Ширина уровней энергии. Ширина и форма спектральных линий

1. Вспомним соотношение неопределенностей. Если под величиной Δt = τ понимать среднее время жизни атома в возбужден­ном состоянии, то ΔE имеет смысл неопределенности значения энергии этого состояния. В основном состоя­нии атом может находиться без внеш­них воздействий бесконечно долгое время: Δt = ∞ Тогда ΔE = 0, т.е. в основном состоянии энергия атома является строго определенной величиной. Однако каждый возбужден­ный уровень энергии имеет конечную ширину, которая определяется време­нем жизни атома в этом состоянии. Но тогда и спектральная линия излу­чающего атома не является строго монохроматической, а имеет конечную ширину (рис. 8 ).

Р и с. 8

Ширина спектральной линии определяется шириной уровней энергии, между которыми происходит переход. Обычно ширина уровней энергии очень мала. Например, для оптических переходов

Так же мала относительная неопределенность в частоте или длине волны излучения:

Ширина спектральной линии, обусловленная конечным временем жизни атома в возбужденных состояниях, называется естественной шириной.

2. Интенсивность излучения атома уменьшается со временем по закону . Вследствие конечного времени жизни атома частота линии излучения оказывается "размазанной" в интервале Δω соглас­но . Это означает, что интенсивность излучения зависит от частоты. Зависимость интенсивности излучения от частоты определя­ет форму спектральной линии. Для нахождения формы спектральной ли­нии будем пользоваться полуклассическими рассуждениями, которые приводят к тем же результатам, что и строгий квантово–механический расчет.

Мы видели, что основным типом излучения атома является элек­трическое дипольное излучение. Это позволяет использовать модель атома в виде колеблющегося диполя. Если бы колебания дипо­ля продолжались бесконечно дол­го, то излучение диполя было бы монохроматическим с частотой ω₀.

Р и с. 9

Так как излучение атома происходит в течение конечного времени жизни τ, то естественно исполь­зовать модель диполя, совершающего затухающие колебания (рис.9). Затухание колебаний является слабым, поскольку частота излучения атома достаточно велика: . Итак, будем считать, что диполь колеблется с моментаt= 0 с частотой ω₀, но колебания являются затухающими, т.е.

Здесь используется комплексная форма записи колебаний. Эта форму­ла отражает зависимость интенсивности излучения по закону Рассмотрим спектральное разложение колебаний диполя , поль­зуясь преобразованием Фурье. Спектр Фурье d(ω) функцииd(t) определяется формулой:

Интенсивность излучения на частоте ω пропорциональна, т.е.

Отсюда следует, что форма спектральной линии описывается функцией

Функцию g(ω) называютформ–факторомспектральной линии, или формой линии. Она имеет вид кривой Лоренца (рис.10). Форм–фактор нормируют таким образом, чтобы

Лоренцева кривая имеет острый максимум при ω = ω₀, и быстро спадает с удалением от частоты ω₀. Ширина лоренцевой кривой определяется по половине ее максимального значения. Нетрудно ви­деть, что τΔω = 1. Это соответствует (). Если излучение воз­никает при переходе между возбужденными уровнями энергииE_mиE_n, то под величиной 1/τ понимают сумму, где τ_m, τ_n–времена жизни уровнейE_mE_n, соответственно. Такимобразом, естественное уширение спектральной линии, обусловленное конечным вре­менем жизни атома в возбужденном состоянии, описывается кривой Лоренца. Она отражает наименьшую "размытость" спектральной линии. При этом уширенными являются как линии излучения, так и линии по­глощения. Однако далеко не всегда наблюдаемая на опыте ширина спек­тральной линии совпадает с естественной шириной.

Р и с.10

Уширение спектральных линий вызывают различные процессы, приводя­щие к уменьшению времени жизни атома. Обычно это уширение значи­тельно перекрывает естественную ширину.

3. Естественная ширина характеризует излучение отдельного и неподвижного атома. Если же атомы образуют газ, находящийся при температуре Т и давлении Р, то каждый атом совершает тепловое дви­жение. В этом случае частота излучения ω атома, движущегося в направлении наблюдателя со скоростью v, смещается из–за эффекта Допплера

где ω₀ – частота излучения неподвижного атома. Форма линии излучения газа атомов будет определяться одномерной функцией распределения по скоростям f(v). При нормировке функции распределения на единицу с учетом условия можно положить

Учитывая , отсюда находим форс–фактор спектральной линии газа атомов

Допустим, что распределение атомов по скоростям является максвелловским, т.е.

где – скорость теплового движения атомов,M– масса атома. Тогда форм–фактор описывается гауссовой кривой

Параметропределяет ширину спектральной линии при допплеровском уширении.

4. Уширение спектральной линии происходит также вследствие столкновений между атомами. Из элементарной кинетической теории газов следует, что время между двумя последовательными столкновениями частиц – время свободного пробега – определяется формулой

где σ – эффективное сечение столкновений, N – число атомов в единице объема, v_T – средняя скорость теплового движения ато­мов. Предполагается, что при каждом столкновении процесс излуче­ния прерывается. В этом случае величину τ_c можно считать эффек­тивным временем жизни атома в возбужденном состоянии. Тогда шири­на спектральной линии равна

Для оценок можно принять:σ ≈ π(2a)², где a – характерный размер, атома: N = P/(kT), где P – давление газа. Следовательно, ширина спектральной линии, обусловленная столкновениями между ато­мами, описывается формулой

При малом давлении газа роль уширения из–за столкновений стано­вится более слабой, чем допплеровское уширение, которое главным образом и определяет ширину спектральных линий газа излучающих атомов.

5. Измерение времени жизни атома в возбужденном состоянии проводится различными методами. Существуют прямыеикосвенные методы. Прямыми методами непосредственно измеряется время жизни по наблюдению затухания интенсивности излучения в соответствии с формулой . Таким образом можно измерять время жизни сравнительно долго живущих возбужденных уровней энер­гии порядка 10^-6с. Точность таких измерений сравнительно невы­сока. Косвенные методы основаны, главным образом, на измерении времени жизни по кривым погло­щения.