- •Высшая математика
- •Глава I Общие методические указания
- •§1. Порядок выполнения контрольных работ
- •§2. Программа курса "Высшая математика"
- •Библиографический список
- •Глава II Указания к выполнению контрольных работ
- •§1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •5.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид
- •§2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§3. Элементы высшей алгебры
- •§4. Введение в анализ
- •5. Дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки к контрольной работе №1
- •Контрольная работа №1 Векторы. Элементы высшей алгебры
- •Вопросы для самопроверки к контрольной №2
- •Контрольная работа №2 Аналитическая геометрия
- •Вопросы для самопроверки к контрольной №3
- •Контрольная работа №3 Введение в математический анализ, производная, приложения производной
- •Оглавление
§4. Введение в анализ
1. Определение предела функции.
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке Х и пусть точка x0 Х или x0 Х. Число А называется пределом функции f(x) в точке x = x0, если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 такое, что для всех x Х, удовлетворяющих неравенству 0<x - x0 < δ, выполняется неравенство
f(x) — А < ε .
2. Определение непрерывности функции.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 и в самой точке x0 и если .
3. Раскрытие неопределенностей вида и .
Пример1. Найти .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, а затем сократим на общий множитель (x +2). Получаем:
(так как неопределенность устранена, то теперь подставляем x = -2)
Пример 2. Найти:
.
Решение. Имеем неопределённость вида . Разделим на x2 числитель и знаменатель дроби:
,
так как и , то получаем =
4. I замечательный предел.
.
Так как sin 0 = 0, то это неопределенность вида.
Пример 3. Найти .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия данной неопределенности перепишем tg2x через sin2х и cos2х и применим I замечательный предел.
так как cos 0=1, имеем
где y=2x, если , то .
5. II замечательный предел.
или .
Неопределенность вида [1∞].
Пример 4. Найти .
Решение. Имеем неопределенность вида [I∞], поэтому используем II замечательный предел.
Делаем подстановку: => x = 3t. Если x —>∞ , то t —> ∞.
,
так как .
6. Раскрытие неопределённости вида [∞ — ∞].
Пример 5. Найти
.
Решение. Имеем неопределённость вида [∞-∞], для устранения которой домножим и разделим на сопряжённое выражение, то есть на
.
7. Непрерывность функции в точке.
Пример 6. Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента x:
x + 2, если x ≤ -2;
у = x2 - 4, если -2 < x < 1;
4 – 2x, если x ≥ 1.
Требуется:1) найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) найти односторонние пределы и скачок функции в точке разрыва;
3) сделать чертёж.
Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах (-∞; -2), (-2;1) и (1;+∞). При x = -2 и x = 1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв.
Определим односторонние пределы в точке x =-2:
y(-2)=-2+2=0.
Следовательно, в точке x = -2 функция непрерывна. Определим односторонние пределы в точке x = 1:
Отсюда следует, что в точке x = 1 функция разрывна. Пределы слева и справа конечны, значит , разрыв первого рода.
Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке x = 1 скачок функции ∆ = |2 - (-3)| = 5.
Построим график функции
5. Дифференцирование
1. Производной функции у = f(x) в точке x0 называется предел при ∆х —> 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
2. Правила дифференцирования:
1) (u±)′= u'±';
2) (u )′ = и' v + и v';
3) .
4) Если функция и = (x) дифференцируема в точке x0, а функция y = f(u) дифференцируема в точке U0 =(x), то сложная функция у = f[(x)] дифференцируема в точке x0 и y'(x0)=y'(U0)u'(x0),
3. Таблица производных основных элементарных функции.
1) C' = 0 2) (xn)' = nxn-1
3) (ax)׳ = ax · ln a 4) (ex)'=ex
5) (sinx)' = cosx 6) (cosx)' = -sinx
7) (tg x)' = 8) (ctg x)' =
9) (arcsin x)' = 10) (arccos x)' = -
II) (arctg x)' = 12) (arcctg.x)' =
13) (loga x)' = 14) (ln x)' = 1/x
Пример 1. Найти производную функций:
1 ) f(x} = 5 + х3 + sin x + 3 In x,
2) f(x)=,
3) f{x) =x arctg x - ln(l+x2).
Решение:
1) f'(x) = (5 + x3 + sin x + 3 In x)' = (5)' + (x3 )' + (sin х)' + 3(ln x)' =
= 0 + Зх2 + cos x + 3 = Зх2 + + cos x.
2) f'(x) =
.
3) f'(x)= (х · arctg x)' - · (1п(1 + x2))' =
=x'arctg x + x(arctg x)' -.
4. Производная функции, заданной неявно.
Пример 2. Найти , если задана функция
cos x - tg(2y) + у2 x = 0.
Решение. Вычисляем производную по x, считая у функцией от x:
(cos х - tg(2y) + у2 х)' =0
- sin x - 2y' + 2у · у' х + у2 =0.
Выражаем y': 2y
y'=
5. Производные высших порядков.
Производная f'(x) называется производной первого порядка. Производная от f'(x) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции f(x) и обозначается у" или f''(\x). Производная от f''(\x) называется производной третьего порядка и т.д.
Пример 3. Найти у''(х), если у = ln (2х -3).
Решение: 1) у' = ,
2) y" (x)= =2 ((2x – З)-1)' = -2 (2х - З)-2 · 2 =-.
6. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные первого и второго порядка функции у = f(x), заданной параметрически функциями x = (t), y= (t), выражаются формулами:
Пример 4. Найти и , если .
Решение. Считаем
Следовательно,
.
7. Правило Лопиталя.
Если , то когда последний предел существует.
Если , то , когда последний предел существует.
Пример 5. Найти
Решение. Имеем неопределённость вида ; применяя правило Лопиталя, получим:
Неопределённости вида [0∞] и [∞-∞] сводятся путём алгебраических преобразований к неопределенностям вида и , а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.
8. Исследование функции и построение графика.
Пример 6. Исследовать функцию у = и построить её график.
Решение. 1) Ищем область определения данной функции:
x (-∞; 2) U(2; +∞ ); x = 2 – точка разрыва.
2) Функция не является ни чётной, ни нечетной, так как
у(-x) у(x) и у(-x) -у(x).
3) Ищем асимптоты графика функции:
а) вертикальной асимптотой является прямая х = 2;
l.
б) наклонные асимптоты:
k1= ;
b1=
=.
Следовательно, прямая у = x + 3 является наклонной асимптотой при x∞.
Аналогично вычисляем k2 = и b2 = получаем также у = x + 3.
в) Горизонтальные асимптоты – это частный случай наклонных асимптот при условии, что k = 0.
Иначе можно найти горизонтальную асимптоту по формуле:
b =
Следовательно, горизонтальной асимптоты не существует.
4) Ищем критические точки первого порядка (то есть те точки, где первая производная равна нулю или не существует).
Первая производная равна нулю при x=1 и x=3 и не существует при x = 2.
5) Ищем интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума.
у'0) > 0 => на (-∞; 1) функция возрастает.
y'(1.5) < 0 ==> на (1; 2) функция убывает.
y'(2.5) < 0 ==> на (2; 3) функция убывает.
y'(4) > 0 => на (3; + ∞) функция возрастает.
Следовательно, x = 1 – точка максимума, x = 3 – точка минимума.
у(1) = 3; y(3) = 7. Обозначим точкой А(1; 3), точкой В(3; 7).
6) Найдем критические точки второго порядка (точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует).
y"=
=
Вторая производная ни при каком значении аргумента не равна нулю; не существует при x = 2.
7) Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
точки перегиба.
y"(1) < 0 ===> на (-∞; 2) функция выпуклая;
y"(3) > 0 ===> на (2; + ∞) график функции вогнутый.
Точек перегиба нет.
8) Строим график функции.
9. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пример 7. Разложить число 10 на два положительных слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
Решение. Пусть x – первое число, тогда (10 — x) – второе слагаемое.
Обозначим f(x) = x . (10 - x) = 10х - х2 – произведение этих чисел.
Считаем f'(x} = 10 - 2х.
Находим критические точки этой функции:
10-2x=0=>x=5
f'(x) > 0 ==> на (0; 5) функция возрастает;
/'(6) < 0 ==> на (5; 10) функция убывает; следовательно,
x = 5 - точка максимума. fнаиб=f(5)= 25.
Ответ: 10 = 5 +5.
10. Уравнения касательной и нормали.
10.1. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0.
y = f'(x0)(x-x0) + f(x0),
где x0 – заданное значение, f(x) – заданная кривая.
10.2. Уравнение нормали к графику функции f(x) в точке x0 .
y=
Пример 8. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t = t0.
x=t3 - 4t + 1
y=t2 – 4t + 3 , t0=1.
Решение. Так как кривая задана параметрическими уравнениями, то найдём:
x0 = x(t0) = 1- 4 + 1 = -2; f(x0) = y0 = y(t0) = 1 + 3 – 4 = 0;
f'(x) = f'(x0) =
Уравнение касательной: y = 2(x+2) +0 = 2x + 4.
Уравнение нормали: y =