1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.;

6. ; 7.;

8. ; 9.; 10..

Таблица неопределенных интегралов.

1.	8.	15.
2.	9.	16.
3.	10.	17.
4.	11.	18.
5.	12.	19.
6.	13.	20.
7.	14.	21.

Пример: 1. Найти интеграл:

Здесь применили свойства № 4 и №5 (т.е. интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов; и постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла), а также формулы таблицы № 10, № 2, № 4, №5 и №13.

3. Вычислить интеграл:

Здесь применили свойства № 6 и № 7 (т.е. интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов; и постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла), формулы таблицы № 4 и № 3, а также определение определённого интеграла.

Задания для решения.

1. Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.;

10. ; 11.; 12.; 13.;

14. ; 15.; 16.; 17.;

18. ; 19.; 20.; 21.;

22. ; 23.; 24..

2. Вычислить определённый интеграл:

1. ; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.; 10.;

11. ; 12.; 13.; 14.;

15. ; 16.; 17.; 18.; 19..

Дополнительные задания.

1. Рассчитать неопределённый интеграл:

1. ; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;

7. ; 8.;9. ;

10. ; 11.; 12.; 13.;

14. ; 15.; 16.; 17.;

18. ;19. ; 20. .

2. Вычислить определённый интеграл:

1. ; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;

7. ; 8.;9. ; 10. ;

11. ; 12.; 13.; 14.;

15. ; 16.; 17.; 18.;19. .

Варианты заданий

Выбор варианта осуществляется в соответствии с порядковым номером в списке журнала. Первая цифра относится к первому заданию, а вторая – ко второму.

	0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.
0.		1,17	13,16	9,19	6,15	4,18	18,7	3,7	12,7	14,11
1.	12,4	13,8	1,4	5,7	17,8	8,2	19,3	1,13	12,3	3,2
2.	4,7	15,12	6,17	7,3	8,10	9,2	20,13	2,15	13,9	14,4
3.	5,6	6,14	7,9	8,5	9,7	11,12	2,6	3,11	4,6	5,3
4.	16,5	10,2	4,5	20,1	6,10	9,5	7,7	5,10	8,4	10,10

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение первообразной, неопределенного интеграла, определенного интеграла.

2. Назовите свойства интегралов.

Инструкционная карта № 5.

Практическое занятие № 5 по теме «Дифференциальные уравнения».

Тема: Решение дифференциальных уравнений.

Краткая теория темы.

Опр. Уравнения, в которых неизвестными являются функции и в которые входят не только сами функции, но и их производные, называется дифференциальными уравнениями.

Опр. Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. В общем виде оно записывается так: (1), где- искомая неизвестная функция,- её производная по х, а- заданная функция переменных.

Опр. Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция , которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение вместо(при этом вместоподставляется) обращает уравнение (1) в тождество.

Опр. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция , которая при каждом фиксированном значениикак функция отявляется решением уравнения (1).

Опр. Дифференциальные уравнения вида , гдеи- заданные функции, называется уравнением первого порядка с отделенными переменными.

План решения дифференциальных уравнений первого порядка с отделенными переменными.

1. Заменяем производную через дифференциалы, т.е., получим;

2. Умножаем обе части уравнения на , получим, здесь первое слагаемоезависит только от, а второе- только от, следовательно переменные отделены;

3. Когда переменные отделены, интегрируем уравнение, т.е. , находим интегралы по таблице, получим;

4. Решаем последнее уравнение относительно , получим общее решение:.

Пример: 1. Решить уравнение:

1) ,;

2) ;

3) ,;

4) - общее решение уравнения.

2. Решить уравнение:

1) ,;

2) ;

3) ,;

4) , по определению логарифма- общее решение уравнения.

Опр. Дифференциальные уравнения вида , где- заданные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

План решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

1. Заменяем производную через дифференциалы, т.е., получим;

2. Умножаем обе части уравнения на , получим, в первом слагаемом кроме множителей, содержащих переменную, имеются множители с переменной, а во втором – кроме множителей, содержащих переменную, имеются множители с переменной, нам нужно избавиться от этих «мешающих» множителей. Поэтому поделим обе части данного уравнения на произведение этих множителей, т.е. поделим на, получим:- получили уравнение с отделенными переменными;

3. Когда переменные отделены, интегрируем уравнение, т.е. , находим интегралы по таблице, получим;

4. Решаем последнее уравнение относительно , получим общее решение:.

Пример: Решить уравнение:

1) ,;

2) , разделим на, получим;

3) ,, применим свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения, получим;

4) , по определению логарифма , - общее решение уравнения.

Опр. Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция, её первая и вторая производные, то это уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде оно записывается так: (2), где- искомая неизвестная функция,- её первая производная по х,- её вторая производная, а- заданная функция переменных.

Опр. Решением дифференциального уравнения (2) называется такая функция, которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение вместо(при этом вместоподставляются соответственно) обращает уравнение (2) в тождество.