
|
|
|
|
ограниченной |
данными |
линиями |
|||||||||
|
y |
3 |
, y 4e x , y 3, y 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Вычислить |
криволинейный интеграл x |
y 2 |
x2 dl , где |
L – |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
x cost, y sint,t [0; ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|||
3. |
Исследовать сходимость ряда: |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
3n! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Найти rot F , |
если F 2xyi j 2zk . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Билет 2 (дифференциальные уравнения, кратные интегралы, поверхностные интегралы, ряды)
1. |
Найти частное решение дифференциального уравнения |
||||||||
|
y'' 4y' 3y 8e5x ; y(0) 3, y'(0) 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить xdxdydz; V : y 10x, y 0, z xy, z 0, x 1 |
|
|||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычислить поверхностный |
интеграл |
|
ds |
, где S – часть |
||||
|
|
||||||||
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
1 x z |
|
|
плоскости x y z 1, заключенная в первом октанте. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4. |
Исследовать сходимость ряда: |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln |
n |
(n 1) |
|
|
|
||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Билет 3 (кратные интегралы, криволинейные интегралы, теория поля, ряды) – комбинированный: тест+задачи
1. Циркуляцию векторного поля а М вдоль замкнутого контура L вычисляют по формуле Варианты ответов:
1) |
grada |
|
|
0 ds |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
diva |
n0 ds |
||||||||||||||
|
S |
|
S |
|||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rota |
n0 ds |
4) |
|
a |
|
n |
0 ds |
|||||||||
|
S |
|
S |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
2. Производная по направлению l |
функции z f (x, y) может быть найдена по |
|||||||||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
dz |
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x i |
y |
j |
|
|
|
|
dl |
|||||
3) |
dz |
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
x cos |
y cos |
|||||
|
dl |
|||||||
2) |
dz |
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
x sin |
y sin |
|||
|
dl |
||||||
4) |
|
|
dz |
|
z |
|
z |
|
|
|
dl |
x |
y |
||
3. Криволинейный интеграл II рода при условии, что кривая L задана явно, вычисляется по формуле:
Варианты ответов:
1) |
|
|
2) |
|
|
(P x t |
, y t x t Q x t , y t y t )dt |
(P x t , y t Q x t , y t )dt |
|||
|
|
||||
3) |
|
|
4) |
|
|
b |
|
b |
|||
|
(P x, y x Q x, y x )dx |
|
(P x, y x Q x, y x y x )dx |
||
|
a |
|
|
a |
|
4. Переходить к полярным координатам при вычислении двойного интеграла целесообразно, если областью интегрирования является:
Варианты ответов: |
|
|
|
1) |
квадрат |
2) |
круг |
3) |
сфера |
4) |
коническая |
|
|
|
поверхность |
|
|
|
|
5. При определении сходимости ряда un |
по радикальному признаку Коши |
||
n 1
информацию о том, что ряд расходится получают из условия:
Варианты ответов: |
|
|
|
1) |
с>1 |
2) |
с=0 |
3) |
с≠0 |
4) |
с<1 |
6. Дана функция z ln 2x 3y . Найти производную по направлению
А(3, 1), l 3i 2 j .
14 x2
7.Вычислить dx (x 3y)dy
02 x 1
z , если
l A
8. Вычислить (x y)dx (x 2 y)dy L: y= 
x от т.А(0,0) до т.В(1,1).
L
9. Вычислить поток векторного поля a(M ) (3x 1)i ( y z x) j (4z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью ( p) : 2x y 2z 2 и координатными плоскостями по формуле Остроградского-Гаусса.
|
n |
|
10. Найти область сходимости степенного ряда |
2 |
x n |
n |
||
n 1 |
|
|
9
3.4. Билет 4 (дифференциальные уравнения, кратные интегралы, криволинейные интегралы, теория поля, ряды) – комбинированный: тест+задачи
1. Если область (S) определена в полярных координатах, то площадь этой области вычисляется по формуле:
1) |
S dr d |
2) |
S |
1 |
|
dr d |
|
||||||
|
( S ) |
|
2 |
|
( S ) |
|
|
|
|
|
|||
3) |
S r 2 dr d |
4) |
S r dr d |
|||
|
( S ) |
|
( S ) |
|
||
2. Масса тела при заданной объемной плотности (x, y, z) определяется по формуле:
1) |
m (x, y, z) dx dy dz |
2) |
m |
1 |
|
(x, y, z) dx dy dz |
|
3 |
|||||||
|
V |
|
|
V |
|||
|
|
|
|
|
|
||
3) |
m dx dy dz |
4) |
m (x, y, z) dx dy dz |
||||
|
V |
|
|
V |
|
||
3. Формула для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода в случае, когда кривая L задана параметрическим образом, следующая:
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) f (x, y) dl f (x, y(x)) 1 y (x) |
|
|
||||||
L |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y(x)) Q(x, y(x)) y (x) dx |
||||||||
L |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
3) f (x, y) dl b |
f (x(t), y(t)) |
|
xt 2 |
yt 2 |
dt |
|||
L |
ta |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
4) P(x, y)dx Q(x, y)dy b P(x(t), y(t)) xt Q(x(t), y(t)) yt dt |
||||||||
L |
|
ta |
|
|
|
|
|
|
4. Выберите два верных утверждения: |
|
|
||||||
|
1) криволинейный интеграл 2-го |
2) криволинейный интеграл 2- |
||||||
рода не зависит от выбора направления |
го рода по замкнутой кривой не |
|||||||
пути интегрирования |
|
|
|
|
|
зависит от выбора начальной точки |
||
3) если кривая интегрирования разбита |
4) формула Остроградского – Грина |
|||||||
на две части, имеющие единственную |
|
|||||||
|
устанавливает связь между |
|||||||
общую точку, то криволинейный |
|
|
|
|||||
|
|
|
криволинейными интегралами 1-го и |
|||||
интеграл 2-го рода равен |
|
|
|
|
|
|||
сумме интегралов по частям кривой |
2-го рода |
|
5. Дан поверхностный интеграл 1-го рода. Если уравнение поверхности задано в явном виде x = x (y, z), то целесообразно пользоваться формулой вычисления:
1) f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y)) |
|
2 |
|
2 |
dxdy |
|
1 (zx ) |
|
(z y ) |
|
|||
S |
Dxy |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|