Критична швидкість і втрати напору при русі пульпи.

Багатофазна рідина, що складається із звичайної рідини і твердих зависів називається неоднорідною рідиною. Коли концентрація частинок ґрунту у воді неоднорідна таку рідину називають пульпою або гідросумішшю.

При русі пульпи тверді частинки, не тільки переміщуються у завислому стані, але й волочаться по дну (особливо найкрупніші з них). При збільшенні швидкості руху пульпи V значно зростають вертикальні складові пульсації швидкості, і тоді при певному значенні V, навіть великі частинки починають рухатись у завислому стані. Така швидкість називається критичною V_к. При швидкостях руху пульпи , всі частинки переміщуються у завислому стані і виходячи з даних отриманих дослідним шляхом, не впливають на умови руху рідини.

Значення критичної швидкості у загальному випадку залежить від гідравлічної крупності частинок V_гк фракційного складу ґрунту діаметру трубопроводу та певних інших величин які характеризують склад пульпи. Тоді наводимо лише формулу V_к , які найповніше враховують ці фактори і відповідають теорії розмірностей:

формула Кнороза:

(4.4)

та формула Іванова:

(4.5)

У даних формулах V_гк – гідравлічна крупність, що визначається за формулою наведеною у розділі (3); D – діаметр трубопроводу; d_cep – середній розмір твердих часток; - відношення маси твердих часток до маси чистої води у пульпі %; - густина пульпи; - густина води; - коефіцієнт гідравлічного тертя.

Значення критичної швидкості залежно від наведених вище факторів коливається у дуже широких межах ( і більше).

Коли значення V < V_k , тоді окрім витрат енергії на свій рух, витрачає певну кількість енергії на волочіння частинок крупніших фракцій по дну труби.

Якщо , втрати напору у пульпопроводі не відрізняються від втрат напору при русі чистої води. Але за даними дослідів при збільшенні швидкості втрати напору все таки будуть більшими ніж при русі чистої води.

Досліди рекомендують для визначення втрат напору у пульпопроводі наступну формулу:

(4.6)

де - коефіцієнт, що залежить від діаметрів труб D середнього розміру твердих часток d_cep ; гідравлічної крупності V_гк; і швидкості руху пульпи у трубопроводі (рис. 4.2); С_Т- склад ґрунту по об'єму ( у щільному тілі) в пульпі у %; h_e – втрати напору при русі чистої води; - коефіцієнт якій враховує втрати напору у пульпопроводі порівняно із втратами напору трубопроводу з чистою водою.

Графік, є характеристикою при збільшенні швидкості. При зменшенні середнього діаметра часток d_cep гідравлічна крупність V_гк як правило, зменшується і параметр , зростатиме, що у свою чергу також приведе до збільшення параметру . Визначивши , обчислюється коефіцієнт , і потім втрати напору у пульпопроводі за формулою (4.6). Розрахунки показують, що значення к при малих швидкостях руху пульпи та великому розмірі зерен може доходити до 2 – 3 і більше, що говорить про те що втрати напору у пульпопроводі у кілька разів перевищують втрати трубопроводу з чистою водою. При великих швидкостях пульпи і малих розмірах часток ґрунту втрати напору у пульпопроводах практично не відрізняються від втрат у трубопроводах.

Рис. 4.2.

Висновком із сказаного є те, що приведені у викладеному матеріалі а також і інші рекомендації що до визначення критичної швидкості і втрат напору мають приблизний характер. Це пояснюється тим, що досліди у лабораторіях проводились із піщаною пульпою, а на практиці у пульпу потрапляють частинки різних пород ґрунту, зависання яких підкорятиметься іншим залежностям. Це стає причиною зменшення критичної швидкості, а також гідравлічної крупності, що впливатиме на результати розрахунків.

Втрати напору у мулопроводах.

Каналізаційний мул – це неоднорідна дисперсна маса і вмістом води (вологість) від 0,9 до 0,99. Дисперсною фазою тут є тверді частинки і колоїди. Гідравлічний опір за довжиною у цьому разі знаходиться як для аномальних рідин. Втрати напору у цьому випадку визначають за формулами А. М. Курганова.

(4.7)

де h_n – напір необхідний для подолання в'язко – пластичних властивостей осаду,

(4.8)

- гідравлічний коефіцієнт тертя, що визначається залежно від вологості.

(4.9)

l – довжина мулопроводу; b^’ – вологість осаду; D – діаметр мулопроводу.

Досліди показують, що шорсткість, мало впливає на значення величини , тому вираз (4.9) використовують для усіх типів труб з діаметром від 200 до 400 мм. Для діаметра D = 150 мм. значення слід збільшувати на 0,01.

Коли вологість складає від 0,9 до 0,99 критичні швидкості у мулопроводах будуть змінюватись у межах від 2,5 до 1,1 м/с., а мінімально допустимі від 1,5 до 0,8 м/с.

Якщо вологість мулу складатиме b’ = 0,99 …0,995 мулопроводи обчислюють за формулою А. Дарсі, при цьому враховуючи гідравлічний коефіцієнт тертя для стічних рідин, який визначають за формулою Н. Ф. Федорова.

(4.10)

де - і а₂ – еквівалентна швидкість і безрозмірний коефіцієнт (табл. 4.1); число Рейнольдса - визначаючи який кінематична в'язкість стічних вод залежатиме від кількості завислих часток, і буде на 5 … 30% більшою від в'язкості чистої води.

Табл. 4.1.

Тип труби	мм.	А2
Азбоцементні	0,6	73
Керамічні	1,35	90
Бетон, Залізобетон	2,0	100

Особливості розрахунку безнапірних пульпопроводів.

При швидкості руху пульпи у безнапірному пульпопроводі (лотку), яка дорівнює критичній, або більша від неї, її розрахунок проводять за методом розрахунку відкритих каналів. Критична швидкість у безнапірних потоках, залежатиме від гідравлічної крупності часток, фракційного складу ґрунту, концентрації пульпи, розмірів відкритого потоку.

Різними авторами рекомендовано різні формули для визначення швидкості. Як приклад наведемо формулу В. С. Кнороза, у котрій дотримується теорія розмірностей.

(4.11)

де d_cep – середній діаметр твердих часток; - середня гідравлічна крупність; - відношення маси твердих часток до маси чистої води у пульпі %; R – гідравлічний радіус потоку.

Коли при розрахунку безнапірного пульпопроводу швидкість руху пульпи у ньому виявиться менше від критичної , у такому випадку слід змінити розміри пульпопроводу, або його нахил, для того щоб виконати умову .

Більш детально розрахунок безнапірного пульпопроводу розглянуто у спеціальній літературі.

Розділ 5.

Нерівномірний рух стічних вод у

самопливних трубах систем водовідведення.

У великій кількості, своє місце у галузях водного господарства, отримали безнапірні русла замкнутого перерізу. Самими простими, для систем водовідведення, вважають труби круглого перерізу, далі йдуть трубопроводи зворотноовоїдальної форми (рис.5.1), та лоткові коритоподібні. Усі відомі перерізи характеризуються певними лінійними розмірами, які пропорційні радіусу r. І залежно від радіуса, з урахуванням повного заповнення, обчислюються площа перерізу F, змочений периметр Х_п та гідравлічний радіус

Коли заповнення труби є неповним, ці характеристики визначають через: , де відносні значення Х’;F’;R’: залежатимуть від ступеня наповнення і приведені у таблицях ,та на графіках довідкової літератури. Прикладом для труб круглого перерізу кількох типів діаметрів, ці значення приведені у таблиці 5.1.

Табл. 5.1.

	0,4 м.	0,6 м.	0,8 м.	1,0 м	1,4 м.	1,8 м	2,0 м.
F’=F/r2	0,447	0,793	1,174	1,571	2,35	2,98	3,14
	1,86	2,320	2,74	3,14	3,97	5,0	6,28
	0,241	0,342	0,429	0,5	0,59	0,6	0,5
	0,056	0,273	0,876	1,939	7,08	22,0
	0,033	0,155	0,462	1,05	3,41	7,56	9,87
Е	2,5	0,795	0,361	0,202	0,09	0,06	0,05

Середня швидкість при рівномірному русі складатиме:

(5.1)

де W – швидкісна характеристика, і – кут гідравлічного нахилу дна водоводу.

Для безнапірних водогонів, що працюють у квадратичній області опору, швидкісна характеристика дорівнюватиме:

(5.2)

У отриманій формулі значення поправкового коефіцієнту буде; і залежатиме він від ступеня заповнення спираючись на проведені дослідження, вони визначатимуться за графіком на (рис. 5.2). Минулі роки значення і це призводило до завищення значень швидкості і витрат; п – коефіцієнт шорсткості, він залежить від характеру поверхні русла і теж приводиться у довідковій літературі ( зазвичай для чавунних, стальних, залізобетонних, азбоцементних водоводів його значення приймають п

Рис. 5.2.

п = 0,011…0,017.); R – гідравлічний радіус; z – показник степеня, який при вказаному значенні п приймають (z = 2/3).

Якщо врахувати отримані значення тоді, середня швидкість у безнапірному водогоні складатиме:

(5.3)

звідки виходить

де - відносна швидкісна характеристика, котра залежить від ступеня заповнення труби (рис. 5.2), коли труба заповнена , тоді:

- швидкісна характеристика при повному заповненні, яка залежить від діаметру трубопроводу і приведена у довідковій літературі.

Витрати у безнапірному трубопроводі складатимуть:

або

(5.4)

де - відносна витратна характеристика, котра залежить від ступеня наповнення (рис. 5.2), якщо - витратна характеристика труби, яка теж залежить від діаметру та матеріалу трубопроводу і приведена у довідниках.

Каналізаційні водовідвідні труби як правило працюють у перехідній області опору. Тому точніше швидкісну характеристику труби визначають за формулою Федорова:

(5.5)

де еквівалентна швидкість , та коефіцієнт а₂ залежать від матеріалу труби і приведені у довідниках: - число Рейнольдса яке враховує кінематичну в'язкість стічних вод, значення - береться за даними Федорова.

Для практичних розрахунків безнапірних труб використовують спеціальні таблиці, у яких для різних діаметрів і матеріалів труб, при різних похилах і наповненнях приведені значення швидкості і витрати трубопроводу.

Вибірково у таблиці 5.2 приведені розрахункові параметри для залізобетонних труб діаметром 0,5 м. взяті з даних Константинова, О. А. Василенка, О.О. Сапухіна.

Таблиці цих авторів вважаються найбільш повними і достовірними, тому що вони складалися з використанням формули (5.5).

При значенні коефіцієнта . У випадку використання старіших таблиць приходимо до підвищених значень витрат і швидкості, чи знижених діаметрів труб і тоді можуть виникати аварійні ситуації.

Табл.5.2.

									І…
	Q	V	Q	V	Q	V	Q	V
…
1,0	52,56	0,54	54,81	0,56	56,97	0,58	59,06	0,60
1,2	70,79	0,58	73,81	0,60	76,71	0,62	79,51	0,65
1,3	74,75	0,59	83,15	0,62	86,42	0,64	89,57	0,66
…

Критична глибина і критичний похил

у самопливних трубопроводах.

Підчас руху рідин у відкритих руслах і каналах, її критична глибина визначається за загально відомою з курсу гідравліки формули:

(5.6)

При розрахунку безнапірних трубопроводів, з приєднанням або від'єднанням маси, використовуємо певні безрозмірні значення характеристик, тоді рівняння (5.6) набуває вигляду:

(5.7)

де b I b’ – відповідно ширина і відносна ширина потоку поверхні рідини становить .

Позначивши відповідно;

(5.8)

Тоді для отримання значення критичної глибини заповнення трубопроводу отримаємо:

(5.9)

Значення приведено у таблиці 5.1.

Значення безрозмірної величини - називається витратним параметром трубопроводу або:

(5.10)

Враховуючи це отримаємо наступне рівняння для безнапірних трубопроводів, з приєднанням(від'єднанням) маси:

(5.11)

Коли відомі витрати Q та діаметри трубопроводів використовуючи формулу (5.10) розраховується витратний параметр , і далі за таблицею 5.2 значення , та .

Коли значення витрат (тобто витрати надто великі), значення витратного параметру відповідно з рівняння (5.11) , , тоді виконання цієї умови можливе при (таблиця 5.2).

Звідки отримуємо висновок, що за яких завгодно умов та великих витрат - критична глибина не може перевищувати діаметр трубопроводу.

Це і є відмінність безнапірних трубопроводів від відкритих русел із постійною шириною b, у яких із зростанням витрат критична глибина збільшується без обмежень.

Критичний похил для потоку у безнапірних трубопроводах складатиме:

(5.12)

де W_к- швидкісна характеристика при критичному значенні глибини, К_к – витратна характеристика при критичному значенні глибини, А_к – відносна витратна характеристика при критичному значенні глибини, А₀ – значення при заповненні що відповідатиме рівномірному руху.

Похил тертя при нерівномірному русі розраховується аналогічно:

(5.13)

де значення А визначається за графіком (рис. 5.2)при певному ступені наповнення .

Також похил тертя визначають таким чином:

(5.14)

де Q_ф – фіктивна витрата, котра визначається з приведених таблиць, значенні наповнення у перерізі .

Критичний похил визначається, теж за аналогією:

(5.15)

де - критична фіктивна витрата, котра теж визначається за таблицями Федорова, чи Лукіних, при ступені наповнення перерізу .

Таким чином, бачимо, що для всіх геометричних і гідравлічних характеристик вирази залежать від безрозмірних характеристик, котрі у свою чергу визначаються ступенем наповнення трубопроводу . І отримані таблиці, та графічні характеристики, дуже полегшують розрахунок безнапірних трубопроводів.

Побудова кривих вільної поверхні

потоку у безнапірних трубопроводах.

Такі криві для вільної поверхні безнапірних трубопроводів, будуються за раніше розглянутими методами для відкритих русел. Виражаємо основні параметри кривих за допомогою характеристик приведених у даному параграфі.

Скористаємось для побудови кривих вільної поверхні у безнапірних трубопроводах методом Чорномського.

Визначимо відстань між розрахунковими перерізами. (див. рис 5.3)

(5.16)

де Э₁, Э₂ – питомі енергії перерізів, - середнє значення похилу тертя для розрахункових перерізів, який складає .

Рис. 5.3.

Врахувавши рівняння (5.13) та (5.14) отримуємо наступне:

(5.17)

де - середнє значення відносної витратної характеристики для перерізів, - середнє значення фіктивної витрати для тих самих перерізів.

Подамо значення питомої енергії наступним чином:

(5.18)

де - коефіцієнт який залежить від ступеня наповнення трубопроводу та визначається за таблицею 5.1.

Врахувавши отримані данні, вирази та позначаємо для спрощення через S отримаємо наступне рівняння:

(5.19)

У випадку коли вільна поверхня розбита на кілька ділянок, тоді визначається довжина кожної ділянки, і отримують повну довжину ділянки:

Особливості руху рідини через перепад у

безнапірних трубопроводах.

Розглянувши випадок руху рідини у безнапірних трубопроводах з перепадом по шляху. Бачимо, що біля стінки падіння на перепаді глибина потоку зменшується, тому, що тиск падає а швидкість руху рідини зростає, це видно на (рис. 5.4), у перерізі над стінкою падіння. Для визначення швидкостей і глибин, у даному перерізі, користуються рівнянням зміни кількості руху. Яке має вигляд:

(5.20)

де у – глибина занурення центра ваги, у перерізі І-І, який знаходиться найблиЖче до стінки падіння; у_п – глибина занурення центру ваги над перепадом; - коефіцієнт що враховує зменшення тиску над перепадом у порівнянні з гідростатичним ( значення якого зазвичай ).

Переріз І-І встановлюють зазвичай; у спокійному стані перед перепадом у точці з критичною глибиною h_k ; коли потік бурхливий, а рух рідини рівномірний тоді перед перепадом де глибина є нормальною h₀.

Приймаємо, що ; ; ; підставимо ці значення до рівняння (5.20) отримаємо наступне рівняння:

(5.21)

Рис. 5.4.

Поділивши усі члени цього рівняння на , отримуємо наступне:

(5.22)

Звідки отримуємо площу живого перерізу над перепадом:

(5.23)

де - безрозмірний параметр котрий залежить від заповнення трубопроводу (табл. 5.1)

Визначивши за (табл.5.1) площу потоку визначаємо наповнення і далі глибину над стінкою перепаду . Практика і теоретичні дослідження нам показують, що падіння глибини над стінкою перепаду буває дуже суттєвим. Коли глибини зрівнюються тобто , глибина над стінкою становитиме 70% від критичної (крім випадків з дуже великим значенням витратним параметром П_Q, та співвідношення безрозмірного параметру D_н, та витратним параметром П_Q , тобто буде незначним).

Зрівняння (5.23) отримуємо середню швидкість над перепадом V_n, врахувавши те, що , тоді:

(5.24)

де V₁ - середня швидкість у перерізі І-І.

Глибина у стисненому перерізі після перепаду h_c, визначається за наступним рівнянням:

(5.25)

де Т₀ – питома енергія у верхньому б’ефі перепаду. Відносно дна нижнього б’ефа питома енергія складатиме:

(5.26)

де Р- висота перепаду, - коефіцієнт швидкості, котрий для перепаду з доступом повітря під струмінь, наближено береться за таблицею 5.3

Табл. 5.3.

	2,4 І менше.	3,5	5,0	7,0	9,0	11,0
	1	0,97	0,92	0,87	0,83	0,79

Розділивши усі члени рівняння (5.25) на r отримуємо значення питомої енергії у відносних величинах:

(5.27)

звідки середня площа:

(5.28)

де визначається за формулою:

(5.29)

Отримане рівняння (5.28) розв'язуємо методом послідовних наближень. Приймаємо значення величини , визначають наближено , а потім уточнюють за таблицею (5.1), значення . Далі знову визначають площу і розраховують доти доки значення площі або наповнення майже не відрізнятимуться. Потім здобувши значення визначається глибина у стисненому перерізі .

Пройшовши перепад, встановлюється відігнаний стрибок. Тепер розглянемо умову встановлення критичної форми спряження – стрибка у стисненому перерізі. (рис. 5.5)

рис. 5.5.

У такому разі використовуємо рівняння гідравлічного стрибка:

(5.30)

де відповідно F – площа перерізу, у – глибина занурення центру ваги перерізів із спряженими глибинами.

Ділимо члени рівняння на r³ і переходимо до відносних величин:

(5.31)

де параметр визначається за таблицею (5.1) для відповідних перерізів.

тобто

(5.32)

Рівняння (5.32) розв'язують дробом, або за допомогою графіка (див. рис 5.6), на якому вказано відносні значення спряжених глибин, тобто , та функцій стрибка , з урахуванням різних витратних параметрів труби . У нижній частині графіка вказана глибина h₁, яка буде до стрибка, і дорівнюватиме вона глибинам у стисненому перерізі. Проміжок графіку, коли , відноситиметься до більших глибини тобто при h₂ = h_сп.

Користуючись графіком необхідно; на вертикальній вісі відкласти значення відносної глибини у стисненому перерізі до перетину з кривою, що відноситься до відповідних витрат. З точки перетину ведеться вертикаль до перетину з верхньою пунктирною гілкою тієї ж кривої , потім на вертикальній вісі отримують більшу спряжену глибину (рс. 5.7)

Коли глибина у трубопроводі, після перепаду буде меншою ніж спряжена глибина, тобто , то за перепадом встановлюється відігнаний стрибок, коли значення глибини стає більшим ніж спряжена глибина , то стрибок стає насунутим.

На практиці для ліквідації відгону стрибка, облаштовують водобійні колодці, котрі розраховують за умови розміщення в ньому гідравлічного стрибка (рис. 5.8).

Водобійний колодязь розраховують також за графіком (5.6), на верхній частині якого, на суцільній лінії знаходиться більша взаємна глибина.

Довжина гідравлічного стрибка у колодязі розраховується за формулою В. С. Кальфи:

(5.33)

де , b – ширина потоку у стисненому перерізі.

Рис. 5.6

рис. 5.7.

.

У випадку коли перепад виконано як водозлив практичного профілю, тоді довжина водобійного колодязю береться рівною довжині стрибка. А коли стінка перепаду вертикальна (рис. 5.8) тоді довжина колодязя дорівнюватиме:

(5.34)

де l_пад – довжина падіння струменю.

Яка складає:

(5.35)

де V_n – швидкість потоку над стінкою падіння; h_n – глибина потоку над стінкою падіння; Р – висота перепаду.

Рис 5.8.

Розділ 6.

Неусталений рух рідини.

Загальні відомості.

Неусталеним називається рух, при якому швидкість, тиск та інші гідравлічні параметри в окремих її точках змінюються протягом часу. При цьому змінюється середня швидкість, та витрата потоку, тобто :, і .

У напірних трубопроводах потік обмежено стінкою труби, і площа живого перерізу не залежить від часу, або . А у відкритих руслах, площа живого перерізу залежатиме від витрат на пряму, тому що при збільшенні витрат живий переріз збільшуватиметься, а при зменшенні зменшуватиметься, Саме тому площа живого перерізу залежатиме від часу, тобто: .

Тому, цей розділ розглядатиме типи не усталеного руху, що відбувається у відкритих руслах, та при русі рідини у трубопроводах з твердою стінкою.

Такі явища виникають при виникненні паводків у річках, та при русі зливних вод у водогонах, чи випорожненні або заповненні резервуарів, водонапірних башт, відведенні стічних вод та у інших зосереджених за часом випадках.

Рівняння неусталеного руху рідини

для елементарної струминки.

Рис. 6.1.

Розглянемо елементарну струминку з площею перерізу dF, у середині неусталеного потоку рідини, котра має довжину dl, при нахилі до горизонту під кутом , (рис. 6.1).

Сили, що діятимуть на вибрану струминку, перебувають у стані динамічної рівноваги.

Сили гідродинамічного тиску у перерізах складатимуть відповідно:

;і (6.1)

Сили тиску на бокові поверхні будуть нормальними до його осі і становитимуть проекції на цю вісь до нуля.

Сила ваги складатиме:

(6.2)

Сила тертя буде дорівнювати:

(6.3)

де - дотичні напруги на бічній поверхні струминки.

Її сила інерції становитиме:

(6.4)

Зробивши проекцію на вісь струминки, отримаємо рівняння динамічної рівноваги:

(6.5)

Розділивши всі члени отриманого рівняння на , та врахувавши, що , матимемо наступне рівняння:

(6.6)

Швидкість у загальному випадку, функція положення точки у просторі й часі, тоді диференціал швидкості буде дорівнювати:

(6.7)

У такому випадку рівняння (6.6) отримує наступний вигляд:

(6.8)

Якщо врахувати, що:

Отримуємо рівняння, яке називатиметься основним диференційним рівнянням неусталеного руху елементарної струминки:

(6.9)

Рівняння неусталеного руху для потоку рідини.

Для отримання рівняння, неусталеного руху у потоці, необхідно всі члени рівняння (6.9) помножити на масу рідини що протікає через переріз струминки за одиницю часу, тобто про інтегрувати отриманий вираз за площею перерізу F, та розділити всі члени здобутого рівняння на масу рідини, яка протікає через струминку за одиницю часу:

(6.10)

Інтеграл у лівій частині за площею живого перерізу береться аналогічно інтегралу при усталеному русі (інтеграл Бернуллі). Перший член у правій частині рівняння це питома робота сили тертя, яка дорівнює похилу у даному перерізі, тобто . Другий додаток у правій частині перетворюється таким чином:

(6.11)

де - коефіцієнт кількості руху.

Враховуючи отримане рівняння (6.10) набуває наступного вигляду:

(6.12)

Отримане рівняння називається основним диференційним рівнянням неусталеного плавнозмінного руху потоку рідини.

Помноживши всі члени отриманого рівняння на dlта проінтегрувавши отриманий вираз між перерізами І-І і ІІ – ІІ (рис. 6.2) тоді отримаємо наступне:

(6.13)

де h_i – інерційний напір, котрий розраховується за наступним виразом:

(6.14)

Формула (6.13) являє собою рівняння неусталеного руху рідини у трубопроводі з жорсткою стінкою, і є рівнянням Бернуллі з додатково включеним до нього інерційним напором. Рівняння (6.13) розглядає конкретний момент часу, для якого необхідно визначати всі члени цього рівняння. Теоретично рівняння (6.13) враховує зміну і інерційного напору.

рис.6.2

Далі на (рис 6.3) показані відповідні лінії тобто; п’єзометричні Р – Р; напірні е - е; та інерційного напору і –і при русі що прискорюється з часом тобто . При русі, що уповільнюється, тобто , інерційний напір за формулою (6.14) буде від'ємним, тобто на шляху між розрахунковими перерізами буде вивільнятися кінетична енергія h_i . Якщо втрати напору не великі (h_e <h_i), то напір для даного моменту часу між перерізами І – І і ІІ – ІІ зростатиме (див. мал.6.3.)

Рис.6.3.

Позначаємо різницю п'єзометричних напорів у розрахункових перерізах , через величину а, і приймемо, що . Тепер запишемо рівняння Бернуллі для потоку при неусталеному русі рідини:

(6.15)

Тепер розглянемо докладніше інерційні сили, при неусталеному русі. Сила інерції В_і , віднесена до одиниці ваги рідини, тобто , виходячи з рівнянь (6.4) та (6.7) вона становитиме:

(6.16)

Отриманий вираз показує, що сила інерції, віднесена до одиниці ваги рідини, складена з двох частин: конвекційної , яка зумовлена швидкістю вздовж шляху l, і локальної , котра залежна від зміни швидкості у даній точці з часом. Для потоку конвекційна частина буде різницею швидкісних напорів, тобто на початку та у кінці шляху, а локальна частина - інерційним напором.

Тобто рівняння (6.15) показує, що зміна п'єзометричних напорів при неусталеному русі у трубі, складається із звичайних втрат напору h_e , інерційного напору h_i та різниці швидкісних напорів на початку та у кінці розглядуваного шляху, зумовленою конвективною частиною сили інерції.

Неусталений рух рідини в циліндричній

прямолінійній трубі.

Враховуємо те, що у циліндричній трубі площа живого перерізу потоку буде постійною, або F = const, а середня швидкість буде лише функцією часу . Тоді інерційний напір з формули (6.14) подаємо у наступному вигляді:

(6.17)

де l – довжина ділянки яку розглядають.

Втрати напору по довжині між перерізами І – І і ІІ – ІІ, визначаються за формулою (6.12). Оскільки швидкість залежить лише від часу і у даний момент V₁ = V₂ = V, тоді врахувавши вище сказане рівняння (6.15) набуде вигляду:

(6.18)

Отримане рівняння називається рівнянням неусталеного руху рідини у циліндричній прямолінійній трубі.

Характеристики руху рідини у

відкритих руслах та каналах.

Окрім загальної назви, неусталений рух рідини носить ще одне ім'я, а саме хвильовий рух рідини. Головною особливістю хвиль, що рухаються у відкритих руслах, це їх властивість переносити значні витрати рідини, саме тому вони називаються хвилями переміщення. Такі хвилі поділяють на переривчасті, й безперервні (довгі).

Самою простою формою неусталеного руху вважають хвилю одного напряму, коли витрата тільки зростає або тільки спадає. Під час зростання рівня рідини хвилю називають додатною, а коли рівень зменшується – від'ємною. Окрім цього хвиля яка поширюється в верх за течією називається - зворотною, а ту яка йде за течією називають - прямою.

Залежно від співвідношення цих ознак виділяють чотири основні види хвиль.

Пряма додатна хвиля, або хвиля наповнення (див. рис. 6.4.а), вона виникає у результаті збільшення витрати у початковому перерізі і переносить збільшення витрати вниз за течією, та спричиняє підвищення рівня води у руслі, і характеризується співвідношеннями:

1

2

(6.19)

Рис.6.4

Пряма від'ємна хвиля, або хвиля відливу,(рис.6.5), вона виникає при зменшенні витрат у початковому перерізі, та несе зменшення витрат вниз за течією і зменшення рівнів рідини вниз за течією, тобто:

1

2

(6.20)

Рис.6.5

Зворотна додатна, або хвиля підпору (рис.6.6), такий тип хвилі виникає при зменшенні витрат у кінцевому перерізі, переносить це зменшення вверх за течією і викликає підвищення рівнів рідини у руслі, тоді:

2 1

(6.21)

Рис.6.6.

Зворотна (від'ємна) хвиля або хвиля виливу, (рис. 6.7), вона виникає при збільшенні витрат у кінцевому перерізі, та переносить збільшення вверх за течією і викликає зниження рівнів рідини у руслі:

2 1

(6.22)

Рис.6.7.

Передня частина хвилі, котра пересувається вздовж потоку, з певною швидкістю, називається фронтом хвилі – 1. Фронт хвилі викликає у потоці досить різкі зміни. Весь об'єм рідини що рухається, називається тилом хвилі – 2, у якому елементи потоку змінюються повільно.

Профілі прямої додатної хвилі, що лежать на більш високих відмітках, рухатимуться швидше, ніж ті що розташовані нижче за течією. З віддаленням створу від початку відмічається зменшення відхилення витрат і глибини від їх значень при усталеному русі. Таке явище носить назву розпластування, або динамічною трансформацією хвилі.

При усталеному русі для кожного створу у потоці існує однозначна залежність витрат потоку від глибини у певному перерізі . А коли рух неусталений, разом із зростанням витрат нахил вільної поверхні збільшується, що призводить до зменшення глибини (рис. 6.8 крива 2)

Рис.6.8

Для отримання тієї самої витрати як при усталеному русі (рис.6.8.крива 1). Якщо витрати зменшуються, то для її пропускання необхідна більша глибина (рис.6.8 крива 3)

Неусталений рух рідини у відкритих руслах описуємо диференційним рівнянням не розривності і динамічної рівноваги.

Рівняння нерозривності при неусталеному русі.

(рівняння балансу витрат)

Розглянемо повздовжній переріз хвилі (рис. 6.9). у момент часу t вільна поверхня займає положення а – а, у наступний момент часу тобто - положення в –в. Оберемо два нерухомих перерізи І –І і ІІ –ІІ, з дуже малою відстанню між ними dl.Елементарний об'єм рідини dW, що міститься між перерізами І – І та ІІ – ІІ і двома положеннями вільної поверхні а – а і в – в, визначають як різницю об'ємів рідини, що прибула за час dt з витратою Q через переріз І – І у розглядуваний об'єм і потім витекла з витратою з цього об'єму через переріз ІІ – ІІ за той самий час:

(6.23)

Але, якщо елементарний об'єм dW виразити через добуток приросту площі живого перерізу F за час dt на довжину ділянки dl, тоді:

(6.24)

Прийнявши, що рідина нестислива, отримані вирази (6.23) і (6.24) прирівнюємо, і отримуємо:

(6.25)

А так, як , тоді з рівняння (6.25) отримаємо наступне:

(6.26)

Отримані формули (6.25) і (6.26) називаються рівняннями нерозривності для неусталеного руху рідини у відкритих руслах.

Рівняння динамічної рівноваги.

Рівняння динамічної рівноваги отримуємо з основного диференційного рівняння неусталеного руху потоку (6.12). Беремо точку на вільній поверхні потоку (див. рис.6.9). Приймаємо, що манометричний тиск у цій точці дорівнює нулю. Врахувавши це, а також прийнявши, що, у такому разі рівняння (6.12) набуває наступного вигляду:

(6.27)

де - похил вільної поверхні потоку, який при плавнозмінному русі дорівнює п'єзометричному похилу i_p і його значення подають як:

F

V h

z

Рис.6.9.

(6.28)

Похил тертя становитиме:

(6.29)

Підставивши отримані (6.28) і (6.29) до рівняння (6.27) отримуємо наступне:

(6.30)

Отримане рівняння , є основним диференційним рівнянням неусталеного планозмінного руху рідини у відкритих каналах та руслах.

Отримані формули (6.25) і (6.30) називають рівняннями Сен – Венана, який першим отримав їх у 1871 році.

Ці рівняння містять два інерційні члени, котрі враховують прискорення. Один з них це він виражає конвективне прискорення при усталеному нерівномірному русі, а другий - локальне прискорення, яке відбувається при неусталеному русі.

Неусталений рух характеризується також параметром не стаціонарності . У випадку коли П_н.с.< 0,5, втрати напору по довжині у кожному створі, та у певний момент часу визначаються за формулою рівномірного руху:

Розв'язуючи рівняння Сен – Венана необхідно вивести залежності і . Однак точне розв'язання цих рівнянь майже неможливий через їх складність. Ці рівняння розв'язують у найпростіших випадках, а для більш складних використовують метод числового інтегрування, який реалізують завдяки Е.О.М. Окрім цього використовують ряд спрощених методів, які базуються на різних припущеннях.

Неусталений рух рідини у горизонтальному

прямокутному руслі.

У даному випадку значення похилу і похилу тертя приймаємо рівними нулю; тобто

Врахувавши те, що для прямокутного перерізу витрати , а площа живого перерізу , підставивши ці значення до рівнянь (6.25) і (6.30) вони набувають такого вигляду:

(6.31)

Система (.631) при висоті хвилі, значно меншій від глибини h, дає змогу отримати швидкість руху хвилі:

(6.32)

де V – швидкість у каналі до виникнення неусталеного руху, h_y – глибина у каналі до виникнення неусталеного руху. Знак «+» чи «-» - відповідно прямі і зворотні хвилі.

Висоту хвилі визначають відповідно до формули:

(6.33)

де - хвильова витрата, котра дорівнює ; b – ширина русла.

Розділ 7.

Стратифіковані течії.

Загальні відомості.

Стратифікованою течією називають явище впливу неоднорідності рідини за густиною, на процес її руху, або на епюри тисків, швидкостей, дотичної напруги. Термін «стратифікація», та «розшарування», мають однакове значення.

Теорія руху стратифікованих течій, широко використовується у енергетиці, гідротехніці і гідрології, водопостачанні та водовідведенні, під час розгляду питань охорони повітряного та водного басейнів.

Зміна густини рідини може бути викликана, зміною глибини потоку, концентрацією завислих або розчинних часток, та температури. Виходячи з цього течії класифікують за механічною, хімічною, температурною стратифікацією. Механічна стратифікація характеризується значенням різниці густини за глибиною. Хімічна – кількома процентами густини. При температурній стратифікації різниця густин становить невеликі розміри .

У полі дії сил тяжіння, або у вертикальному напрямку, неоднорідність рідини приводить до виникнення у рідині архимедових сил, завдяки яким важчі частинки переміщуються до низу, а легші до гори. У той самий час дія архимедових сил, а також інших гідродинамічних сил, тягне за собою зміну енергії турбулентного потоку.

При збільшенні густини залежно від збільшення глибини, такий рух рідини називають статично стійким або з прямою стратифікацією, чи у випадку коли глибина зменшується – статично не стійким, або зворотною стратифікацією.

У випадку статично стійкої стратифікації, архимедові сили гальмують турбулентне переміщення великих частинок до гори, а легших до низу. Тоді енергія турбулентності переходить у п

отенційну енергію положення. Тобто пряма стратифікація сприяє пригніченню турбулентності. І навпаки, при зворотній стратифікації, архімедові сили підсилюють турбулентність, за рахунок наявності вертикальних конвектованих течій, що у свою чергу тягне за собою збільшення турбулентності.

При прямій стратифікації, за певних умов, у потоці формується область в'язкої течії, котра розділяє турбулентну течію на зони. Такі області називають шарами стрибка густини, а у випадку температурної стратифікації – термоклинами.

z

V₁ V₁

x

V₀ = 0

Рис.7.1.

z

V₁ V₁

V₀ = 0

Рис.7.2.

У реальних умовах товщина шару розділу є відносно незначна порівняно з товщиною потоків густини. Тому говорять не про шар, а про поверхню розділу. Хоча це визначення більш схилено до рідин, що повністю не змішуються.

Залежно від розмірів локальних градієнтів швидкості й густини, статично стійкі стратифіковані течії поділяють на два типи:

1. Течії з безперервною зміною густини з глибиною (рис. 7.1)

2. До шарові (або багатошарові) течії з розривом густини на поверхні розділу (рис.7.2).

Умови стійкості стратифікованих

потоків.

Рух стратифікованого потоку описують системою диференційних рівнянь, котрі включають у свій склад рівняння руху рідини Рейнольдса, нерозривності потоку і дифузії. Для детального розгляду течій використовують основні критерії подібності:

1. число Рейнольдса;

(7.1)

2. густинне число Фруда;

(7.2)

де відповідно h,V- глибина і швидкість потоку, однакової густини.

Число Рейнольдса є характеристикою сил тертя і сил інерції, а густинне число Фруда – вплив гравітаційних та інерційних сил у середині стратифікованого потоку. Якщо густиною верхнього шару можна знехтувати у порівняння з нижнім , тобто , тоді густинне число Фруда переходить у звичайне. Таке явище спостерігається при взаємодії нижнього повітряного шару атмосфери і верхнього шару рідини(водоймища).

Розраховуючи стратифіковані течії постійно виникає проблема визначення умов, котрі забезпечують їх стійкість. І ця задача включає у себе три самостійні завдання:

1. Визначення умов, за яких виникає турбулентність у області поверхні розділу.

2. Оцінка умов, необхідних для підтримання незгасаючої турбулентності у неоднорідному за густиною потоці.

3. Дослідження впливу зовнішніх факторів на стійкість стратифікованих течій.

Зміна параметрів течій біля поверхні виникає у наслідок дії дотичних напруг на границі між потоками з різною густиною, а також під впливом зовнішніх факторів.

Досліди Келегана встановили, що втрата стійкості внутрішніх хвиль на поверхні розділу потоків з різною густиною відбувається при досягненні критичних значень параметрів К_е ( критерій Келегана) :

(7.3)

Залежність Келегана (7.3) іноді подають у наступному вигляді:

Критерій стійкості здобуто на підставі припущення, що перехід від двошарового за глибиною потоку з поверхнею розділу до течії з турбулентним переміщенням відбувається стрибкоподібно. Крім того, не враховувалася в’язкість рідини у вертикальному напрямку з глибиною потоку. Таке припущення має відношення до хімічної стратифікації, але його використання і до механічної та й до температурної стратифікації також можливе.

Подальші експерименти показали, що перехід від течії з густинними розшаруваннями зі стійкою границею розділу до течії з турбулентним змішуванням відбувається плавно і залежить від ступеня розвитку внутрішніх хвиль на поверхні розділу.

І як результат умова стійкості розшарування густини отримує наступний вигляд:

(7.4)

де число Рейнольдса, та Фруда, дорівнюватимуть:

; (7.5)

Ці значення отримують для динамічного пограничного шару розділу різногустинних потоків з товщиною ; та зсувом швидкості на границі розділу - .

Коли розвинутий пограничний шар охоплює всю товщину поверхні між шарами, а нижній буде нерухомий, тоді , та .

Самими характерними формами течії у зоні пограничного шару вважають:

1. Ламінарну течію, границі існування якої визначаються як:

(7.6)

2. Рух з регулярними стійкими внутрішніми хвилями:

(7.7)

3. Рух з перевагою нерегулярних довгих хвиль:

(7.8)

4. Рух з перевагою коротких не стійких хвиль:

(7.9)

5. Турбулентне перемішування:

(7.10)

Далі приведені криві, які поділяють області площини на відповідні до руху зони (рис. 7.3)

Форми руху 1 і 2 на графіку є стійкими, інші не стійкі. Тобто вони існують завдяки постійному впливу турбулентної енергії з навколишнього середовища.

Рис.7.3.

У практиці проектування та експлуатації об’єктів водного господарства, наприклад скидання води теплових та атомних електростанцій, відведенні очисних стічних вод у водоймища, проникненні солоних вод у гирла рік і т. д. формуються стратифіковані потоки котрі приймають як двошарові. У такому випадку розглядають без суттєвої похибки окремо характеристики кожного шару і нехтують турбулентним обміном між ними.

Основним питанням при розрахунках таких течій є визначення гідравлічного коефіцієнта тертя на поверхні розділу . Котрий знаходять за формулами:

при (7.11)

при (7.12)

Для зони перехідного режиму коли , розраховуючи рекомендовано використовувати графік побудований Ю. Георгієвим (рис. 7.4).

Де число Рейнольдса та Фруда дорівнюють:

; і .

Рис.7.4.