TeorVer / Лекция 10. Числовые характеристики системы двух случайных величин. n-мерный случайный вектор
.pdf
M [ X |
|
/ x , , x ] |
m |
|
/ x2 , , xn |
x |
f (x1, x2 , , xn ) |
dx . |
|
1 |
X1 |
|
|||||||
|
2 |
n |
|
1 |
f2, ,n (x2 , , xn ) |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это условное математическое ожидание называется регрессией X1 на x2 , x3, , xn . Геометрически регрессия интерпретируется как поверхность в n -мерном пространстве (x1, x2 , , xn ) и называется поверхностью регрессии X1 на x2 , x3, , xn .
Регрессия будет линейной, если поверхность регрессии описывается линейной функцией, т. е.
|
|
|
|
n |
mX1 / x2 , , xn |
10 |
1i xi , |
||
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
где 10 , 1i (i 2, n) |
– постоянные коэффициенты. |
|||
В двумерном случае линия регрессии прямая, в трехмерном – плоскость; в общем случае – гиперплоскость в пространстве n измерений.
Для системы случайных величин X1, X2 , X3, , Xn , имеющей нормальное распределение, регрессия всегда линейна.
Многомерное нормальное распределение
Совместная плотность распределения вероятности системы произ-
вольного числа n нормальных случайных величин – случайного вектора
X ( X1, X 2 , , X n ) – имеет вид f (x1, x2 , , xn ) 
|
|
|
|
|
1 |
|
|
exp[ |
1 n |
n |
K ( |
1) (x |
m |
|
|
)(x |
|
m |
)] , |
(5.30) |
|||
|
|
|
|
|
n / 2 |
|
|
|
|
|
X i |
j |
|||||||||||
|
(2 |
) |
|
|
|
|
|
2 i 1 j 1 |
ij |
i |
|
|
|
X j |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
– определитель ковариационной матрицы |
Kij |
|
системы случайных |
|||||||||||||||||||
величин (X , X |
2 |
, , X |
n |
) ; |
K ( |
1) |
A |
|
– элементы обратной ковариа- |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
ij |
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ционной матрицы, Aij |
– алгебраическое дополнение элемента Kij |
матри- |
|||||||||||||||||||||
цы ковариаций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, параметрами n -мерного нормального распределения являются:
вектор математических ожиданий m (m1,m2 , ,mn ) ;
ковариационная матрица 
Kij 
размером n n .
Если нормально распределенные случайные величины X1, X2 , , Xn не коррелированы, то корреляционная матрица становится диагональной
|
|
|
|
|
D1 |
0 |
|
0 |
|
Kij |
|
|
|
|
0 |
D2 |
|
0 |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
Dn |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
ее определитель |
|
D1 |
D2 Dn |
|
Di , а обратная корреляционная |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
||
матрица будет иметь вид |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
D1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ( 1) |
|
0 |
1 D2 |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
Dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, совместную плотность распределения можно привести к виду
f (x1, x2 |
, , xn ) |
|
|
1 |
|
|
exp |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
)n |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|||||||
|
( 2 |
|
|
|
|
||||
2
n xi mX i
i 1 
Di
n |
1 |
|
|
1 |
|
xi |
mi |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
exp |
|
|
fi (xi ) . |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
i |
|
|
||||
i 1 |
i |
|
|
|
i 1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Для нормально распределенной системы случайных величин из попарной некоррелированности отдельных величин, входящих в систему, следует их независимость.