Диффур
.pdfмұндағы, y1 , y2 , ..., yn - біртекті |
теңдеудің фундаменталь шешімдері. Осындағы |
C1( x ),...,Cn( x ) функцияларын (6) |
қосынды (1) теңдеудің шешімі болатындай етіп |
таңдайды. Бұл функцияларды анықтау үшін n теңдеу керек. Ол үшін (6) өрнекті n ретке дейін дифференциалдаймыз. Мұнда C1( x ),...,Cn( x ) функцияларының туындыларына
қосымша шарт қойылып отырады. Сонымен,
n |
n |
y′ = ∑Ci ( x )yi′ + ∑Ci′( x )yi |
|
i=1 |
i=1 |
Осындағы екінші қосындыны нөлге теңейміз:
∑n Ci′( x )yi = 0
i=1
Қалған бірінші қосындыдан екінші туынды табамыз:
n |
n |
′( x )yi′ |
y′′ = ∑Ci ( x )yi |
″ + ∑Ci |
|
i =1 |
i =1 |
|
Осындағы екінші қосындыны тағы да нөлге теңейміз:
∑n Ci′( x )yi′ =0
i=1
Осылай қосындыны n −1 рет дифференциалдап, C1′( x ), ...,Cn′( x ) туындыларының қосындысын əрдайым нөлге теңеп отырамыз. Сонда
y( n−1 ) = ∑n Ci ( x )yi( n−1 ) , i=1
|
n |
n |
|
ал |
y( n ) = ∑Ci ( x )yi( n ) + ∑Ci′( x )yi |
( n−1 ) |
|
|
i=1 |
i=1 |
|
Соңғы екінші қосындыны нөлге теңестірмейді. Ол қосынды (1) теңдеудің оң жағындағы f ( x ) функциясына тең деп алынады.
Себебі, (6) өрнекті жəне оның туындыларын (1) теңдеуге апарып қойсақ, төмендегідей теңдік аламыз:
|
|
|
|
|
L[y]= C1( x )L[y1 ]+ ...+Cn( x )L[yn ]+ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+C ′( x )y ( n−1 ) |
+...+C |
n |
′( x )y ( n−1 ) = f ( x ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
мұнда |
L[y ] |
= ... = L[y |
n |
]=0 . |
Сонымен, |
C ′ |
( x ),...,C |
′( x ) |
функцияларын анықтау |
үшін |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
мынандай жүйе аламыз: |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( x )yn =0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
C1 |
( x )y1 + ...+Cn |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
................................................... |
|
|
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
C1′( x )y1( n−2 ) |
+ ...+Cn′( x )yn( n−2 ) =0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
C ′( x )y ( n−1 ) |
+...+C |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
′( x )y ( n−1 ) = f ( x ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Бұл C ′ |
( x ),...,C |
′( x ) функциялары бойынша сызықты біртексіз алгебралық жүйе. |
Оның |
||||||||||||
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
анықтауышы |
Вронский анықтауышы, |
ал |
ол нөлге |
тең |
емес. Өйткені, y1 , y2 , ..., yn |
||||||||||
шешімдері өзара сызықты тəуелсіз. Осы жүйені Крамер ережесі бойынша шешсек, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
′( x ) = Wni ( x ) f ( x ) ,( i =1, ..., n ) |
|
|
(8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
W( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
өрнегін аламыз. Мұндағы, Wni ( x ) - Вронский анықтауышының n -ші жатық жолы мен i -
нші тік жолының қиылысында тұрған элементтің алгебралық толықтауышы. Соңғы қатынасты интегралдап, Ci ( x ) функциясын табамыз:
x |
W (τ ) f (τ ) |
0 |
|
(9) |
|
Ci ( x ) = ∫ |
ni |
dτ +Ci |
,( i =1, ..., n ) |
||
W(τ ) |
|||||
x0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
Мұндағы, C 0 |
-еркін тұрақтылар. |
Табылған осы |
C ( x ),...,C |
( x ) функцияларды (6) |
|||
i |
|
|
|
|
1 |
n |
|
қатынасқа қойсақ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x |
Wni (τ ) f (τ ) |
|
n |
0 yi |
|
|
y = ∑ yi ∫ |
dτ + ∑Ci |
|
||||
|
|
|
|||||
|
i=1 |
x0 |
W(τ ) |
i=1 |
|
|
|
функциясын аламыз. Бұл функция өзінің құрылымы бойынша (1) теңдеудің шешімі. Мұндағы, бірінші қосынды (1) теңдеудің дербес шешімін, екінші қосынды біртекті теңдеудің жалпы шешімін білдіреді. Сонымен, бастапқы айтылған қағидаға қайта келдік: біртексіз теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің бір дербес шешімі мен оның сəйкес біртектісінің жалпы шешімінің қосындысынан тұрады.
Біртексіз сызықты теңдеулер
5.1. Төмендегідей біртексіз сызықты теңдеуді қарастырайық:
L[y]= y( n ) + p ( x )y( n−1 ) + ...+ p |
n |
( x )y = f ( x ) |
(1) |
1 |
|
|
Мұнда да коэффициенттер мен бос мүше кейбір a,b аралығында үздіксіз функциялар деп есептелінеді. Осы теңдеудің сəйкес біртектісін қоса қарастырайық:
|
|
|
|
L[y]= y( n ) + p ( x )y( n−1 ) +...+ p |
( x )y =0 |
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
Бұл екі теңдеудің шешімдерінің арасында тығыз байланыстар бар. |
|
|
||||||||||
|
0 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
Егер y біртексіз (1) теңдеудің шешімі, ал y1 біртекті (2) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
~ |
+ y1 функциясы (1) теңдеудің шешімін береді. |
|
|||||
теңдеудің шешімі болса, онда y = y |
|
|||||||||||
Шынында да, |
~ |
|
|
|
. Осыдан |
|
|
|
||||
L[y ]= f ( x ), L[y1]=0, x a,b |
|
|
|
|||||||||
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L[y + y1 ]= L[y ]+ L[y1 ]= f ( t ), x a , b . |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
0 |
. |
~ |
~ |
|
|
|
теңдеудің шешімдері болса, онда олардың |
||||
|
Егер y1 |
жəне y2 функциялары (1) |
||||||||||
айырмасы (2) теңдеудің шешімін береді. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Шыныда да, L[y1 ]= f ( x ), L[y2 ]= f ( x ) . Осыдан |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L[y1 |
− y2 ]= L[y1 |
]− L[y2 ]= f ( x ) − f ( x ) =0, x a,b . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
L[y]= f |
|
30. |
Егер (1) |
теңдеуде |
f ( x ) = ∑ fi ( x ) болса, ал y функциясы |
( x ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
i |
i |
|
теңдеуінің шешімі болса, онда |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
|
m |
m |
( x ), x a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
L ∑ y |
= ∑L[y ] |
= ∑ f |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
Бұл қасиетті суперпозиция қасиеті деп атайды.
40. Егер (1) теңдеудің оң жағы комплексты функция болса f ( x ) = u( x ) +iv( x ) , ал y( x ) =α( x ) +iβ( x ) комплексты функция сол теңдеудің шешімі болса, онда нақты α( x )
жəне β( x ) функциялары сəйкес L[y]= u( x ) |
жəне L[y]= v( x ) теңдеулерінің шешімдері |
болады. |
Осыдан L[α( x )]≡ u( x ), L[β( x )]≡ v( x ) тепе- |
Шынында да, L[α( x ) +iβ( x )]≡ u( x ) +iv( x ) . |
теңдіктері шығады.
Осы қасиеттерді пайдалансақ, төмендегідей қорытындыға келеміз.
Теорема. Біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің бір дербес шешімі мен
сəйкес біртекті (2) теңдеудің жалпы шешімінің қосындысынан тұрады. |
|
||
Дəлелдеуі. Айталық, y1 , y2 , ..., yn біртекті (2) |
теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесі |
||
болсын, ал |
y функциясы біртексіз (1) теңдеудің бір дербес шешімі болсын. Бұл жағдайда |
||
|
~ |
|
|
|
~ |
n |
(3) |
|
y( x ) = y( x ) |
+ ∑Ci yi ( x ) |
|
|
|
i=1 |
|
қосындысы берілген аралықта (1) теңдеудің жалпы шешім болатынын көрсетейік. Мұнда C1 , ..., Cn - еркін тұрақтылар. 10 - қасиет бойынша (3) қосынды (1) теңдеудің шешімі:
|
~ |
n |
|
~ |
n |
L y |
+ ∑Ci yi |
= L[y |
]+ ∑Ci L[yi ]= f ( x ), x a,b |
||
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
Енді осы шешімнен кез келген Коши есебінің жалғыз ғана шешімін алуға болатынын көрсетсек, жеткілікті. Бастапқы шартты
′ |
) = y0 |
1 |
, ..., y |
( n−1 ) |
( x0 |
) = y0 |
n−1 |
(4) |
y( x0 ) = y0 , y ( x0 |
|
|
|
түрінде алсақ, онда төмендегідей жүйе аламыз:
y0 |
|
~ |
n |
|
|
|
= y( x0 |
) + ∑Ci yi ( x0 ) |
|
||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
y0 |
1 |
~′ |
n |
′ |
( x0 |
) |
|
||||||
|
= y ( x0 ) + ∑Ci yi |
|||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
...........................................
n−1 |
~( n−1 ) |
n |
|
( x0 ) + ∑Ci yi |
|||
y0 |
= y |
||
|
|
i=1 |
(5)
( n−1 )( x )
0
Бұл жүйе C1 , ...,Cn сандары бойынша сызықты біртексіз алгебралық жүйе. Оның анықтауышы ∆ =W( x0 ) ≠ 0 . Сондықтан, жүйенің нөлдік емес жалғыз ғана шешімі бар:
C10 , ..., Cn0 . Осы сандарды (3) қатынасқа қойсақ, (1) теңдеудің (4) шартты қанағаттандыратын жалғыз ғана шешім аламыз.
5.2. Біртексіз теңдеудің жалпы шешімін табу үшін əдетте, тұрақтыларды вариациялау əдісі қолданылады. Бұл əдістің мəнісі – сəйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі белгілі деп, ондағы еркін тұрақтыларды x -қа байланысты айнымалы шамалар деп есептелініп, шешім мына түрде ізделінеді:
|
n |
|
(6) |
|
y = ∑Ci ( x )yi |
||
|
i=1 |
|
|
мұндағы, y1 , y2 , ..., yn - біртекті |
теңдеудің |
фундаменталь |
шешімдері. Осындағы |
C1( x ),...,Cn( x ) функцияларын (6) |
қосынды |
(1) теңдеудің |
шешімі болатындай етіп |
таңдайды. Бұл функцияларды анықтау үшін n теңдеу керек. Ол үшін (6) өрнекті n ретке дейін дифференциалдаймыз. Мұнда C1( x ),...,Cn( x ) функцияларының туындыларына
қосымша шарт қойылып отырады. Сонымен,
n |
n |
y′ = ∑Ci ( x )yi′ + ∑Ci′( x )yi |
|
i=1 |
i=1 |
Осындағы екінші қосындыны нөлге теңейміз:
∑n Ci′( x )yi = 0
i=1
Қалған бірінші қосындыдан екінші туынды табамыз:
n |
n |
′( x )yi′ |
y′′ = ∑Ci ( x )yi |
″ + ∑Ci |
|
i =1 |
i =1 |
|
Осындағы екінші қосындыны тағы да нөлге теңейміз:
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∑Ci′( x )yi′ =0 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
′ |
|
′( x ) туындыларының |
|
Осылай қосындыны n −1 |
рет дифференциалдап, C |
( x ),...,C |
||||
|
|
1 |
|
|
n |
|
қосындысын əрдайым нөлге теңеп отырамыз. Сонда |
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
y( n−1 ) = ∑Ci ( x )yi( n−1 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
ал |
y( n ) = ∑Ci ( x )yi( n ) + ∑Ci′( x )yi |
( n−1 ) |
|
|||
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
Соңғы екінші қосындыны нөлге теңестірмейді. Ол қосынды (1) теңдеудің оң жағындағы f ( x ) функциясына тең деп алынады.
Себебі, (6) өрнекті жəне оның туындыларын (1) теңдеуге апарып қойсақ, төмендегідей теңдік аламыз:
|
|
|
|
|
L[y]= C1( x )L[y1 ]+ ...+Cn( x )L[yn ]+ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+C ′( x )y ( n−1 ) |
+...+C |
n |
′( x )y ( n−1 ) = f ( x ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
мұнда |
L[y ] |
= ... = L[y |
n |
]=0 . |
Сонымен, |
C ′ |
( x ),...,C |
′( x ) |
функцияларын анықтау |
үшін |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
мынандай жүйе аламыз: |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( x )yn =0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
C1 |
( x )y1 + ...+Cn |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
................................................... |
|
|
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
C1′( x )y1( n−2 ) |
+ ...+Cn′( x )yn( n−2 ) =0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
C ′( x )y ( n−1 ) |
+...+C |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
′( x )y ( n−1 ) = f ( x ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Бұл C ′ |
( x ),...,C |
′( x ) функциялары бойынша сызықты біртексіз алгебралық жүйе. |
Оның |
||||||||||||
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
анықтауышы |
Вронский анықтауышы, |
ал |
ол нөлге |
тең |
емес. Өйткені, y1 , y2 , ..., yn |
||||||||||
шешімдері өзара сызықты тəуелсіз. Осы жүйені Крамер ережесі бойынша шешсек, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
′( x ) = Wni ( x ) f ( x ) ,( i =1, ..., n ) |
|
|
(8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
W( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
өрнегін аламыз. Мұндағы, Wni ( x ) - Вронский анықтауышының n -ші жатық жолы мен i -
нші тік жолының қиылысында тұрған элементтің алгебралық толықтауышы. Соңғы қатынасты интегралдап, Ci ( x ) функциясын табамыз:
|
|
|
x |
W (τ ) f (τ ) |
0 |
|
|
|
(9) |
||||
|
|
Ci ( x ) = ∫ |
|
ni |
|
dτ +Ci |
,( i =1, ..., n ) |
||||||
|
|
|
W(τ ) |
|
|||||||||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мұндағы, |
C 0 |
-еркін тұрақтылар. |
Табылған |
осы |
C ( x ),...,C |
( x ) |
функцияларды (6) |
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
қатынасқа қойсақ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
x |
|
Wni (τ ) f (τ ) |
|
n |
|
0 yi |
|
|
||
|
|
y = ∑ yi ∫ |
|
dτ + ∑Ci |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
i=1 |
x0 |
|
W(τ ) |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
функциясын аламыз. Бұл функция өзінің құрылымы бойынша (1) теңдеудің шешімі. Мұндағы, бірінші қосынды (1) теңдеудің дербес шешімін, екінші қосынды біртекті теңдеудің жалпы шешімін білдіреді. Сонымен, бастапқы айтылған қағидаға қайта келдік: біртексіз теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің бір дербес шешімі мен оның сəйкес біртектісінің жалпы шешімінің қосындысынан тұрады.
8-ЛЕКЦИЯ. Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді интегралдау.
Лекция мақсаты: Тұрақты коэффициентті теңдеулердің фундаменталь шешімдерін табу əдістерімен таныстыру.
Негізгі сөздер: Фундаменталь шешімдер жүйесі, базис, Эйлер əдісі, квазикөпмүшелік.
Қысқаша мазмұны Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді интегралдау
6.1. Алдымен біртекті теңдеуді қарастырайық:
L[y]= y( n ) + a y( n−1 ) +...+ a |
n |
y =0 |
(1) |
1 |
|
|
|
Мұндағы, ai - тұрақты нақты сандар. |
|
|
|
Бұл теңдеудің шешімін Эйлер ұсынған əдіс бойынша |
|
|
|
y = eλx |
|
|
(2) |
түрінде іздейміз. Мұндағы, λ - белгісіз тұрақты сан. Осы өрнекті (1) теңдеудің сол жағына қойсақ,
L[eλx ]= λneλx + λn−1a1eλx + ...+ aneλx = P( λ )eλx |
(3) |
қатынасын аламыз. Мұнда
P( λ ) = λn + a λn−1 |
+...+ a |
n |
|
(4) |
1 |
|
|
|
|
(3) қатынастан eλx функциясы теңдеудің шешімі болу үшін λ |
|
санының |
P( λ ) =0 |
|
теңдеуінің шешімі болуы керек екенін көреміз, яғни |
|
|
|
|
P( λ ) = λn + a λn−1 |
+...+ a |
n |
=0 |
(5) |
1 |
|
|
|
|
Соңғы теңдеуді сипаттаушы теңдеу деп, ал оның түбірлерін сипаттаушы сандар деп атайды.
Сипаттаушы сандардың түрлеріне байланысты фундаменталь шешімдер жүйесі əртүрлі болады. Сол жағдайларды қарастырайық.
10. Сипаттаушы λ1 , ..., λn сандары əртүрлі нақты сандар болсын.
Бұл сандарды кезекпен (2) қатынасқа қойып, n дербес шешім табамыз:
y = eλ1x , ..., y |
n |
= eλn x |
(6) |
1 |
|
|
Олардың сызықты тəуелсіздігін көрсету үшін Вронский анықтауышын құрайық:
|
eλ1x |
... |
|
eλn x |
|
|
|
|
|
1 |
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
λ eλ1x |
... |
λ |
eλn x |
( λ |
+ |
+λ |
|
)x |
λ1 |
... |
λn |
W( x ) = |
1 |
|
|
n |
n |
|
|
|
||||
................................... |
= e |
1 |
|
|
.......................... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
λ n−1eλ1x |
... |
λ n−1 eλn x |
|
|
|
|
|
λ1n−1 |
... λnn−1 |
||
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соңғы анықтауыш Вандермонд анықтауышы деп аталады. Ол λ1 , ..., λn сандары əртүрлі болғанда нөлге айналмайды, яғни W( x ) ≠ 0 . Сондықтан, (6) функциялар жиыны берілген теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесін құрайы. Бұл жағдайда жалпы шешім
y = C eλ1x + ...+C |
eλn x |
(7) |
|
1 |
n |
|
|
түрінде жазылады. Мұндағы, C1 , ...,Cn - еркін тұрақты сандар.
20. Сипаттаушы сандардың ішінде комплексты сандар кездессін. Айталық, λ1 = a +ib - сипаттаушы теңдеудің жəй түбірі болсын. Онда оның түйіндесі λ2 = λ1 = a −ib саны да сол теңдеудің түбірі болады. Бұл жағдайда a +ib түбіріне сəйкес шешім
y = e( a+ib )x |
(8) |
1 |
|
түрінде жазылады. Бұл комплексты функция. Өткен параграфта көрсетілген сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеті бойынша оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдына берілген теңдеудің шешімдері болады. Сондықтан,
y |
= Re y |
= eax cos bx, y |
= Im y = eax sinbx |
(9) |
11 |
1 |
12 |
1 |
|
функциялары (1) теңдеудің шешімдері болады жəне олар өзара сызықты тəуелсіз. Ал λ1 = a −ib түбіріне сəйкес шешім де сол өзара тəуелсіз екі функцияны береді:
eax cos bx, −eax sinbx |
(10) |
Бұлардың біріншісі, алдыңғымен бірдей; екіншісі, тек таңбасымен өзгеше, яғни (9) жəне (10) функциялар өзара сызықты тəуелді. Сондықтан, өзара түйіндес комплекс түбір үшін
(9) түріндегі екі нақты функция алынады. Осы сияқты, кез келген қос комплексты түбір үшін екі нақты функциялар алынып отырады. Оларға қоса нақты түбірлерге сəйкес қойылатын шешімдерді алсақ, олардың жиыны берілген теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесін құрайды.
30. Сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің кейбіреулері еселікті түбірлер болсын. Айталық, λ1 -саны сипаттаушы теңдеудің k -еселікті түбірі болсын. Бұл жағдайда
′ |
( k −1 ) |
( λ ) =0, P |
( k ) |
( λ1 ) ≠ 0 |
(11) |
P( λ1 ) = P ( λ ) = ... = P |
|
|
шарттары орындалады.
L[eλx ]= P( λ )eλx
тепе-теңдігін λ бойынша m рет дифференциалдайық:
L[λmeλx ]= ∑m Cνm P(ν )( λ )xm−ν eλx |
(12) |
ν =0 |
|
Осыдан (11) шартты ескерсек: |
|
L[λmeλ1x ]≡0, m =0,1, ..., k −1 |
|
болатынын көреміз, яғни |
|
eλ1x , xeλ1x , ..., xk −1eλ1x |
(13) |
функцияларының (1) теңдеудің шешімдері болатынын көреміз. Бұл шешімдердің де өзара сызықты тəуелсіз екенін көрсету қиын емес. Мұнда, λ1 -саны нақты болса, онда (13)
функциялар да нақты функциялар болады.
Егер сипаттаушы теңдеудің комплексты λ1 = a +ib түбірі k еселікті түбір болса, оның
түйіндесі λ1 = a −ib түбірі де k еселікті болады. Бұл жағдайда да алдыңғы (13) шешімдер сияқты төмендегідей k шешім аламыз:
e( a+ib )x , xe( a+ib )x , ..., xk −1e( a+ib )x |
(14) |
Осы комплексты функциялардың нақты жəне жорамал бөліктерін ажыратсақ, онда 2k нақты функциялардың жиынын аламыз:
eax cos bx, xeax cos bx, ..., xk −1eax cosbx,
(15)
eax sinbx, xeax sinbx, ..., xk −1eax sinbx
Бұл функциялардың да сызықты тəуелсіздігін дəлелдеу қиын емес. Түйіндес a −ib түбірі жаңа тəуелсіз шешімдер тудырмайды.
Сонымен, əрбір нақты, комплексты, еселікті түбірлерге сəйкес қойылатын шешімдерді есептесек, барлығы n нақты шешімдер аламыз. Олардың сызықты комбинациясы берілген теңдеудің жалпы шешімін береді.
6.2. Енді тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеуді қарастырайық:
L[y]= y( n ) + a y( n−1 ) + ...+ a |
n |
y = f ( x ) |
(16) |
|
1 |
|
|
|
|
Мұнда ai -сандары нақты, ал f ( x ) - функциясы кейбір a,b |
аралығында үздіксіз деп |
|||
алынады.
Өткен параграфта көрсетілгендей, біртексіз сызықты теңдеудің жалпы жəне дербес шешімдерін жалпы жағдайда тұрақтыларды вариациялау арқылы анықтауға болады.
Кейбір жағдайларда f ( x ) функциясының |
түріне |
байланысты |
шешімді |
алгебралық |
||||
амалдардың көмегімен интегралсыз-ақ табуға болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Айталық, f ( x ) функциясы квазикөпмүшелік түрде берілсін, яғни |
|
|
|
|||||
f ( |
x ) = Pm ( x |
) e α x |
|
|
|
(17) |
||
Мұнда Pm( x ) -дəрежесі m -ге тең көпмүшелік: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( x ) = p xm + p xm−1 + ...+ p |
m |
(18) |
|||||
Сонымен, |
m |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L[y]= y( n ) + a y( n−1 ) + ...+ a |
n |
y = P ( x )eαx |
(19) |
|||||
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
Дербес шешімді құрудың екі жағдайы қарастырылады.
10. α -саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес. Бұл жағдайда дербес шешім мына түрде ізделінеді:
|
|
y |
= Q ( x )eαx |
|
|
(20) |
|
Мұнда |
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
Q ( x ) = q xm + q xm−1 |
|
|
|
|||
|
|
+...+ q |
m |
(21) |
|||
|
|
m |
0 |
1 |
|
|
|
Осы (20) өрнекті (19) теңдеуге қойып, алдын ала eαx |
функциясына қысқартып, x -тың |
||||||
əртүрлі |
дəрежелерінің |
коэффициенттерін |
теңестіретін |
болсақ, |
q0 , q1 , ..., qm - |
||
коэффициенттері төмендегідей теңдеулерден бірмəнді түрде анықталады:
q0 P(α ) = p0 , |
|
|
|
||
1 |
′ |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
q0 Cm P (α ) + q1P(α ) = p1 |
(22) |
||||
................................................. |
|
||||
|
|
||||
m |
( m ) |
|
′ |
|
|
q0 Cm P |
|
(α ) +...+ qm−1P (α ) + qm P(α ) = pm |
|
||
Мұнда P(α ) ≠ 0 , өйткені α -саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес. 20. α -саны сипаттаушы теңдеудің k -еселікті түбірі болсын, яғни
′ |
= ... |
= P |
( k −1 ) |
(α ) =0, P |
( k ) |
(α ) ≠ 0 |
|
|
(23) |
||||
P(α ) = P (α ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Бұл жағдайда дербес шешім |
|
= xkQ |
( x )eαx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
(24) |
|||||
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
q0 , q1 , ..., qm - |
|
түрінде ізделінеді. Мұнда да (24) өрнекті (19) теңдеуге қоятын болсақ, |
|
||||||||||||
сандарын табу үшін төмендегідей алгебралық теңдеулер аламыз: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q0 Ckk +m P( k )(α ) = p0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k +1 |
( k +1 ) |
|
|
|
k |
|
( k ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(α ) = p1 |
|
|
(25) |
||||||
q0 Ck +m P |
|
|
(α ) + q1 Ck +m−1 P |
|
|
, |
|
||||||
............................................................................... |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 Ckk ++mm P( k +m )(α ) + ...+ qm Ckk P( k )(α ) = pm |
|
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
Мұнда P( k )(α ) ≠ 0 болғандықтан, барлық коэффициенттер бір мəнді түрде анықталады.
Ескерту. Егер (16) теңдеудің оң жағы тригонометриялық квазиполином түрінде берілсе, яғни
f ( x ) = P(m1 )( x )eαx cos bx + P(m2 )( x )eαx sinbx
түрінде берілсе, онда cos bx жəне sinbx |
функцияларын Эйлер формуласы бойынша |
|||
cos bx = |
eibx |
+e−ibx |
, sinbx = |
eibx −e−ibx |
|
2 |
2i |
||
|
|
|
||
түрінде жазып, алдыңғы жағдайға келтіруге болады.
Мысалдар. |
|
|
|
|
|
|
|
1. y′′−3y′+ 2 y =0 |
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек болсын. Ол үшін сипаттаушы |
||||||
теңдеу құрамыз: |
λ2 −3λ + 2 =0 . Бұл теңдеудің түбірлері: λ =1, λ |
2 |
= 2 . Сəйкес дербес |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
шешімдер: y = ex , y |
2 |
= e2x . |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Жалпы шешім: y = C ex +C |
e2x . |
|
|
||||
2. y′′−4 y′+ 5 y = 0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек болсын. Ол үшін сипаттаушы |
|||||||
теңдеу құрамыз: λ2 −4λ + 5 = 0 . Бұл теңдеудің түбірлері: λ1,2 = 2 ±i . Дербес шешімдер:
y1 = e2x cos x, y2 = e2x sin x .
Жалпы шешім: y = e2 x( C1 cos x +C2 sin x ) .
3. |
y′′′−3 y′′+3 y′− y =0 . Сипаттаушы теңдеу құрамыз: λ3 −3λ2 + 3λ −1 =0 |
немесе ( λ −1)3 =0 . |
||||||||||||||||
Осыдан λ |
=1. Жалпы шешім: |
y = ex( C |
+C |
2 |
x +C |
x2 ). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1,2,3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4. |
y′′−9 y = 5e2 x . |
Сипаттаушы |
теңдеу: |
λ2 −9 = 0 , |
λ1,2 = ±3 . |
Біртекті |
теңдеудің жалпы |
|||||||||||
шешімі: |
y0 = C1e |
3x |
+C2e |
−3x |
. |
Біртексіздің |
дербес |
шешімін: |
~ |
= Ae |
2x |
түрінде іздейміз. |
||||||
|
|
y |
|
|||||||||||||||
Осыдан |
A = −1 болатынын |
көреміз. Сондықтан, |
біртексіз |
берілген |
теңдеудің жалпы |
|||||||||||||
шешімі |
|
|
|
|
|
|
|
y = C e3x +C |
e−3x |
−e2x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
функциясы болады.
9-ЛЕКЦИЯ. Біртекті сызықты жүйелер.
Лекция мақсаты: Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттерімен таныстыру. Біртекті жүйенің шешімдерінің қасиеттерімен таныстыру.
Негізгі сөздер: вектор, матрица, фундаменталь матрица, Лиувилль формуласы, Коши функциясы.
Қысқаша мазмұны Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттері
1.1. Қарапайым теңдеулер жүйелердің ең маңызды дербес түрі – сызықты жүйелер болып есептелінеді. Оның скалярлық түрдегі жазылуы төмендегідей болады:
|
|
dx1 |
|
= p |
|
( t )x |
+ ...+ p ( t )x |
|
+ f |
( t ) |
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
|
|
dt |
11 |
1 |
1n |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
......................................................... |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
dxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= pn1( t )x1 |
+ ...+ pnn( t )xn |
+ fn( t ) |
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
||||||||||
Мұндағы, pij ( t ) жəне fi ( t ) |
|
функциялары кейбір |
a,b |
аралығында анықталған нақты |
||||||||||
үздіксіз функциялар деп қарастырылады. Бұл жүйені былайша жазуға да болады: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dxi |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
= ∑ pij ( t )x j + fi ( t ),( i =1,...,n ) |
||||||||||
Егер P(t) = (pij (t)), (i =1,..., n) |
|
|
|
dt |
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицасын |
енгізсек, |
ал |
|
x пен f -ты вектор немесе |
бір |
|||||||||
бағаналы матрицалар деп қарастырсақ, онда берілген жүйені төмендегідей векторлыматрицалық түрде жазуға болады:
dx |
= P(t)x + f (t) |
(3) |
dt |
|
|
Бұл қатынасты жүйе деумен қатар (оның векторлық мағынасын ескеріп), бір теңдеу деп те айтуға болады.
Əдетте, f ( t ) – вектор-функцияны бос мүше деп атайды. Егер осы бос мүше нөлге тең болса, онда (3) жүйенің орнына оның біртектісін аламыз:
|
|
dx |
= P(t)x |
(4) |
|
|
|
dt |
|
|
|
Бос мүше нөлге тең болмағанда (3) жүйені (4) жүйенің сəйкес біртексізі деп атайды. |
|||||
Бұл жүйелер үшін Коши есебі мына түрде қойылады: барлық векторлардың ішінен |
|||||
ϕ( t |
0 |
) = x0 ,t |
a,b |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
бастапқы шартын қанағаттандыратын |
шешімді |
табу керек. Мұндағы, x0 |
- берілген |
||
бастапқы вектор. |
|
|
|
|
|
1.2. Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттерін келтірейік:
10. Тəуелсіз айнымалыны үздіксіз дифференциалданатын функция арқылы басқа бір тəуелсіз айнымалымен алмастырғаннан жүйенің сызықтығы өзгермейді.
Шынында да, t =ϕ(τ ),ϕ′(τ ) ≠ 0, τ c,d алмастыруын жасайық. Туындыны жаңа
айнымалы арқылы өрнектейік:
dxdt = ddxτ ddtτ = ddxτ ϕ′(1τ )
Осыдан,
1dx = P[ϕ( τ )]x + f [ϕ( τ )]
ϕ′( τ ) dτ
немесе
|
dx |
= P[ϕ(τ )]ϕ |
′ |
′ |
|||||
|
dτ |
||||||||
|
(τ )x + f [ϕ(τ )]ϕ (τ ) |
||||||||
яғни, |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
P(τ )x + f (τ ) |
||||||
|
|
|
dτ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
түріндегі жаңа сызықты жүйеге қайта келдік.
20. Белгісіз функцияны сызықты түрлендіргеннен жүйенің сызықтығы өзгермейді.
Шынында да, айталық x =α( t )y + β( t ) түрінде алмастыру
жасалсын. Мұнда α( t ) =(αij ),( i, j =1,...,n ) ерекше емес матрица, яғни оның анықтауышы
нөлге тең емес. Осы қатынастан туынды алып берілген жүйенің өзін пайдалансақ, мынандай қатынастар аламыз:
dxdt =α dydt + ddtα y + ddtβ
яғни,
P( t )[αy + β]+ f =α dydt + ddtα y + ddtβ
Осыдан,
dy |
|
−1 |
|
dα |
−1 |
|
|
|
dβ |
|
||||||||
|
=α |
|
P( t )α − |
|
|
|
y +α |
|
P( t )β + |
f ( t ) − |
|
|
||||||
dt |
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||
немесе |
|
|
|
|
dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
P( t )y + f ( t ) |
|
|
|
|
|||||||||||
Мұндағы, |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dα |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
P( t ) =α |
|
P( t )α |
− |
|
|
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
dβ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
f ( t ) =α |
|
P( t )β |
+ |
f ( t ) − |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Біртекті сызықты жүйелер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1. Төмендегідей біртекті сызықты теңдеулер жүйесін |
|
|
|
|||||||||||||||
қарастырайық: |
|
|
|
|
|
dx = P( t )x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Осы жүйенің шешімдерінің кейбір қасиеттерін келтірейік. Ең |
|
|||||||||||||||||
алдымен ескеретін жəй – біртекті жүйенің бастапқы Коши есебінің |
|
|||||||||||||||||
x( t0 ) =0 шартын қанағаттандыратын нөлдік x( t ) =0 шешімі барлық уақытта бар жəне ол шешім жалғыз.
Теорема-1. Егер ϕ1( t ),...,ϕn( t ) – вектор-функциялары (1) жүйенің шешімдері болса,
олардың кез келген сызықты комбинациясы да сол жүйенің шешімі болады.
Дəлелдеуі. Берілген функциялардың нақты сандар өрісіндегі сызықты комбинациясын алайық:
ϕ( t ) =α ϕ1( t ) + ...+α ϕn( t ) |
(2) |
|
1 |
n |
|
Мұндағы, əрбір ϕi ( t ) функциясы үшін
dϕi ( t ) = P( t )ϕi ( t ), t a,b dt
тепе-теңдігі орындалады. Осыдан,
dϕ( t ) |
=α1 |
dϕ |
1 |
( t ) |
+...+αn |
dϕ |
n |
( t ) |
n |
|
|
= ∑αi P( t )ϕi ( t ) = |
|||||||
dt |
|
dt |
|
dt |
i=1 |
||||
n
= P( t )∑αiϕi ( t ) = P( t )ϕ( t ), t a,b
i=1
Теорема-2. Егер (1) жүйенің комплексты ϕ( t ) = u( t ) +iv( t ) шешімі бар болса, онда
оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдарына (1) жүйенің шешімін береді. Дəлелдеуі. Шарт бойынша
|
dϕ(t) |
= |
du(t) |
+i |
dv(t) |
= P(t)(u(t) +iv(t))= P(t)u(t) +iP(t)v(t) |
|
|
dt |
dt |
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Осыдан, |
|
du( t ) = P( t )u( t ), dv( t ) = P( t )v( t ), t a,b |
|
||||
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
Анықтама-1. Егер |
a,b аралығында анықталған ϕ1( t ),...,ϕn( t ) функциялары үшін бəрі |
||||||
бірдей нөлге тең емес α1 ,...,αn |
сандары табылып, |
|
|||||
|
|
|
α ϕ1( t ) +...+α ϕn( t ) =0, t a,b |
(4) |
|||
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
теңдігі орындалса, онда берілген функциялар жиыны a,b аралығында сызықты тəуелді деп аталынады, ал (4) теңдік α1 ,...,αn сандарының тек нөлдік мəндерінде ғана орындалса, онда берілген функциялар жиыны a,b аралығында сызықты тəуелсіз деп аталады.
Ескерту. Егер берілген функциялар жиыны a,b аралығында сызықты тəуелді болса, онда сол аралыққа жататын кез келген t0 a,b нүктесінде де тəуелді болады. Кері ұйғарым орындалмайды, өйткені бұл жағдайда α1 ,...,αn сандары t0 -ға тəуелді болады. Ал
егер берілген функциялар жиыны белгілі бір дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімдері болса, онда бір нүктедегі тəуелділік пен тəуелсіздік сəйкес аралықтағы тəуелділік пен тəуелсіздікке эквивалент.
Анықтама-2. Біртекті сызықты жүйенің a,b аралығында анықталған n сызықты
тəуелсіз шешімдер жиынын сол жүйенің осы аралықтағы базисі немесе фундаменталь шешімдер жүйесі деп атайды.
2.2. Айталық, ϕ1( t ),...,ϕn( t ) вектор-функциялары (1) жүйенің шешімдері болсын. Əрбір бағанасы осы векторлардың координаттарынан тұратын төмендегідей матрица құрайық:
ϕ |
11 |
( t ) ... |
ϕ |
1n |
( t ) |
|
|
|
|
|
(5) |
||
Φ( t ) = .......... |
|
.......... |
|
...... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn1( t ) ... |
ϕnn( t ) |
|
||||
Осы матрицаның анықтауышын Вронский анықтауышы немесе вронскиан деп атайды жəне оны W( t ) - деп белгілейді. Сонымен,
W( t ) =W [ϕ1( t ),...,ϕn( t )]= detΦ( t ) |
(6) |
Егер (5) матрицаның анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол матрица фундаменталь матрица деп аталынады.
Теорема-3. Егер ϕ1( t ),...,ϕn( t ) функциялары |
a,b аралығында сызықты тəуелді болса, |
|
онда осы аралықта олардың вронскианы нөлге тең болады. |
|
|
Дəлелдеуі. Анықтама бойынша |
|
|
α ϕ1( t ) + ...+α ϕn( t ) = 0 |
(7) |
|
1 |
n |
|
мұнда α1 ,...,αn сандарының бəрі бірдей нөл |
емес. Соңғы қатынасты |
координаттар |
бойынша ашып жазсақ, төмендегідей біртекті сызықты жүйе аламыз:
α1ϕ11( t ) + ...+αnϕ1n ( t ) = 0 |
|
|||
|
|
|
|
(8) |
.......... |
.............................. |
.. |
|
|
α ϕ |
( t ) + ... +α ϕ |
( t ) = 0 |
|
|
1 n1 |
n nn |
|
|
|
Бұл жүйенің нөлдік емес шешімі бар болу үшін оның анықтауышы нөлге тең болуы шарт,
яғни W( t ) =0, t a,b .