2.4. Правила предельного перехода

Теорема. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме пределов этих слагаемых.

Теорема. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множетелей.

Теорема. Предел частного равен частному от деления пределов, если только предел знаменателя не равен нулю.

2.5. Первый замечательный предел

Теорема. Функция прих 0 имеет предел, равный 1, т.е.

Этот предел называют первым замечательным пределом. Более общая форма записи первого замечательного предела

Пример.

а)

б)

2.6. Числое.Второй замечательный предел

Определение. Числом е называется предел

.

Число е иррационально и поэтому не может быть точно выражено какой-нибудь конечной дробью. Приближенно оно равно

Рассмотрим функцию непрерывного аргумента:

Теорема. Функция прих  имеет предел, равный е, т.е.

Этот предел называется вторым замечательным пределом.

Более общая форма записи второго замечательного предела:

2.7. Эквивалентные бесконечно малые величины. Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными

Определение. Если , то бесконечно малыеиназываются эквивалентными при.

Обозначается это так

Пример.

Так как , то.

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин

при	при

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения двух бесконечно малых, им эквивалентных, т.е.

, при

Пример.

Доказать, что при

3. Вычисление пределов

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.

1) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функции f(x) при х, стремящемся к значению а, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при х=а, т.е.

Пример.

Найти следующие пределы:

а)

Решение.

Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке х=2. Находим предел функции как ее частное значение в предельной точке.

б)

Решение.

в)

Решение.

2) Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

При вычислении пределов имеет место следующие рекомендации.

Если то

Особый интерес при вычислении предела представляют те случаи, когда при непосредственном переходе к пределу получают неопределенные выражения:

В этих случаях вычисление пределов функций связано с раскрытием неопределенностей.

Условная классификация пределов и приемы раскрытия неопределенностей приведены в таблице.

№ п/п	Вид предела	Вид неопреде-ленности	Рекомендации по преобразованиям
1.			Разложить на множители числитель и знаменатель
2.			Вынести за скобки старшую степень в числителе и знаменателе
3.			Умножить и разделить на см. п. 1
4.			Умножить и разделить на
5.			Воспользоваться вторым замечательным пределом
6.	, , содержат тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные функции.		Бесконечно малый множитель заменить эквивалентной ему бесконечно малой функцией или выполнить замену ,

Замечание. Вычисление пределов упростится, если для множителей функции выполнить возможные

• сокращения;

• переход к известному пределу;

• замену эквивалентными бесконечно малыми множителями.

Примеры.

Вычислить пределы

1.а)

1.б)

Решение.

Функция в предельной точке х=–2 не определена. Т.к. при х=2 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то мы имеемнеопределенность типа . Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на выражениех+2, дающее неопределенность.

1.в)

Решение.

Функция f(x)= не определена при х=3. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: х²-9=(х-3)(х+3), х²-5х+6=(х-2)(х-3). Сократив дробь на х-3, избавимся от неопределенности .

1.г)

Решение.

Функция f(x)= не определена в точках х₁=0, х₂= –1. Для того, чтобы избавиться от неопределенности , разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь.

1.д)

2.а)

Решение.

В этом случае имеем неопределенность . Вынесем за скобки старшую степень в числителе и знаменателе дроби.. При вычислении предела слагаемыеявляются бесконечно малыми величинами.

2.б)

Решение.

Для раскрытия неопределенности используем тот же прием, что и в предыдущем упражнении.

2.в)

Замечание. Пределы такого типа можно вычислить устно, пользуясь таблицей п.2.

3.а)

Решение.

Здесь имеет место неопределенность . Преобразование функцииf(x)=сводится к уничтожению иррациональности в числителе путем умножения числителя на. Сокращая дробь нах, избавляемся от неопределенности.

3.б)

3.в)

Решение.

Данный предел отличается от предыдущих двух тем, что иррациональность уничтожается в знаменателе.

4.a)

Решение.

При непосредственном переходе к пределу имеем неопределенность вида . Согласно п.4 таблице умножим и разделим на выражение, которое прих является бесконечно большой величиной.

4.б)

Решение.

При непосредственном переходе к пределу, получаем сумму положительных бесконечно больших величин, т.е. предел равен +

4.в)

4.г)

5.а)

Решение.

Так как величина бесконечно малая прих, то имеем неопределенность вида . Воспользуемся вторым замечательным пределом (см. п.5 таблица). В данном случае .

5.б)

Решение.

Так как , имеем дело с неопределенностью. Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, представим дробь в виде 1+(х), где

, где ,

5.в)

6.а)

Решение.

Имеем неопределенность . Согласно рекомендациям таблицы заменимsin 5x эквивалентной бесконечно малой, т.е. , умножим и разделим на.

6.б)

Решение.

Имеем неопределенность . Использовали эквивалентные бесконечно малые, т.е.

6.в)

Решение.

Для раскрытия неопределенности использовали эквивалентные бесконечно малые ,

6.г)

Упражнения для самостоятельной работы студентов

Вычислить пределы