Аксиома 4: «Численная оценка предпочтений»

Каждому возможному исходу х ЛПР может поставить в соответствие число П(х) (0≤П(х)≤1) такое, что х~L(х*,П(х),х⁰)

Таким образом, для любого хЄХ существует такое П(х)Є[0,1], что х~L(х*,П(х),х⁰)

Замечание:величина П(х) называемая вероятностью равноценности, фактически является численной мерой предпочтения произвольного исхода х.

Геометрическая интерпретация функции П(х):

Пусть на оси задан отрезок [х⁰,х*]. Из аналитической геометрии известно, что любую точку на этом отрезке можно аналитически записать так:

для любых хЄ[х⁰,х*]: х=П(х)∙х*+(1-П(х))∙х⁰где 0≤П(х)≤1

Аксиома 5: «Численная оценка неопределенности суждений»

Каждому возможному событию Е, которое может влиять на решение ЛПР можно поставить в соответствие число Р(Е) (0≤Р(Е)≤1) такое, что становятся равноценными лотереи L(х*,Р(Е),х⁰) и ситуация при которой ЛПР получает х*, если происходит событие Е и х⁰, если событие Е не происходит.

Величина Р(Е) определяется ЛПРом.

Примечание: данная аксиома дает механизм получения вероятности суждения.

АКСИОМА 6: «Возможность замены»

Если модифицировать задачу принятия решения путем замены одного исхода или лотереи другим исходом или лотереей, которое для ЛПР равноценны, то обе задачи принятия решения будут равноценны для этого лица.

АКСИОМА 7: «Эквивалентность условного и безусловного предпочтений»

Пусть L₁ и L₂ две лотереи возможные только при наступлении события Е. Если известно наступит событие Е или нет, то ЛПР должен иметь те же предпочтения между L₁ и L₂, что и при отсутствии этой информации.

Функция П(х) описывает относительные предпочтения х.

Для того чтобы все П-функции удовлетворяли перечисленным аксиомам они должны сводиться одна к другой с помощью линейного преобразования:

U(x)=a+b∙П(х) (b>0) (*)

Всякое преобразование вида (*) называется шкала полезности для исходов х. Шкала полезности – это интервальная шкала.

Если ЛПР опирается на приведенные аксиомы, то ему надо выбирать альтернативы так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность.

§4. Методологические основы тпр.

Предположим, что сама проблема принятия решения сформулирована, а так же определены вероятности и полезности исходов. Для ЛПР предпочтительность того или иного решения зависит помимо прочего от внешних условий. Для того чтобы получить информацию о внешних условиях нужно проводить эксперимент, который требует определенных затрат. В результате эксперимента и последующих решений реализуются какие-то исходы. Но поскольку в момент принятия решения неизвестно, какой именно исход будет реализован, методология ЛПР должна помочь ответить на такие вопросы как: Какое решение является наилучшим при отсутствии эксперимента? Стоит ли ЛПРу проводить эксперимент, если да, то какой является наилучшим? Какова должна быть максимальная плата за эксперимент? и т.д.

Для иллюстрации процесса принятия решения строят дерево решения.

0-возможные исходы,

-возможные решения,

ЛПР может не проводить эксперимента (е₀,с₀), либо провести некий r-ый эксперимент со стоимостью . При условии выбора эксперимента е_r наблюдается исход O_t с распределением условных вероятностейP_r(O_t) исходов. Если известен исход, то должно быть выбрано решение d_i . После того, как выбрали решение, появляется влияние внешних условий S_j . Внешние условия задаются распределением вероятностейP_rti(S_j), где r – номер эксперимента, t – исход, i – выбранное решение, j – внешние условия.

В результате всех этих шагов получается итоговый исход х_l . Условная вероятность этих исходов задается распределением вероятностейP_rtij(x_l). Сравнительная предпочтительность окончательных исходов задается функцией полезности U(x).

Анализ дерева решений производят справа налево, т.е. «пятясь» от конца к началу и максимизируя на каждом шаге ожидаемую полезность. Для каждого узла возможностей (0) вычисляется ожидаемая полезность данного узла. Для любого узла решений () ЛПР выбирает альтернативу, которая приводит к наибольшей ожидаемой полезности и приписывает полученную полезность узлу решений.