- •Высшая математика
- •Глава I Общие методические указания
- •§1. Порядок выполнения контрольных работ
- •§2. Программа курса "Высшая математика"
- •Библиографический список
- •Глава II Указания к выполнению контрольных работ
- •§1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •5.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид
- •§2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§3. Элементы высшей алгебры
- •§4. Введение в анализ
- •5. Дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки к контрольной работе №1
- •Контрольная работа №1 Векторы. Элементы высшей алгебры
- •Вопросы для самопроверки к контрольной №2
- •Контрольная работа №2 Аналитическая геометрия
- •Вопросы для самопроверки к контрольной №3
- •Контрольная работа №3 Введение в математический анализ, производная, приложения производной
- •Оглавление
§2. Аналитическая геометрия в пространстве
1. Прямоугольная система координат OXYZ в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей: ОХ. ОУ и OZ.
2.Понятие вектора.
Направленный отрезок АВ называется вектором. А – начало, В – конец вектора. Вектор также обозначают и одной буквой, например . Длина вектора обозначается ||. Векторыиназываютсяколлинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Модуль вектора = (a1; a2; a3) равен |.| = .
3. Линейные операции над векторами.
Суммой +двух векторови называется вектор, который идёт из начала вектора в конец вектора, при условии, что конец вектораи начало векторасовпадают (рис. 7).
Разностью –двух векторовиназывается вектор, который в сумме с векторомдаёт вектор(рис. 8).
Произведением ( 0, 0) называется вектор, который коллинеарен вектору ā, направлен так же, как , если>0 и в противоположную сторону, если <0 и .
Рисунок 9
4. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов иназывается число , равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначают.
= || || cos , где – угол между векторами и.
Проекцией вектора на векторявляется число
Пpb ā = | ā | cos =. .
Если векторы изаданы своими координатами= (a1; a2; a3) и
= (b1; b2; b3), то их скалярное произведение определяется формулой:
= .
Пример 1. Найти угол между векторами = (1; 1; 0) и=(1;0;1), а также проекцию векторана вектор.
Решение:
cos = = ,
следовательно, =60°. Прb ==.
Пример 2. Вычислить (3–2) (+2), если ||=3, || =4, угол междуиравен =2/З.
Решение: (3–2) (+2)=3 – 2 + 3 2-2 2=
=3||2 cos0° +4 ||||cos(2/3) - 4|b|2 cos00 = 39 + 434 (-1/2) –
– 444 =27 – 24 – 64 = - 61.
5. Векторное произведение.
Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который определяется тремя условиями:
а) длина вектораравна|| || sin , где – угол между векторами и;
б) векторперпендикулярен каждому из векторовиb;
в) векторы, , образуют правую тройку векторов (рис. 10).
Если векторы изаданы своими координатами= (a1; a2;a3), = (b1;b2;b3), то векторное произведение вектора на векторопределяется формулой:
= =(a2b3 – a3b2)i –(a1b3 – b1a3)j + (a1b2 – b1a2)k.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и, вычисляется по формулеS = = || || sin .
Пример 3. Вычислить площадь S параллелограмма, построенного на векторах +3и 3 +, если || = || = 1 и угол между векторамииравен 30°.
Решение: (+ 3) (3 +)= 3 + 33++ 3=
= 9 ā – = 8 .
S = ( + 3) (3 + )| = |8 | = 8| = 8 | sin30° =4
Пример 4. Даны векторы =(2; 5; 7) и= (l; 2; 4). Найти .
i j k
Решение: = 2 5 7 =(5 4 – 27)i –(2 4 - 1 7)j + (2 2 – 15)k.
1 2 4
6. Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением трёх векторов ,иназывается число, равное скалярному произведению векторана векторное произведение векторови, то есть . Смешанное произведение обозначают , оно определяется формулой:
=.
Абсолютная величина смешанного произведения векторов ,иравнаобъёму параллелепипеда, построенного на векторах , и.
Пример 5. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами
А(2; 2; 2), В(4; 3; 3), С(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).
Решение: Объём пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС и AD.
2 1 1
АВ=(2; 1; 1); AC =(2; 3; 2); АD=(3; 3; 4); AB AC AD= 2 3 2 =7.
3 3 4
Отсюда Vпир=7/6. Векторы,иназываютсякомпланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях Условие компланарности векторов , и:= 0.
7. Уравнение плоскости.
7.1. Общее уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D = О.
ВекторN =(А, В, С), перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. Угол между плоскостями А1x + B1y + С1z + D1 = 0 и А2x + B2y+ C2z + D2 = 0 определяется по формуле cos = , второй угол равен (180°-) .
Условие параллельности плоскостей:
N1 || N2 или .
Условие перпендикулярности плоскостей:
N1 N2, или A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0.
7.2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
A(x1;y1;z1); B(x2;y2;z3) и C(x3;y3;z3).
Возьмем произвольную точку М(x;у;z) а (рис. 11). Векторы компланарны= 0, следовательно,
Рисунок 11 x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0.
x3-x1 y3-y1 z3-z1
8. Уравнение прямой.
8.1. Прямая определяется совместным заданием уравнений двух плоскостей
А1x + B1у + С1z + D1 =0
А2x + В2у + C2z + D2 =0.
8.2. Канонические уравнения прямой:
,
где вектор ā = (l, m, п) – направляющий вектор прямой, проходящей через точку M0(x0;y0;z0).
8.3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M1(x1;y1;z1) и M2(x2;y2;z2) имеет вид:
.
9. Угол между прямыми.
Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями:
и
определяется по формуле: cos = .
10. Угол между прямой и плоскостью Ах+By+Cz+D = 0 определяется по формуле:
sin = .
Условие параллельности прямой и плоскости:
Al + Bm + Cn = 0;
условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1;1;1) перпендикулярно вектору N =(2; 2; 3).
Решение. Так как вектор N является нормалью для искомой плоскости, то :
2х + 2у + 3z + D = 0.
Подставляя координаты точки M0 , имеем: 2 +2 +3 + D=0 => D = -7.
Искомое уравнение имеет вид 2х +2 y+3z -7=0.