Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Математический маятник

Колебания математического маятника.
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).
Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: .
На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).
Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s): .
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что или- циклическая частота при колебаниях математического маятника.
Период колебаний или(формула Галилея).	Формула Галилея
Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: . Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то  . Производная суммы равна сумме производных:   и      .
Следовательно: , а значит.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клапейрона).
Уравнением состояния называется уравнение, связывающее параметры физической системы и однозначно определяющее ее состояние. В 1834 г. французский физик Б.  Клапейрон, работавший дли тельное время в Петербурге, вывел уравнение состояния идеаль­ного газа для постоянной массы газа. В 1874 г. Д. И. Менделеев вывел уравнение для произвольного числа молекул.
В МКТ и термодинамике идеального газа макроскопическими параметрами являются: p, V, T, m. Мы знаем, что . Следовательно,. Учитывая, что, получим:.
Произведение постоянных величин есть величина постоянная, следовательно: - универсальная газовая постоянная (универсальная, т.к. для всех газов одинаковая).
Таким образом, имеем:  - уравнение состояния (уравнение Менделеева – Клапейрона).
Другие формы записи уравнения состояния идеального газа.
1.Уравнение для 1 моля вещества. Если n=1 моль, то, обозначив объем одного моля Vм, получим: . Для нормальных условий получим:
2. Запись уравнения через плотность: - плотность зависит от температуры и давления!
3.  Уравнение Клапейрона. Часто необходимо исследовать ситуацию, когда меняется состояние газа при его неизменном количестве (m=const) и в отсутствие химических реакций (M=const). Это означает, что количество вещества n=const. Тогда:
Эта запись означает, что  для данной массы данного газа справедливо равенство:
Для постоянной массы идеального газа отношение произве­дения давления на объем к абсолютной  температуре в данном состоянии есть величина постоянная: .
Газовые законы.
1.      Закон Авогадро. В равных объемах различных газов при одинаковых внешних условиях находится одинаковое число молекул (атомов). Условие: V1=V2=…=Vn;  p1=p2=…=pn; T1=T2=…=Tn
Доказательство:   Следовательно, при одинаковых условиях (давление, объем, температура) число молекул не зависит от природы газа и одинаково.
2.      Закон Дальтона. Давление смеси газов равно сумме парциальных (частных) давлений каждого газа. Доказать: p=p1+p2+…+pn Доказательство:
3.      Закон Паскаля. Давление, производимое на жидкость или газ, передается во все стороны без изменения.

Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.

Числа степеней свободы: это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения.  В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения. 

При любом числе степеней свободы данной молекулы три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, значит на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <ε₀> (энергия поступательного движения молекул):    В статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией, т.к. на нее приходится как кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), так и потенциальная, причем средние значения потенциальной и кинетической и энергии одинаковы. Значит, средняя энергия молекулы    где i — сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колеба¬тельных степеней свободы молекулы:i=i_пост+i_вращ+2i_колеб  В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.  Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия для одного моля газа, будет равна сумме кинетических энергий N_A молекул:   (1)  Внутренняя энергия для произвольной массы m газа.    где М — молярная масса, ν — количество вещества.