Диффур
.pdf
dx |
= |
dy |
. |
(10) |
|
X (x, y) |
Y (x, y) |
||||
|
|
|
Осы (10) теңдеуді де дифференциалдық теңдеудің симметриялық түрі деп атайды.
1.3. Жоғарыда келтірілген (5) дифференциалдық теңдеуге геометриялық түсініктеме беруге болады. Бұл теңдеудің шешімі ХОУ жазықтығындағы D облысында кейбір қисықты анықтайды. Осы D облысының кез келген бір (х0,у0) нүктесін алсақ, онда теңдеу
бойынша ол нүктеде |
dy |
|
( x |
,y |
|
) |
= f ( x |
, y ) теңдігін аламыз. Ал туындының геометриялық |
|
|
|||||||
|
dx |
|
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
мағынасы бойынша – белгілі бір нүктедегі туынды сол нүктеде функцияға жүргізілген жанаманың х осінің оң бағытымен жасайтын бұрыштың тангенсіне тең. Сондықтан əрбір нүктеге сол жанамамен бағыттас бірлік вектор сəйкес қойсақ, онда берілген дифференциалдық теңдеу D облысында векторлар өрісін анықтайды. Осы өрісті бағыттар өрісі деп атайды. Теңдеудің интегралдық қисығының D облысында жүргізуге болатын басқа қисықтардан бір айырмасы – оның кез келген нүктесіне жүргізілген жанаманың бағыты сол нүктедегі өріс бағытымен беттесіп жатуы. Демек, геометриялық тұрғыдан дифференциалдық теңдеуді интегралдау дегеніміз кез келген нүктесіне жүргізілген жанамасының бағыты осы нүктедегі өріс бағытымен беттесіп жататын қисықты табу болып саналады.
Егер теңдеудің оң жағы (х0,у0) нүктесінде 00 түріндегі анықталмағандық болса, онда
бұл нүктеде өріс анықталмаған деп есептеледі. Бірақ бұдан бұл нүктеге ұмтылатын |
|
интегралдық қисық болмайды деген ұғым тумауы керек. |
|
Берілген теңдеудегі f (x, y) |
функциясы үздіксіз болғандықтан, бағыттар өрісі де |
үздіксіз болады, яғни жақын жатқан нүктелердегі векторлардың бағыттары да бір-біріне жақын болады. Оның үстіне f (x, y) функциясы бірмəндес болғандықтан, ол теңдеудің
интегралдық қисықтары бірін бірі кесіп өтпейді, бірақ жанасуы мүмкін.
Барлық нүктесінде өрістің бағыты бірдей болатын сызықты дифференциалдық теңдеудің изоклинасы (біркелкі иілу сызығы) деп атайды. Бұл сызықтар
f ( x, y ) = K |
(11) |
теңдеуі арқылы анықталады.
1.4. Дифференциалдық теңдеудің шешімдері əдетте кез келген тұрақты санға байланысты болады. Сондықтан да дифференциалдық теңдеудің шешімдері шексіз жиын
құрайды. Мысалы, y′ = 2x теңдеуінің шешімін y = x2 +C түрде жазуға болады. Мұндағы,
С – кез келген тұрақты сан. Осы С санын өзгерте отырып, əртүрлі параболалар жиынын аламыз.
Практикалық есептерді шешкенде теңдеудің барлық шешімдерін табу емес, белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын шешімді табу талап етіледі. Осындай есептің бір түрі Коши есебі деп аталады. Ол былай қойылады: берілген (5) теңдеудің барлық шешімдерінің арасынан тəуелсіз айнымалының берілген x0 мəнінде берілген у0 мəнін
қабылдайтын, яғни
y( x0 ) = y0 |
(12) |
шартын қанағаттандыратын y = y(x) шешімін табу керек. Қысқаша бұл есепті былай жазады:
dy = f ( x, y ), y( x |
) = y |
(13) |
|
dx |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Мұндағы, x0 , y0 сандарын бастапқы мəндер, ал (12) теңдікті бастапқы шарт деп атайды.
Осыған байланысты Коши есебін бастапқы есеп дейді.
Коши есебіне геометриялық түсініктеме беруге болады: (5) теңдеудің барлық интегралдық қисықтарының ішінен белгілі бір M ( x0 , y0 ) нүктесі арқылы өтетінін табу
керек.
Егер (5) теңдеудегі тəуелсіз айнымалы x -ты уақыт деп есептесек, ал теңдеудің шешімі кейбір М нүктесінің қозғалыс заңын өрнектейді десек, онда Коши есебіне механикалық түсінік беруге де болады: барлық қозғалыстардың ішінен бастапқы уақытта белгілі бір қалыпта тұрған нүктенің кейінгі қозғалысын табу керек.
Коши есебінің мақсаты берілген шартты қанағаттандыратын бір шешімді табу болғандықтан, ол есептің шешімі қай кезде бар жəне жалғыз болады деген сұрақтың тууы орынды. Бұл сұраққа жауап беретін теоремаларды келесі бір бөлімде келтіреміз.
Жоғарыда айтылғандай, дифференциалдық теңдеуді интегралдау нəтижесінде кез келген тұрақты саннан тəуелді функция аламыз:
y =ϕ( x,C ) |
(14) |
Мұндай шешімдер жиынтығын жалпы шешім деп атайды. Жалпы алғанда (14) қатынастан кез келген Коши есебінің шешімін таба аламыз. Ол үшін бастапқы мəндерге сəйкес келетін С санын табу керек болады. Осы мақсатпен жалпы шешімнің төмендегідей анықтамасы қабылданған.
Анықтама-2. Айталық, D R2 облысы (5) теңдеудің Коши есебі шешімінің жалғыздық шарты орындалатын облыс болсын. Өзінің аргументтерінің кейбір облысында анықталған жəне х бойынша үздіксіз дифференциалданатын (14) функция (5) теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:
1) D облысында (14) теңдік С саны бойынша шешілсе, яғни
C =ψ( x, y ) |
(15) |
2) тұрақты санның (15) өрнекпен анықталған кез келген мəнінде (14) функция (5) теңдеудің шешімі болса.
Бұл анықтамадан Коши есебінің кез келген бастапқы мəнді қанағаттандыратын шешімін табуға болады. Шынында да, жалпы шешім (14) өрнекке бастапқы x0 жəне
y0 сандарын қойсақ, онда
y0 =ϕ( x0 |
,C ) |
|
теңдігін аламыз. Анықтама бойынша бұл |
өрнек С саны бойынша |
шешіледі: |
C =ψ( x0 , y0 ) ≡ C0 . Осы табылған мəнді бастапқы (14) қатынасқа қойсақ, |
|
|
y =ϕ( x,C0 |
) |
|
өрнегін аламыз. Бұл іздеген шешіміміз болады. |
|
|
Егер (14) өрнектің орнына мынадай қатынасты |
(16) |
|
y =ϕ( x,x0 , y0 ) |
||
алсақ, мұндағы x0 - берілген тұрақты сан деп, ал y0 -ты кез келген сан деп ұйғарсақ, онда
(16) қатынасты Коши түріндегі жалпы шешім деп атайды.
Кез келген нүктесінде Коши есебінің жалғыздық шарты орындалатын шешім дербес шешім деп аталады да, кез келген нүктесінде жалғыздық шарты орындалмайтын шешім ерекше шешім деп аталады. Ерекше шешімнің кез келген нүктесі арқылы кем дегенде екі шешім өтеді. Дербес жəне ерекше шешімдерді басқаша да анықтауға болады: жалпы шешімдегі кез келген тұрақты С санының белгілі бір мəніндегі шешімді дербес шешім деп, ал сол санның кез келген шектелген немесе шексіз мəндерінде алынбайтын шешімді ерекше шешім деп атайды.
Дифференциалдық теңдеуді интегралдағандағы жалпы шешім айқындалмаған түрде алынатын болса, яғни
Φ( x, y,C ) =0 |
(17) |
түрінде берілсе, онда осы (17) өрнекті теңдеудің жалпы интегралы деп атайды. |
|
Егер соңғы қатынас |
(18) |
ψ( x, y ) = C |
түрінде берілсе, ондағы ψ( x, y ) функциясы теңдеудің интегралы деп аталады да, (18) қатынас теңдеудің бірінші интегралы деп аталады. Осындағы ψ( x, y ) функциясының бір
қасиетін айта кету керек: белгісіз у-тің орнына берілген (5) теңдеудің кез келген шешімін қойғанда ол тұрақты санға айналады. Əдетте, интегралды осы қасиет бойынша да анықтайды: D облысында анықталған жəне дифференциалданатын, тұрақтыға өздігінен келтірілмейтін, ал (5) теңдеудің кез келген шешімінің бойымен алынғанда тұрақты санға тепе-тең ψ( x, y ) функциясын (5) теңдеудің интегралы деп атайды.
Кейде дифференциалдық |
теңдеудің |
интегралының |
басқаша анықтамасы |
да |
|||||||||||||
қолданылады: ψ( x, y ) функциясы берілген (5) |
теңдеудің интегралы деп аталады, |
егер |
|||||||||||||||
оның осы теңдеу бойынша алынған толық дифференциалы нөлге тең болса, яғни |
|
||||||||||||||||
dψ |
|
( 5 ) = |
∂ψ |
dx + |
∂ψ |
dy |
|
( 5 ) = |
∂ψ |
dx + |
∂ψ |
f ( x, y )dx =0 |
(19) |
||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|||||
Бұл анықтамалар бір-біріне мағыналас түсініктер. Сондықтан оларды алмастырып қолдана беруге болады.
Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер
2.1. Берілген теңдеудің шешімін сол теңдеуге кіретін функциялар жəне олардың интегралы түрінде өрнектеуді теңдеуді квадратура арқылы интегралдау деп атайды. Бұл параграфта кейбір оңай интегралданатын теңдеулердің түрлерін келтірейік.
10. Теңдеудің оң жағы белгісіз функцияға тəуелсіз:
dy |
= f ( x ) |
(1) |
dx |
|
|
Мұнда f(x) функциясы берілген, <a,b> аралығында үздіксіз деп есептелінеді. Бұл теңдеудің жалпы шешімін табу үшін одан анықталмаған интеграл алсақ жеткілікті:
y = ∫ f ( x )dx + C |
(2) |
Бұл өрнек Коши түрінде былай жазылады: |
|
x |
(3) |
y = ∫ f ( x )dx + y0 |
|
x0 |
|
Мұнда х0 – берілген сан деп, у0 – кез келген сан деп есептелінеді. |
|
20. Теңдеудің оң жағы белгісіз функцияға ғана тəуелді: |
|
dy = f ( y ) |
(4) |
dx |
|
Мұнда f(y) функциясы кейбір <с,d> аралығында үздіксіз деп есептелінеді жəне осы аралықта нөлге айналмасын. Онда бұл теңдеуді аударып жазуға болады:
dx |
= |
1 |
(5) |
|
dy |
f ( y ) |
|||
|
|
Соңғы теңдеудің жалпы шешімін табу үшін оның екі жағын dy-ке көбейтіп, анықталмаған интеграл алсақ жеткілікті:
x = ∫ |
|
|
dy |
+ C |
(6) |
|
|
f ( y ) |
|||||
|
|
|
|
|
||
немесе Коши түрінде: |
|
|
|
|
|
|
y |
|
dy |
|
|
(7) |
|
x = ∫ |
|
|
+ x0 |
|||
|
f ( y ) |
|||||
y0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Мұнда у0 – тұрақты сан деп, ал х0 – кез келген сан деп есептелінеді. |
|
30. Жоғарыда келтірілген теңдеулер айнымалылары ажырайтын теңдеулер қатарына |
|
жатады. Мұндай теңдеулердің жалпы түрі былай жазылады: |
(8) |
f1( x ) f2( y )dx + f3( x ) f4 ( y )dy =0 |
|
Осы теңдеуде f2(y) жəне f3(x) функциялары берілген облыста нөлге тең болмаса, онда теңдеудің екі жағын f2(y)·f3(x) көбейтіндісіне бөлсек, мынандай қатынас аламыз:
f1( x ) |
dx + |
f4 ( y ) |
dy =0 |
(9) |
|
|
|||
f3( x ) |
f2 ( y ) |
|
||
Бұл келтіру айнымалыларды ажырату тəсілі деп аталады. Жалпы, айнымалыларды ажырату деп dx-тың алдында тек х-қа тəуелді, ал dy-тың алдында тек у-ке тəуелді функциялардың тұруын қамтамасыз етуді айтады.
Соңғы теңдеудің жалпы шешімін табу үшін екі жағынан анықтaлмaған интеграл алсақ жеткілікті:
∫ |
|
f1( x ) |
dx + |
∫ |
|
f4 |
( y ) |
dy = C |
(10) |
||||||
|
|
|
f2 |
|
|||||||||||
немесе Коши түрінде: |
|
f3( x ) |
|
|
|
( y ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
f |
( x ) |
|
|
f |
4 |
( y ) |
|
(11) |
|||||
∫ |
|
1 |
|
|
dx + |
∫ |
|
|
|
|
|
dy =0 |
|||
|
|
|
|
f |
2( y ) |
||||||||||
x |
|
f3( x ) |
y |
0 |
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
40. Айнымалылары ажырайтын теңдеулер қатарына басқа да теңдеулерді жатқызуға болады. Олар кейбір алмастырулар арқылы оңай интегралданады. Солардың бірі:
|
dy |
= f ( ax + by ) |
(12) |
|
dx |
||
|
|
|
|
түріндегі теңдеулердің z = ax + by алмастыруы арқылы айнымалылары |
оңай бөлінеді. |
||
Шынында да, соңғы алмастырудан туынды тауып, теңдеуге қоятын болсақ, мынандай қатынастар аламыз:
dxdz = a + b dydx
немесе
dxdz = a +bf ( z )
Соңғы қатынастан:
dz |
= dx , |
a +bf ( z ) |
яғни айнымалылар бөлінді. Осыдан интеграл алсақ, онда жалпы интегралды мына түрде жазуға болады:
x = ∫ |
dz |
|
+ C |
(13) |
|
a + bf |
(z) |
||||
|
|
|
50. Екінші бір келетін теңдеулер түрі – біртекті теңдеулер. Əдетте, біртекті теңдеу деп берілген теңдеудің оң жағындағы f ( x, y ) функциясы кез келген s саны үшін
f ( sx,sy ) = sm f ( x, y ) |
(14) |
теңдігін қанағаттандыратын жағдайды айтады. Мұнда m-cаны біртектіліктің дəрежесі деп аталады.
Егер |
s = |
1 |
деп алсақ, онда f ( sx,sy ) = f ( 1, |
y |
|
) =ϕ( |
y |
) болады да, теңдеуді былай жазуға |
|||||
x |
x |
x |
|||||||||||
болады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dy |
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
||
|
|
|
= f ( 1, |
) =ϕ( |
) |
(15) |
|||||||
|
|
|
dx |
x |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Мұндай теңдеулердің z = xy алмастыруы арқылы айнымалыларын бөлуге болады:
y = zx, dydx = z + x dxdz
Осыдан
x dxdz =ϕ( z ) − z
теңдеуін аламыз. Егер ϕ( z ) − z ≠ 0 , онда
dz |
= dx |
ϕ( z ) − z |
x |
Бұдан интегралдау арқылы
|
dz |
|
|
||||
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
= ln |
x |
+ lnC |
||
ϕ( z ) − z |
|||||||
|
|
|
|
||||
өрнегін аламыз. Логарифмсіз жазатын болсақ, онда |
|
||||||
|
Cx = e∫ |
|
dz |
|
|||
|
ϕ( z )−z |
|
(16) |
||||
түріндегі қатынасты аламыз. Соңғы интегралдың алғашқы функциясы айқындалса, ондағы
z –тың орнына |
y |
өрнегі қойылуы керек. |
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60. Мына түрдегі теңдеулер |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
= f ( |
a1x +b1 y +c1 |
) |
(17) |
|||
|
|
dx |
|
||||||
|
|
|
a |
2 |
x +b y + c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
біртекті теңдеуге келтірілетін теңдеулер деп есептелінеді. Мұнда алдымен c1 жəне c2 сандарынан құтылуға болады. Ол үшін екі түзудің
a1x +b1 y +c1 =0a2 x +b2 y +c2 =0
қиылысу нүктелерін тауып, координат жүйесінің бас нүктесін сол нүктеге көшіру керек. Айталық, (α,β ) осы екі түзудің қиылысу нүктесі болсын. Бұл жағдайда
u = y − β,ν = x −α
алмастыруларын енгізсек, онда берілген теңдеу біртекті теңдеуге келеді:
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||
du |
|
|
a v +b u |
a1 |
+b1 |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
||||||
|
v |
|
|
|
||||||||||||||||
dv |
= |
f |
1 |
1 |
|
= f |
|
|
|
= ϕ |
|
|
|
(18) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
v +b u |
|
|
|
u |
v |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
a2 |
+b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||
Бұл теңдеу алдындағы теңдеу сияқты, |
|
u = tv |
алмастыруы арқылы оңай |
|||||||||||||||||
интегралданады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
b1 |
|
||
Егер жоғарыда көрсетілген екі түзу қиылыспаса, онда |
= |
қатынасы орындалады |
||||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
да, бұл жағдайда z = a1x +b1 y алмастыруы арқылы теңдеудің айнымалылары оңай бөлінеді.
2-ЛЕКЦИЯ. Біртекті теңдеулер. Бірінші ретті сызықты теңдеулер. Толық дифференциалды теңдеулер.
Лекция мақсаты: Біртекті сызықты теңдеулер мен біртексіз сызықты теңдеулерді интегралдау əдісімен таныстыру. Толық дифференциалды теңдеуді интегралдау.
Негізгі сөздер: Біртектілік, біртексіздік, Эйлер əдісі, вариациялау, интегралдық көбейткіш.
Қысқаша мазмұны Бірінші ретті сызықты теңдеулер
3.1. Белгісіз функция мен оның туындысы сызықты түрде, яғни бірінші дəрежеде байланысқан теңдеуді сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды. Сызықты теңдеудің келтірілген түрін қарастырайық:
y′+ p( x )y = q( x ) |
(1) |
Мұнда p(x), q(x) функциялары кейбір <a,b> аралығында анықталған жəне үздіксіз деп есептелінеді. Егер q(x)≠0 болса, онда (1) теңдеуді біртексіз сызықты теңдеу деп, ал q(x)=0 болса, онда біртекті сызықты теңдеу деп атайды:
y′+ p( x )y = 0 |
(2) |
Көбінесе (2) теңдеуді (1) теңдеудің сəйкес біртектісі деп атайды.
Біртекті (2) теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Екі жағын у-ке бөліп, мынандай теңдеу аламыз:
dyy + p( x )dx = 0
Осы қатынасты интегралдасақ:
ln | y | +∫ p( x )dx = lnC
өрнегін аламыз. Логарифмсіз жазсақ,
y = Ce−∫ p( x)dx |
(3) |
түріндегі (2) теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Егер y=0 жағдайды қарастырсақ, ол осы жалпы шешімнің С=0 болғандағы мəніне сəйкес келетін шешім. Сондықтан y=0 – дербес шешім. Оны нөлдік немесе тривиaл шешім деп те атайды жəне ол барлық уақытта бар шешім.
Біртекті (2) теңдеудің (3) жалпы шешімін Коши түрінде жазсақ, былай жазылады:
x |
|
− ∫ p( x)dx |
|
y = y0 e x0 |
(4) |
мұнда х0 -тұрақты сан, ал у0 – кез келген сан деп есептелінеді. Біртекті теңдеу шешімдерінің екі қасиетін атап өтейік:
10. Егер у1 жəне у2 функциялары (2) теңдеудің шешімдері болса, онда олардың қосындысы: у=у1+у2 функциясы да сол теңдеудің шешімі болады.
20. Егер у1 функциясы (2) теңдеудің шешімі болса, онда y = Cy1 функциясы да (С – кез келген сан) сол теңдеудің шешімі болады.
3.2. Енді берілген біртексіз (1) теңдеуге оралатын болсақ, оның жалпы шешімін табу үшін мынандай əдістерді қолдануға болады.
10. Тұрақты санды вариациялау əдісі (Лагранж əдісі).
Біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімін біртекті (2) теңдеудің жалпы шешімі – (3) түрде іздейміз, бірақ мұндағы С санын х-қа байланысты айнымалы функция деп есептейміз:
y = C(x)e−∫p( x)dx |
(5) |
|||
Осы функцияны (1) теңдеуге апарып қоялық: |
|
|||
dC e−∫ p( x )dx − p( x )C( x )e−∫ p( x )dx + p( x )C( x )e−∫ p( x )dx = q( x ) . |
|
|||
dx |
|
|
|
|
Бұдан |
|
|
|
|
dC |
= q( x )e∫ p( x )dx |
|
||
dx |
|
|
|
|
теңдеуін аламыз. Енді осы теңдеуді интегралдасақ, онда |
|
|||
C( x ) = C |
+ |
∫ |
q( x )e∫ p( x )dxdx |
(6) |
0 |
|
|
|
|
өрнегін аламыз. Мұнда С0 – кез келген тұрақты сан. Осы (6) өрнекті (5) қатынасқа апарып қойсақ, онда біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімін аламыз:
y = e−∫ p( x )dx [C0 |
+ ∫q( x )e∫ p( x )dx dx] |
(7) |
||||
Соңғы шешімді Коши түрінде жазсақ, онда мынандай өрнек аламыз: |
|
|||||
x |
|
|
x |
x |
|
|
− ∫ p( x )dx |
|
∫ p( x )dx |
|
|
||
y = e x0 |
y0 |
+ ∫q( x )ex0 |
dx |
(8) |
||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мұнда х0-тұрақты сан, ал у0 – кез келген сан деп есептейміз. 20. Бернулли əдісі.
Біртексіз (1)теңдеудің шешімін y=u(x)v(x) түрінде іздейміз. Сонда
du v |
+u dv + p( x )uv = q( x ) |
|
|
(9) |
|
dx |
du |
dx |
|
|
|
Мұндағы, u(x) функциясын біртекті |
+ p( x )u = 0 теңдеудің шешімі u |
= e |
−∫ p( x )dx |
түрінде |
|
dx |
|
||||
алсақ, онда (9) қатынастан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−∫ p( x )dx dv = q( x ) |
|
|
|
||
|
|
dx |
|
|
|
теңдеуін аламыз. Осыдан интегралдау арқылы |
|
|
|
||
v = C + ∫q( x )e∫ p( x )dxdx |
|
|
(10) |
||
болатынын көреміз. Мұнда С – тұрақты сан. Табылған u( x ) жəне v( x ) |
функцияларының |
||||
көбейтіндісі y(x) функциясын беретін болғандықтан, |
|
|
|
||
y( x ) = e−∫ p( x )dx [C + ∫q( x )e∫ p( x )dxdx], |
|
|
|
||
яғни жалпы шешім (7) түрге келеміз. |
|
|
|
|
|
30. Интегралдаушы көбейткіш əдісі (Эйлер əдісі). |
|
|
|
||
Берілген біртексіз (1) теңдеудің екі жағын e∫p( x)dx функциясына көбейтіп, ықшамдап жазатын болсақ, онда мынандай қатынас аламыз:
dxd ( ye∫ p( x )dx ) = q( x )e∫ p( x )dx .
Осы қатынасты интегрлдасақ:
ye∫ p( x )dx = ∫q( x )e∫ p( x )dxdx +C ,
ал бұдан
y = e−∫ p( x )dx [C + ∫q( x )e∫ p( x )dxdx].
Тағы да жалпы шешім – (7) түрге келдік.
Жалпы, белгілі бір теңдеудің шешімін іздегенде жоғарыда келтірілген əдістердің есептеу жолын қайталамай-ақ, дайын (7) өрнекті пайдалану керек.
3.3. Енді сызықты теңдеуге келтірілетін теңдеулерді қарастырайық. Мына түрдегі теңдеуді
y′+ p( x )y = q( x )yn |
(11) |
Бернулли теңдеуі деп атайды. Егер n=0, не n=1 болса, онда бұл теңдеу сызықты теңдеуге айналады. Сондықтан, n≠0,1 - жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайда
z = y1−n
алмастыруын енгізсек, мынандай теңдеу аламыз:
z′+( 1 −n )p( x )z =( 1 − n )q( x ) |
(12) |
Бұл сызықтық біртексіз теңдеу. Оның жалпы шешіміндегі z–тың орнына y1−n –ты қойсақ, Бернулли теңдеуінің жалпы шешімі алынады:
1 |
|
y = [e( n−1 )∫ p( x )dx( C +( 1 −n )∫q( x )e( 1−n )∫ p( x )dxdx )]1−n |
(13) |
Бернулли теңдеуіне кей жағдайларда келтірілетін теңдеудің біреуі Рикатти теңдеуі: |
|
y′ = p( x )y2 + q( x )y + z( x ) |
(14) |
Бұл теңдеу жалпы жағдайда тұйық түрде интегралданбайды, бірақ оның бір дербес
шешімі белгілі болса, онда ол Бернулли теңдеуіне келтіріледі. Айталық, |
y =ϕ( x ) (14) |
теңдеудің белгілі бір аралықтағы шешімі болсын. Рикатти теңдеуіне |
z = y −ϕ( x ) |
алмастыруын енгізсек, онда |
|
z′−[2 p( x )ϕ( x ) + q( x )]z = p( x )z2 |
(15) |
түріндегі Бернулли теңдеуін аламыз. Ал бұл теңдеуді өз кезегінде сызықты теңдеуге келетінін жоғарыда көрсеткенбіз.
Толық дифференциалды теңдеулер |
|
4.1. Симметриялық түрде берілген |
(1) |
M ( x, y )dx + N( x, y )dy =0 |
дифференциалдық теңдеудің сол жағы кейбір екі айнымалы u(x, y) функциясының толық дифференциалына тең болса, яғни
M (x, y)dx + N (x, y)dy = du(x, y) |
(2) |
онда (1) теңдеуді толық дифференциалды теңдеу деп атайды. Соңғы (2) теңдікті пайдалансақ, (1) теңдеуді былай жазуға болады:
du(x, y) = 0 |
(3) |
Бұдан |
(4) |
u(x, y) = C |
өрнегі (1) теңдеудің жалпы интегралы болатынын көреміз. Сондықтан осы u функциясын табу жолын келтірейік.
Əдетте, берілген теңдеудің толық дифференциалдылығын бірден байқау мүмкін емес. Сондықтан ондай жағдайды анықтайтын белгіні келтірейік.
Айталық, (1) теңдеудегі M ( x, y ) жəне N( x, y ) функциялары кейбір D облысында өзінің дербес туындылары ∂∂My жəне ∂∂Nx мен бірге үздіксіз функциялар болсын.
Теорема. Берілген (1) теңдеу толық дифференциалды теңдеу болу үшін бір байланысты D облысында
|
∂M |
≡ |
∂N |
|
|
(5) |
|
∂y |
∂x |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
тепе-теңдігінің орындалуы қажетті жəне жеткілікті. |
|
|
|
|||
Дəлелдеуі. Қажеттілігі. Айталық, (1) теңдеудің сол жағы кейбір u(x, y) |
функциясының |
|||||
толық дифференциалы болсын: |
|
|
∂u dx + |
∂u dy |
|
|
M (x, y)dx + N (x, y)dy = du = |
(6) |
|||||
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
Бұл тепе-теңдіктен мына қатынастарды аламыз:
∂u |
= M ( x, y ), |
∂u |
= N( x, y ) |
(7) |
∂x |
|
∂y |
|
|
Соңғы қатынастардың біріншісін у бойынша, екіншісін х бойынша дифференциалдасақ,
∂2u |
= |
∂M |
, |
∂2u |
= |
∂N |
(8) |
|
∂x∂y |
∂y |
∂y∂x |
∂x |
|||||
|
|
|
|
тепе-теңдіктері шығады. Шарт бойынша тепе-теңдіктердің оң жақтары үздіксіз. Ендеше, олардың сол жақтары да үздіксіз. Ал үздіксіз функцияның аралас дербес туындылары өзара тең болады да,
∂M ( x, y ) |
≡ |
∂N( x, y ) |
(9) |
∂y |
|
∂x |
|
тепе-теңдігі алынады.
Жеткіліктілігі. Айталық, (5) шарт орындалсын. Алдымен (7) қатынастардың біріншісін қанағаттандыратын u(x, y) функциясын іздейік. Сол бірінші қатынасты x бойынша
интегралдасақ, мынандай функция аламыз:
x |
|
u(x, y) = ∫M (x, y)dx +ϕ( y) , |
(10) |
x0
мұнда ϕ(y) – тек у-ке байланысты кез келген функция жəне ол үздіксіз дифференциалданатын функция болсын.
Енді осы ϕ(y) функциясын (7) қатынастардың екіншісі орындалaтындай етіп алайық, яғни
|
|
|
∂u |
|
∂ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫M (x, y)dx +ϕ( y) |
= N (x, y) |
(11) |
||
|
|
|
∂y |
∂y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
Бұл жерде мына теңдікті көрсете кетейік: |
|
x |
|
|
|||||||
|
∂ |
x |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ M ( x, y )dx = ∫ ∂∂My |
dx = ∫ |
∂∂Nx dx = N( x, y ) |
x |
= N( x, y ) − N( x0 |
, y ) |
|||||
|
∂y |
||||||||||
|
|
x |
x |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Сондықтан (11) қатынас былай жазылады: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= N( x, y ) |
|
||
немесе |
|
N( x, y ) − N( x0 , y ) +ϕ ( y ) |
|
||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
(12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Осыдан |
|
|
|
ϕ ( y) = N(x0 , y) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
ϕ( y ) = ∫N( x0 ,y )dy |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
Осы табылған ϕ(y) функциясын (10) өрнекке апарып қоятын болсақ, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
(14) |
|
|
|
|
u( x, y ) = ∫ |
M ( x, y )dx + ∫N( x0 , y )dy |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x0 |
y0 |
|
|
||
функциясын аламыз. Ал бұл функцияны кез келген С санына теңестірсек, онда берілген
(1) теңдеудің жалпы интегралын аламыз:
x |
y |
(15) |
∫ M ( x, y )dx + ∫N( x0 , y )dy = C |
||
x0 |
y0 |
|
Егер u(x, y) функциясын құруды (7) |
қатынастардың екіншісінен |
бастасақ, онда (1) |
теңдеудің жалпы интегралының түрі мынандай болады:
x |
y |
(16) |
∫ |
M ( x, y0 )dx + ∫N( x, y )dy = C |
|
x0 |
y0 |
|
Мысал-1. ( 2xy −1 )dx +( 3 y2 + x2 )dy =0 теңдеуінің жалпы интегралын табу керек болсын.
Шешуі: M ( x, y ) = 2xy −1, N( x, y ) = 3y2 + x2 ,
∂∂My = 2x, ∂∂Nx = 2x, яғни ∂∂My = ∂∂Nx .
Бұл теңдеу толық дифференциалды теңдеу. (15) өрнекті пайдаланып жалпы интегралды іздейміз. Мұнда x0 =0, y0 =0 деп алайық. Сонда:
x |
y |
∫( 2xy −1)dx + ∫( 3y2 + x02 )dy = C |
|
0 |
0 |
немесе
x2 y − x + y3 = C
4.2. Көп жағдайда берілген (1) теңдеу толық дифференциалды теңдеу бола бермейді. Бұл жағдайда теңдеуді қолайлы бір функцияға көбейту арқылы толық дифференциалды теңдеуге келтіруге болады. Егер ондай функция табылып жатса, оны интегралдаушы көбейткіш деп атайды. Интегралдаушы көбейткішке көбейткеннен əдепкі теңдеудің жалпы шешімі өзгермейді.
Интегралдаушы көбейткішті табу үшін (1) теңдеудің екі жағын белгісіз µ = µ( x, y ) ≠ 0 функциясына көбейтіп, мына теңдеуді аламыз:
µ( x, y )M ( x, y )dx + µ( x, y )N( x, y )dy =0 |
(17) |
Бұл теңдеу толық дифференциалды болу үшін жоғарыда көрсетілген қажетті шартты жазайық:
|
|
|
|
∂( µM ) = |
∂( µN ) . |
|
(18) |
||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
Бұл теңдікті ашып жазсақ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂µ |
M + µ |
∂M |
|
= |
∂µ |
N + |
µ |
∂N |
|
|||||
|
∂y |
∂y |
|
|
∂x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|||||||
немесе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂µ |
|
∂µ |
|
|
|
∂M |
|
∂N |
|
(19) |
|||
|
N |
− M |
|
|
|
− |
|
||||||||
|
∂x |
∂y |
= µ |
∂y |
∂x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
теңдігін аламыз. Бұл теңдеу – дербес туындылы дифференциалдық теңдеу. Оны шешу көп жағдайда (1) теңдеуді шешуден оңайға түспейді. Ол тек кейбір дербес жағдайларда ғана интегралданады.
Əдетте, интегралдық көбейткіш тек х-қа, не у-ке ғана байланысты түрде ізделінеді. Сондықтан дербес туындылы (19) теңдеу жəй дифференциалдық теңдеуге айналады да, оның шешімін табу оңайланады.
Жалпы, интегралдық көбейткішті іздеу жолы өз алдына бір мəселе. Оған біз тоқталмаймыз.
3-ЛЕКЦИЯ. Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер.
Лекция мақсаты: Параметр енгізу əдісімен таныстыру. Негізгі сөздер: Параметр, ерекше шешім, жалпы интеграл
Қысқаша мазмұны Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер
5.1. Туынды бойынша шешілмеген теңдеулердің жалпы түрін мынандай өрнекпен жазуға болады:
F( x, y, y / ) = 0 |
(1) |
мұндағы, F – кейбір G R3 облысында анықталған үздіксіз функция. |
|
Анықтама-1. a,b аралығында анықталған y =ϕ( x ) |
функциясы (1) теңдеудің шешімі |
деп аталады, егер мынандай үш шарт орындалса:
1)ϕ(x) функциясы a,b аралығының барлық нүктесінде дифференциалданатын болса,
2)( x, ϕ( x ), ϕ′( x )) G, x < a, b >
3) F( x, ϕ( x ), ϕ' ( x )) =0, x < a, b >
Туынды бойынша шешілген теңдеу сияқты, туынды бойынша шешілмеген теңдеу де ХОУ жазықтығында бағыттар өрісін айқындайды. Бірақ, бұл өріс жалғыз болмауы мүмкін. Себебі, (1) теңдеуді у′ бойынша шешкенде оның бірнеше түбірлері болуы мүмкін: yi′ = fi( x, y ) . Жалпы жағдайда, (1) теңдеуді у′бойынша шешу мүмкін бола бермейді. Бірақ,
басқа айнымалылары бойынша шешілуі мүмкін. Мұндай жағдайда параметр енгізу əдісін қолданады.
Айталық, (1) теңдеу у бойынша шешілген делік: y = f ( x, y′) . Бұл жағдайда |
y′ = p |
параметрін енгізу арқылы |
(2) |
y = f ( x, p ) |
теңдеуін аламыз. Осы қатынастан толық дифференциал алып, алмастырудағы |
dy = pdx |
|
байланысын ескерсек, онда мынандай теңдеу аламыз: |
|
|
pdx = ∂f ( x, p ) dx + |
∂f ( x, p ) dp |
(3) |
∂x |
∂p |
|
немесе |
|
(4) |
M ( x, p )dx + N( x, p )dp =0 |
||