Магнитные свойства атомов. Магнитомеханические эффекты. Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона

1. По представлениям теории Бора электрон обращается вокруг

ядра по стационарной круговой (или эллиптической) орбите (рис. 1 ).

Р и с. 1

С таким орбитальным движением электрона можно связать кольцевой ток, характеризую­щийся силой тока , гдеe – за­ряд электрона, T = 2π/ω – период его об­ращения вокруг ядра. Кольцевому току отвеча­ет магнитный момент:

где S = πr² – площадь орбиты электрона, v=ωr – линейная скорость, m_e – масса электрона. Поскольку , то величинаrm_ev представляет собой момент импульса орбитального движения электрона. Если орбита находится в плоскости x,y, то rm_ev есть z-я компонента вектора момента импульса l_z. Таким обра­зом, величина М в формуле также должна иметь смысл z-й компоненты вектора магнитного момента. Другими словами, получаем соотношение

или, в в векторной форме

Эти соотношения показывают, что магнитный момент и момент импульса орбитального движения пропорциональны друг другу. Коэф­фициент пропорциональности

называют гиромагнитным отношением. Гиромагнитным отноше-нием назы­вают также безразмерную величину

В случае орбитального движения электрона величина g = 1.

2. Взаимосвязь механического и магнитного моментов атома приводит к ряду физических эффектов, которые называются магнито–механическими. Суть этих эффектов состоит в том, что если, напри­мер, изменить направление намагничивания образца, то образец, как целое, должен приобрести определенный момент импульса, и наоборот. Первые опыты по обнаружению магнитомеханических эффектов были про­ведены Эйнштейном и де Гаазом, а также Барнетом, которые ставили задачу определения гиромагнитного отношения. Опыт Эйнштейна и де Гааза заключался в следующем: цилиндрический образец из ферромагнитного вещества подвешивался на тонкой кварцевой нити внутри проволочной катушки (рис.2). При пропускании тока через катушку образец намагничивается, т.е. его элементарные магнитики ориентируются вдоль магнитного поля. Если быстро поменять направление тока, то стерженек должен перемагнититься.

Р и с. 2

Это значит, что суммар­ный магнитный момент атомов должен измениться на величину, где– изменение суммарного механического момента импульса ато­мов. Так как момент силы, действующей на образец в магнитном поле, в данном случае равен нулю, то полный момент импульса, состоящий из момента импульса атомови момента импульса образ­ца как целого, должен сохраняться:. Отсюда следует, что. Следовательно,. Таким образом, при перемагничивании образца он начинает вращаться, при этом нить закручивается. ЕслиJ– момент инерции стержня, ω – частота его вращения, то, при этом кинетическая энергия вращения образца переходит в потенциальную энергию закрученной ни­ти:

, где – модуль кручения нити, φ – ее угол отклонения; ω₀ – частота собственных колебаний стержня. Из выписанных формул получаем . Все величины в пра­ вой части измеряются на опыте, так что можно вычислить гиромагнитное отношение. В действительности угол φ оказывается очень малым. Чтобы увеличить его, пользуются многократными последовательными перемагничиваниями образца с частотой, равной частоте его собствен­ных колебаний. Эксперименты показали, что вместо ожидаемогозначения g = 1 величина g = 2. Это было совершенно непонятно, пока не было обнаружено новое свойство электронов – спин.

Опыт Барнета в противоположность опытам Эйнштейна – де Гааза демонстрирует эффект намагничивания образ­ца вследствие его быстрого вращения. Также было показано, что гиромагнитное отношение g = 2.

3. Согласно квантовой механике проекции вектора момента импульса принимают значения . Поэтому проекции векто­ра магнитного момента также являются квантованными

Отсюда видно, что существует "квант магнитного момента"

Эта величина, составленная из универсальных констант, называется магнетоном Бора (по предложению Паули, 1920). Из формулы становится понятным название числа m как магнитного квантового числа – оно определяет проекции магнитного момента на выделенную ось.

Согласно квантовые свойства вектора магнитного момента такие же, как свойства вектора момента импульса, т.е. одновременно существуют лишь величина вектора магнитного момента и одна из его проекций на выделенную ось. Другими словами, для магнитного момента справедлива та же картина пространственного квантования, что и для момента импульса. Эти представления о пространственном квантовании проверялись в эксперименте Штерном и Герлахом в I921–I922 г.г. Идея их опыта заключалась в следующем. Чтобы выя­вить пространственную ориентацию магнитного момента атома, необхо­димо использовать внешнее магнитное поле. Оно не должно быть одно­родным, так как в этом случае результирующая сила, действующая на магнитный момент, равна нулю. В неоднородном магнитном поле с ин­дукцией на магнитный момент действует сила

Величина этой силы зависит от угла между магнитным моментом и градиентом магнитного поля. Следовательно, при прохождении сквозь такое поле пучок атомов будет отклоняться. Если выбрать направле­ние магнитного поля за ось z , т.е. считать, что , то в этом направлении на магнитный момент действует сила

По классической терминологии магнитный момент будет прецессировать вокруг направления магнитного поля, описывая конус с осью вдоль z. В этом случае проекции M_x, M_y периодически изменяются со временем с частотой прецессии. Их средние значения по времени обращаются в нуль. Поэтому при движении пучка атомов перпендикулярно магнитному полю на них будет действовать в направлении поля усредненная сила

Величина отклонения атомов, определяемая этой усредненной силой,

зависит от возможных значений проекции магнитного момента M_z. По классическим представлениям эти значения непрерывно рас­пределены в интервале от до. В этом случае пучок атомов после прохождения неоднородного магнитного поля должен ока­заться размытым (рис.3a)

Р и с. 3

Если же магнитные моменты атомов имеют определенные направления в пространстве, то пучок должен расщепиться на несколько частей (рис.3б). Осуществление эксперимента было связано с рядом трудностей. Прежде всего необходимо было иметь сильно неоднородное магнитное поле. Его характерный масштаб неоднородности должен быть сравним с атомными размерами. С этой целью использовался электромагнит с полюсами, изображенными на рис.4. Вблизи нижнего лезвиеобраз­ного полюса и сразу над ним магнитное поле имеет наибольшую величину, а направлениесовпадает с направлением.

Атом с массой m_a, движущийся параллельно лезвию непосредствен­но над ним, под действием средней силы приобретает уско­рениев направле­нии градиента, кото­рый перпендикулярен направле­нию движения атома. Если атом проходит область маг­нитного поля за время t, то он отклоняется от первоначаль­ного направления на величину . Время прохожде-ния атомом равноt=b/v , где b – длина магнитных полюсов, v– средняя скорость движения атома.

Р и с. 4 Р и с. 5

Таким образом, величину отклонения атома в неоднород-ном магнитном поле можно оценить по формуле

.

По предварительным оценкам ожидаемое отклонение атомов должно быть около 0,01 мм. Измеряя на опыте это отклонение и зная другие ве­личины, из можно определить величину М_z. Ее численное значение оказалось равным магнетону Бора.

В качестве рабочего вещества использовалось серебро, которое испарялось в электрически нагреваемой печке (рис.5). Кинетическая энергия атомов серебра определялась температурой порядка 1000 К. Такой энергии испарения было недостаточно, чтобы изменить энерге­тическое состояние атомов. Пучок атомов выходил сквозь круглое отверстие А площадью 1 мм² .С помощью диафрагм Д₁ и Д₂ выделялся пучок, сечение которого не превышало предполагаемую величину откло­нения. Система отверстий юстировалась таким образом, чтобы пучок шел параллельно острию лезвия. Длина полюсов была 3,5 см. Использо­валось магнитное поле В ≈ 10³ Э, при градиенте дВ/дz = 10⁴ Э/см. Опыт проводился в вакууме, чтобы избежать рассеяния пучка на моле­кулах остаточного газа. Пучок атомов после прохождения между полю­сами магнита осаждался на стеклянной пластинке Р в течение 8 часов.

Результаты опыта Штерна и Герлаха отчетливо показали, что пучок атомов расщепляется на две компоненты (рис.5) В этом авторы видели "прямое экспериментальное доказательство квантова-­ ния в магнитном поле". Они основывались на существовавшей в то время боровской квантовой теории, развитой в дальнейшем А.Зоммер- фельдом. Согласно этой теории величина вектора момента импульсадолжна быть целой кратной постоянной, причем нулевое значение исключалось. Считалось, что в основном состоянии атома серебра величина, а число проекций момента импульса на выделенную ось, по Зоммерфельду, равно двум:. Это, казалось бы, и подтверждается опытом Штерна и Герлаха. Между тем этот вывод является неправильным, так как неправильными были теоретические представления Зоммерфельда. На это первые указали Эйнштейн и Эренфест. Это служит наглядным примером того, как иногда благодаря случайности экспери­мент может подтверждать неправильные теоретические положения. Случайным в опыте Штерна и Герлаха являлся выбор атомов серебра. Если бы они взяли другое вещество, например, серу, то никакого согласия с теорией Зоммерфельда не было бы. На самом деле основ­ным состоянием атома серебра являетсяs– состояние, для которого орбитальное квантовое числоl= 0. Также основным являетсяs–состояние для атома водорода и атомов щелочных металлов. Опы­ты с пучками этих атомов тоже приводят к расщеплению на две ком­поненты. Но вs– состоянии магнитный момент атомов, связанный с орбитальным движением электронов, отсутствует. Следовательно, ни­какого расщепления пучка указанных атомов не должно было бы про­исходить. Наблюдающееся на опыте расщепление означает, что оно обусловлено не орбитальным движением электронов, а какими–то дру­гими причинами. Правильное истолкование результатов опыта Штерна и Герлаха связано с важнейшим свойством электрона – с его спином.

4. В 1925 году голландские физики Уленбек и Гаудсмит выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса . Этот момент им­пульса называетсяспином. Уленбек и Гаудсмит связывали со спином наглядный образ – вращение электрона вокруг собственной оси. Од­нако такое представление оказалось неправильным. Спин является чисто квантовым свойством электрона. Это автоматически вытекает из квантово–релятивистской теории электрона, разработанной Дираком .

Спин, как и всякий механический момент импульса, обладает теми же общими свойствами, что и вектор момента импульса орби­тального движения. Напомним, что для орбитального движения:

Здесь магнитное квантовое число, свя­занное с орбитальным движе-нием, обозначено как m_e. Оно прини­мает (2l+1) значений. Аналогично можно написать для спинового движения

Здесь s – спиновое квантовое число, m_s – магнитное спиновое квантовое число, которое принимает (2s+1) значение.

С собственным механическим моментом импульса электрона свя­зан магнитный момент M_s. Наблюдающееся в опытах Штерна и Герлаха расщепление пучка атомов, находящихся в s – состоянии, вызвано, таким образом, спиновым магнитным моментом электрона (магнитный момент ядер атомов оказывается мало существенным). Согласно этим опытам, число проекций магнитного спинового момента M_sz равно двум, т.е.

2s + 1=2.

Отсюда следует важный вывод, что спиновое квантовое число имеет полуцелое значение:

Следовательно, для спина электрона .

В этом состоит своеобразие спина электрона: он характеризуется полуцелым значением квантового числа. Часто спиновое квантовое число s также называют спином.

Из опытов Штерна и Герлаха следует, что величина спинового магнитного момента равна магнетону Бора:

Следовательно, отношение магнитного спинового момента к механи­ческому спиновому моменту равно

Это означает, что отношение магнитного спинового момента к спину в два раза больше гиромагнитного отношения . Такой резуль­тат согласуется также с результатами других опытов, в частности, с опытами Эйнштейна – де Гааза и с опытами Барнета по определению гиромагнитного отношения. Дальнейшие эксперименты показали, что g– фактор для электрона немного больше двух :g=2(1+α). Это связывают с аномальным магнитным моментом электрона. Согласно теории α = 0,001159614(±3). В экспери­менте было получено значение α = 0,001159557(±30). Были проведены также прямые эксперименты, которые непосредственно доказали, что спин является собственной характеристикой электро­на, а не характеристикой электронов как составных частей атома.

5. Спин, наряду с зарядом и массой, относится к числу фунда-­ ментальных характеристик электрона. Но спин не является исключи­- тельным свойством электрона. Спином характеризуются все частицы микромира, при этом спиновое квантовое число может быть различным. Существуют частицы, для которых спиновое квантовое число является полуцелым. Это – электрон, протон, нейтрон и др. Такой класс час­тиц называют фермионами. Есть частицы с целым спином, включая нуль. Такой класс частиц называют бозонами. Например, спин фотона равен единице, спин альфа–частицы равен нулю и т.д.

6. Спину, как и всякой физической величине, сопоставляется соответствующий оператор спина, и может быть поставлена задача на его собственные значения. Однако эти вопросы выходят за рамки данного курса.

Принцип тождественности одинаковых частиц Принцип Паули

1. Все однотипные частицы, например, электроны, являются одина­ковыми. Они характеризуются одной и той же величиной заряда, массы и спина. Однако между классическими и квантовыми представления­ми об одинаковых частицах имеется существенное различие. В класси­ческой механике одинаковые частицы различаются начальными значения­ми их динамических переменных – координат и импульсов. Поэтому каж­дую частицу можно, образно говоря, пронумеровать, т.е. приписать ей индивидуальное свойство. По законам механики можно, в принципе, далее проследить за каждой отдельной частицей и определить ее дина­мические переменные в любой момент времени. По квантовым представле­ниям это принципиально невозможно. Если в начальный момент времени точно задать координаты каждой частицы и пронумеровать их, то им­пульсы частиц оказываются совершенно неопределенными. Поэтому в сле­дующий момент времени невозможно указать, где частицы будут нахо­диться и, значит, невозможно отличить их друг от друга. Если в на­чальный момент точно задать импульсы частиц, то их местоположение является совершенно неопределенным, так что им нельзя приписать каких–либо индивидуальных свойств. Все это связано с тем, что не существует понятия траектории квантовых частиц. Имеет смысл только плотность вероятностей, определяемая квадратом модуля волновой функции.

2. Рассмотрим для простоты систему двух одинаковых частиц. Пусть Ψ(1,2) – волновая функция, описывающая состояние этой систе­мы. Здесь 1 означает совокупность координат и спиновой переменной первой частицы, 2 – то же для второй частицы, при этом переменная спина указывает значение проекции спина на выбранное направление в пространстве. Величина имеет смысл плотности вероят­ности того, что первая частица характеризуется переменными 1,a вторая – переменными 2. Очевидно, плотность вероятности не изме­нится, если частицы поменять местами, т.е. первой частице приписать переменные 2, а второй частице – переменные 1:

Другими словами, результат взаимного обмена переменными двух мик­рочастиц нельзя обнаружить в эксперименте. Это означает, что оди­наковые микрочастицы нельзя отличить друг от друга. Они являются тождественными, совершенно неотличимыми друг от друга. Чтобы убедиться в этом, допустим, что частица полностью описывается некоторыми признаками a, b, c, d . Пусть частица 1 имеет набор приз­наков a₁, b₁, c₁, d₁, а частица 2 – набор признаков a₂, b₂, c₂, d₂. Однако указать однозначно, какая из этих частиц имеет номер 1, a какая – номер 2, невозможно, так как иначе частицы должны разли­чаться по какому–то дополнительному признаку. Но если набор уже полный, то такое различие невозможно, т.е. частицы 1 и 2 являются тождественными.

Тождественность микрочастиц обнаруживается в опытах по рассея­нию. Например, при столкновении альфа–частицы с ядром гелия ядро испытывает отдачу. В каждом акте столкновения имеется две частицы. Однако принципиально нельзя отличить налетающую частицу от частицы, испытавшей отдачу. Эти частицы рассеиваются во взаимно перпендикулярных направлениях (в лабораторной системе отсчета) (рис. 6) В системе центра масс направления рассеяния θ и (π-θ) эквивалентны, при этом угол отклонения в лабораторной системе составляет половину угла рассеяния в системе центра масс.

Р и с.6

Детекторы Д₁ и Д₂, расположенные под углами θ и θ’ на одинако-вых расстояниях от мишени, регистрируют одновременное появление сталкивающихся частиц. Если регистрировать частицы с помощью только одного детектора, то число рассеянных частиц в единицу времени под углом θ оказыва­ется таким же, как под углом θ’ = π-θ. Это значит, что сечение рассеяния альфа–частиц, симметрично относительно направления θ = 45⁰. Такая симметрия действительно наблюдалась на опыте. Для сравнения вспомним, что сечение резерфордовского рассеяния альфа–частиц моно­тонно убывает с возрастанием угла рассеяния. Это является следствием возможности классического подхода к резерфордовскому рассеянию.

Тождественными являются также фотоны: на опыте непосредствен­но была показана интерференция фотонов от двух различных лазеров.

3. Взаимный обмен переменными частиц означает, что волновая функция подвержена преобразованию под действием некоторого опера­тора. Такой оператор называют оператором перестановок, или обмен­ным оператором: .

В случае двух частиц: . При повторном действии этого оператора восстанавливается первоначальная волновая функция: . Определим собственные значения P₁₂ оператора перестановок. По общим правилам:

. Действуя еще раз оператором , получаем:

, т.е P₁₂ = ± 1. Это значит, что существуют симметричные и антисим­метричные волновые функции относительно перестановки их аргумен­тов. Волновые функции симметричны, если

Волновые функции антисимметричны, если

Аналогично записываются волновые функции в случае многих частиц. Свойства симметрии волновой функции сохраняются со временем, т.е. система все время находится либо в симметричном, либо в антисим­метричном состоянии. Это вытекает из того, что оператор Гамильтона не изменяется при перестановке частиц и обменный оператор комму­тирует с оператором Гамильтона. Сохранение свойства симметрии сис­темы частиц позволяет считать, что симметрия определяется свойства­ми самих частиц, которые составляют эту систему. Свойство симметрии системы, состоящей из тождественных сложных частиц, определяется полным спином сложной частицы. Определим, например, полный спин альфа–частицы. Она состоит из двух протонов и двух нейтронов. Так как спины этих частиц равны , а число их чет­но, то полный спин кратен целому числу. Следовательно, систе­ма альфа–частиц описывается симметричной волновой функцией.

Как показал Паули, свойства симметрии волновых функций тесно связаны со спином частиц и с типом статистики, описывающей термо­динамически равновесные системы частиц. Симметричные волновые функции описывают состояния частиц с целым спином – бозонов. Эти частицы подчиняются статистике Бозе – ЭйнштейнаАнтисимметричные волновые функции описывают состояния частиц с полуцелым спином – фермионом. Они подчиняютсястатистике Ферми–Дирака

Рассмотрим подробнее систему частиц с полуцелым спином. Оказалось, что частицы с полуцеиым спином, в частности, электрон, описываются антисимметричной волновой функцией. Это утверждение представляет собой общую формулировку принципа запрета, или прин­ципа исключения Паули. Частные формулировки этого принципа были открыты Паули в 1925 году при изучении эмпирических закономерностей в атомных спектрах еще до введения в теорию пред­ставлений о спине и до построения волновой механики Шредингера. Согласно принципу Паули – два электрона в атоме никогда не могут обладать одинаковым набором четырех квантовых чисел.

В следующей главе будет показано, что состояние электрона в атоме описывается четверкой рассмотренных ранее квантовых чисел: n,l,m_e,m_s. Они имеют смысл, соответственно, главного квантового числа, орбитального квантового числа, магнитного орбитального кван­тового числа и спинового магнитного квантового числа. Цустьi₁означает некоторую фиксированную четверку указанных квантовых чисел,i₂ – другая фиксированная четверка. Волновая функция описывает электрон в состоянииi₁. Электрон в состоянииi₂описы­вается функцией . Волновая функция системы двух независимых электронов равна

Отсюда следует, что если все четыре квантовых числа для обоих электронов совпадает, т.е. i₁=i₂, то волновая функция.Это значит, что такое состояние не осуществляется. Таким образом, по Паули в некотором состоянии с фиксированной четверкой кванто­вых чисел может находиться не более одного электрона. Электроны проявляют удивительную "антипатию" друг к другу: если какое–то состояние занято электроном, то второму электрону там уже нет места. Это свойство электронов позволяет понять, почему, напри­мер, конденсированная среда противостоит внешнему давлению, а также понять, почему при рассмотрении периодической системы эле­ментов не наблюдается "стягивание" электронов атомов во все мень­ший обьем из–за увеличения заряда ядра.

Принцип Паули является одним из фундаментальных законов при­роды, но он относится только к фермионам. Бозоны, например, фото­ны, π–мезоны или альфа–частицы принципу Паули не подчиняются.