Teoriya avtomatichnogo keruvannya

номірним. При цьому в початку координат можна відкласти довільне значення со, але не те, що відповідає оо = 0, оскільки 1&0 ~ - оо.

Одна октава є величиною, що дорівнює різниці логарифмів деякої частоти со і її подвоєного значення:

1 октава = 2со - І£ со = 2 + со - со = 2. Одна декада відповідно дорівнює різниці логарифмів:

1 декада = І Осо - І£ со = 1.

Із викладеного випливає, що інтервал, який дорівнює одній октаві або декаді, не залежить від абсолютного значення частоти со.

Перевагами логарифмічних характеристик є більш вдалий масштаб, який дає змогу легко лінеаризувати відповідні характеристики і спростити побудову логарифмічних характеристик групи ланок, а також можливість заміни складніших дій (множення, ділення) простішими (додавання, віднімання).

при використанні натурального масштабу потребує перемноження операторів чисельника і знаменника з подальшим діленням здобутих результатів.

Якщо побудову вести за допомогою логарифмічних характеристик, то можна записати

20 їв \ Щ М = 20 ЇЙ |<2, Осо)| + 20 1е |02(уо>)| + ... + 20 18 | £ „ ( » І - - 20 18 | Рх ( » | - 20 | Р2 0"со)| - ... - 20 | РП(М\.

Розрахунки у цьому разі суттєво спрощуються. У зв'язку з цим при побудові логарифмічних характеристик групи ланок (системи) їх побудова зводиться до алгебраїчного додавання відповідних характеристик, що широко використовується при дослідженнях динаміки САК, при синтезі систем керування. Фазочастотні логарифмічні характеристики будуються як залежність ср(о))= агсі§ - ^ — При цьому

і/( со)

на вертикальній осі відкладають фазу в радіанах або градусах, а по горизонтальній — со в логарифмічному масштабі.

100

3.6.Логарифмічні частотні характеристики

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика аперіодичної ланки першого порядку. Передаточна функція цієї ланки

У логарифмічних одиницях (дБ) вона запишеться так:

Враховуючи, що 20 І£ к є стала величина, проаналізуємо другу складову УУ = 20 |1 + уТсо| при різних значеннях со.

При малих частотах 7со « 1 /V = 20 1 = 0. При великих частотах / с о » 1 складова N = 20 І£ |у'7со| = 20 1§ 7со є прямою, що нахилена під деяким кутом відносно осі.

Граничною частотою між зоною малих і великих частот є частота,

на одну октаву можна обчислити як різницю 20 2соГ - 20 І£ соГ = 20 І£ 2 = 20 • 0,3 = 6 дБ. Дійсний вигляд характеристики, згідно з

101

Рис. 3.18

За допомогою виразу (3.45) на рис. 3. 18, б побудовано загальну логарифмічну амплітудно-частотну характеристику аперіодичної ланки першого порядку. При цьому лінеаризовану характеристику часто називають асимптотичною логарифмічною характеристикою.

Відповідну фазочастотну логарифмічну характеристику будують за допомогою виразу ф(со). При цьому на вертикальній осі відкладають фазу в натуральному масштабі (в радіанах або градусах), а частоту со — по горизонтальній осі в логарифмічному масштабі. Характеристика будується в четвертому квадранті.

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика ідеальної інтегрувальної ланки. Передаточна функція інтегрувальної

ланки IV(р) = к — , а її амплітудно-фазова частотна характеристика

102

3.6.Логарифмічні частотні характеристики

Фазочастотна характеристика, яка в загальному випадку запису- ( ться так: ф(со) = агс1:8Ц(^ со) , у даному разі при ^(со) = 0 матиме вигляд

(р(со) = -90° (рис. 3.19, 6).

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика інтегрувальної ланки

Дсо) = 20 І£ А(со) = 20 к - 20 І£ со.

При к = 1 20 1§ = 0, 20 І£ Дсо) = -20 І£ со. У цьому разі вона являє собою лінійну залежність, яка проходитиме другий, перший і четвертий квадранти, перетворюючись на нуль при со= 1 (рис 3.19, в). Її нахил дорівнює -20 дБ/дек.

Логарифмічні характеристики ідеальної диференціюпальної ланки. Для цієї ланки передаточна функція IV (р) = кр, а АФХ —

IV (» = Аусо = і/(со) + уГ(со) = 0 + /су'со; Л = ^(Ь))2 = Уссо.

Як зазначалося раніше, характеристика в даному разі — це пряма, що збігається з уявною віссю в першому квадранті (рис. 3. 20, а). Фазочастотну характеристику наведено на рис. 3.20, в.

103

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика має вигляд

Дсо) = 20 їв Дсо) = 20 км= 20 1§ к + 20 І£ со.

Ця характеристика є прямою, яка на відміну від інших частотних логарифмічних характеристик має додатний нахил 20 дБ/дек (рис. 3.20, б).

Логарифмічні частотні характеристики ланки другого порядку. Залежно від коренів характеристичного рівняння ланка може бути аперіодичною лапкою другого порядку, якщо обидва корені квадратного характеристичного рівняння дійсні і від'ємні, або коливальною стійкою ланкою при комплексних із від'ємною дійсною частиною коренях характеристичного рівняння.

при Т2 > 2Ті (умова дійсних, від'ємних коренів характеристичного рівняння).

Цю передаточну функцію можна записати в дещо іншому вигляді:

ИУ(Р) = Т3Т4рг ^ +(Т3 + Т4)р+ І ,

104

3.6.Логарифмічні частотні характеристики

Розклавши знаменник на множники, дістанемо

Амилітудно-фазова частотна характеристика запишеться так:

При к = 1 результуюча логарифмічна амплітудно-частотна харакеристика

4 = 20 І§ Л(со) = - 2 0 18 Vі + Гз2«2 " 20 1§ Vі + ^ м 2 = Л, +/Ї .

105

є сума двох амплітудно-частотних логарифмічних характеристик аперіодичних ланок першого порядку зі значеннями частот сполуки

Складові Ь{ і Ь2 результуючої логарифмічної характеристики показано на рис. 3.21, а—в.

При к * 1 результуюча характеристика розміщуватиметься в першому і другому квадранті з урахуванням 20 І£ к = а і матиме вигляд, показаний на рис. 3.21, в штрихом. Фазочастотну характеристику наведено на рис. 3.21, г.

Ща>)

Рис.321

Логарифмічні характеристики коливальної ланки другого порядку.

Амплітудно-фазова частотна характеристика в цьому випадку матиме вигляд

к_ / с [ ( 1 - Г > 2 ) - у 7 > ] _

106

3.6.Логарифмічні частотні характеристики

аамнлггудно-частотна характеристика —

при СО —> оо головне значення матиме член, в який со входить в четвертому степені, тому наближено можна записати

20 1§ А(со) = 20 1§ к -2 • 20 1§ 7,со = 20 к - 40 7,со->

При к = 1 амплітудно-частотні логарифмічні характеристики коливальної ланки другого порядку показано на рис. 3. 22, а, а фазочастотні — на рис. 3. 22, б. Амплітудно-частотні характеристики = 20 Дсо) побудовано при різних співвідношеннях Т2/2ТХ , яке,

як відомо, визначає коливальні та демпфувальні якості ланки.

При значеннях 72 /27,, близьких до 0,7...0,75, матимемо асимптотичну характеристику, близьку до позначеної цифрою 0 на рис. 3.22, а, яка складається з двох частин — прямої, що збігається

з горизонтальною віссю до частоти со1 = —, і прямої з нахилом

40 дБ/дек. 7

При 1 > —— > 0,5 відхилення логарифмічних характеристик від 27]

7 асимптотичної незначне, але при 0,5 > —> 0 ці відхилення різко

271

107

У4(СО) в точці з Ш, = Знайдемо значення

Логарифмічна характеристика підсилювальної (ідеальної) ланки. Для неї амплітудно-частотна характеристика має суто теоретичне значення, бо вона не залежить від частоти

108

3.6.Логарифмічні частотні характеристики

= 20 к = сопзі; ф(со) = 0.

Логарифмічні характеристики інерційних неідеальних диференціювальних та інтегрувальних ланок. Логарифмічні характе-

ристики інерційної диференціювальної ланки. Передаточна функція

інерційної диференціювальної ланки має вигляд

яка є півколом у першому квадранті (рис. 3.23, а).

Амплітудно-частотна характеристика диференціювальної ланки

(рис. 3.23, б).

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика запишеться гак:

4 = 20 18 А(со) =20\%к+20 1§ ш - 20 1§ л/ГГг2 СО2 .

109