§3. Элементы высшей алгебры

1. Определители.

Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством:

a₁₁ a₁₂

= a₁₁  a₂₂ - a₁₂  a₂₁.

a₂₁ a₂₂

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое

символом:  =

определяемое равенством:

a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₃ a₂₁ a₂₂

 = a₁₁ - a_{12 } + a_{13 } .

a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₃ a₃₁ a₃₂

2. Матрицы.

Матрицей размерностью т на п называется таблица чисел, содер­жащая т строк и п столбцов. Обозначается матрица А(т x п).

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

А = - - ... -

a_m1 a_m2 ... a_mn .

Числа а_ij называются элементами матрицы А; i – номер строки, j – номер столбца.

Матрица, получаемая из матрицы А переменой местами строк и столбцов, называется транспонированной матрицей и обозначается A^T.

Матрица, у которой m = п, называется квадратной.

10 ... 0

0 1 ... 0

Квадратная матрица вида: - - - -

0 0 ... 1

называется единичной матрицей и обозначается Е.

3. Действия с матрицами.

3.1. Сложение матриц.

Можно складывать матрицы одинаковой размерности:

А(т x п) + В(т x п) = С(m x n).

Элементы матрицы-суммы С определяются формулами: с_ij = а_ij+ b_ij.

3.2. Умножение матрицы на число

 · А(m x n) = В{m x n).

Элементы матрицы В определяются формулами: b_ij =  · a_ij .

3.3. Умножение матрицы на матрицу

А(т х п) ^» В(п хр) = С(т х р).

Если количество столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В, то произведение А  В существует. В противном случае говорят, что А  В не существует.

Элементы матрицы С определяются формулами: =.

4. Обратная матрица.

Матрицей, обратной матрице А(n x п), называется матрица, обозначаемая А^-1 , для которой выполняется равенство:

А · А^-1 =А^-1 · А=Е.

Обратную матрицу ищут по формуле:

A₁₁ A₂₁ ... A_n1

A₁₂ A₂₂ ... A_n2

A^-1 =  - - - - ,

A_1n A_2n ... A_nn

где  – определитель матрицы А, А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij – матрицы А. А_ij вычисляется по формуле А_ij= (-l)^i+j  М_ij, где М_ij – минор элемента а_{ij } М_ij получается из  вычёркиванием i-ой строки и j -го столбца.

Пример 1. Дана матрица А = . НайтиА^-1 .

1 2 3

Решение:1) ищем  = 2 -1 -1 =2,   0, поэтому А^-1 существует.

1 3 4

2) ищем А_ij:

-1 -1 2 -1

A₁₁ = (-1)¹⁺¹  = -4+3=-1; A₁₂ = (-1)³ _ = -(8+1)=-9;

3 4 1 4

2 -1 2 3

A₁₃ = (-1)⁴  = 6+1 = 7; A₂₁ = (-1)³ _ = -(8-9)=1;

1 3 3 4

1 3 1 2

A₂₂ = (-1)⁴  = 4-3 = 1; A₂₃ = (-1)⁵ _ = -(3-2)=-1;

1 4 1 3

2 3 1 3

A₃₁ = (-1)⁴  = -2+3 = 1; A₃₂ = (-1)⁵ _ = -(-1-6)=7;

-1 -1 2 -1

1 2

A₃₃ = (-1)⁶  = -1-4 = -5.

2 -1

А^-1 = .

Проверяем правильность вычислений .

5.1. Системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим систему трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными x, у, z:

,

где а_ij – заданные коэффициенты, b_i – свободные члены.

5.2. Метод Крамера.

Считаем определители:

 = _x =

_y = _z =

Если определитель системы   0, то существует единственное ре­шение этой системы, и оно выражается формулами:

.

5.3. Матричный метод.

Выписываем матрицу А системы: А =

и находим A^-1. Если А^-1 существует, то решение ищем по формуле:

= A^-1B,

где B – матрица-столбец свободных членов: В = .

Пример 2. Решить систему уравнений: .

Решение:

1. Метод Крамера: считаем  = 2; _x = 2;  _y= -2; _z= 4, тогда x = 1;y = -1; z = 2.

2. Матричный метод: выписываем

А = , считаемА^-1 = ,

=A^-1B = =.