Ймовірності переходу за n кроків
Позначимо через
ймовірність переходу системи зі стану
до стану
черезnкроків, тобто ймовірність
того, що при
-му
випробуванні настане подія
,
якщо приs-му випробуванні настала
.
Якщо
,
,
то за формулою повної ймовірності
,
тобто
.
Якщо матрицю (
)
позначити через
(при цьому
),
то остання рівність, згідно з відомим
з алгебри правилом множення матриць,
означає, що коли
,
то
.
Зокрема, при m = 1ця рівність дає
,
звідки випливає, що
.
Зауваження.Теорія потоків (випадкових процесів) нині досить добре розроблена і має широке практичне застосування в багатьох економічних задачах (енергетики, меліорації, екології, геології, промисловості), у демографічних методах пересувки віків, у розробці військових стратегій і плануванні виробництва й реалізації однорідних товарів масового споживання, у теорії масового обслуговування.
Контрольна робота № 3
Тема 1. Випадкові функції та випадкові процеси
Література: [5] гл. 23 § 1-17, гл. 24, § 1, 2, 3, 4, 5, гл. 25 § 1-4; [14] гл. 2-4.
При вивченні матеріалу цього розділу та розв’язанні відповідних задач контрольної роботи студент повинен користуватися рекомендованою літературою та формулами, що наведені у п. 1.1 довідкового матеріалу.
Вивчивши цей розділ, студент повинен знати поняття: випадкові функції та випадкові процеси, їхні характеристики; кореляційна функція випадкової функції (процесу),її характеристики для суми, похідної та інтегралу випадкового процесу.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Кореляційна
функція випадкового процесу
X(t)
має вигляд Kx(
,
)
= 3(
)2(
)2.
Знайти дисперсіюDy(t),знайти унормовану кореляційну
функцію випадкової функції Y(t)
= t
X(t)
+ 2t.
Розв’язання.ДисперсіяDy(t):
DX(t) = Kx(t, t) = 3t2(t)2 = 3t4.
Dy(t) = D(t X(t) + 2t) = D(t X(t)) + 0 =
=t2D(X(t)) = t2(3t4) = 3t6.
Dy
(
)
= 3(
)6,
Dy(
)
= 3(
)6.
Кореляційна функція випадкового процесу Y(t):
KY
(
,
)
=Ktx(t)+2t
(
,
)
=Ktx(t)
(
,
)
=
Kx
(
,
)
=
=
(3(
)2(
)2)
= 3(
)3
(
)3.
Унормована кореляційна функція випадкової функції Y(t):
Якщо
,
то
=1.
Приклад 2. Визначити кореляційну функцію та дисперсію випадкової функціїZ (t)=Y(t) + X(t), X(t) = t2B, Y = (t +1)A, де A, B – випадкові некорельовані величини, DA = 5, DB = 2.
Розв’язання.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
(A, B – випадкові некорельовані величини), маємо X, Y – некорельовані випадкові функції.
Якщо X(t), Y(t) – некорельовані,
=
+
,
.
=
=
=
=
=
=2
.
=
=
=
=
=
=
=
= 5
.
Автокореляційна функція
=
2
+ 5
.
Дисперсія
=2t
4
+ 5(t+1)2.
Приклад 3.
Спектральна щільність випадкового
процесу
,
при
,
при
,
.
Знайти кореляційну функцію
.
Розв’язання.
.
Приклад
4. Задана кореляційна
функція
,
при
,
,
при
.
Знайти спектральну щільність випадкового
процесу
.
Розв’язання.
;
.
Приклад
5. Знайти дисперсію
стаціонарного випадкового процесу,
якщо спектральна щільність S(
ω
) =
.
Розв’язання.
=
=
arctg(x/2)
=
=
(
(
))
= 10.
Приклад 6. Маємо випадкову функцію X(t) з математичним сподіванням mx(t) = 4t +5
Знайти математичне сподівання випадкових функцій
Z(t)
=
(t),
Y(t)
=
.
Розв’язання.
,
.
Приклад
7.
Маємо
випадкову функцію
X(t)
з
кореляційною
функцією
.Знайти
кореляційну
функцію
та дисперсію випадкових функцій Z(t)
=
(t),
Y(t)
=
.
Розв’язання.
=
=(sin
cos
=
=
sin
sin
.
sin2t.
=
sin
sin
.
sin2t.
Приклад
8.
Знаємо кореляційную
функцію
стаціонарної випадкової функціїX(t).
Визначити автокореляційну функцію
та дисперсію для похідної випадкової
функціїX(t).
Розв’язання.
Якщо
,
то
=
=
=
=
=
=
+
+
=
.
Приклад 9. Знайти взаємнокореляційну функцію двох випадкових функцій X(t) = t2A, Y = (t + 1)A, де A – випадкова величина, D(A) = 4.
Розв’язання. Взаємнокореляційна функція обчислюється за формулою
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=4
.
Приклад 10.
Задана випадкова функція
,
деA
– випадкова величина та
,
.
Знайти: унормовану кореляційну функцію.
Розв’язання.За властивостями пункту 2.9. довідкового матеріалу маємо:
;
;
;
,
const,
.
Таким чином, маємо нестаціонарну випадкову функцію.
Приклад 11.
Знайти кореляційну функцію та дисперсію
для похідної випадкової функції
,
деА,
В
– випадкові величини, для яких
,
,KAB
= 0.
Розв’язання.
1) 
;
;
;
;
2) 
=
;
.
Таким чином, маємо стаціонарну випадкову функцію.