Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Лекции Дет. модели. Часть 2

Вопрос о наличии точек перегиба графика функции CP t будем исследовать точно так же, как в случае 1. В результате получим, что при

функции CP t – это точка tmax .

Таким образом, при выполнении условия CA0 CB0 k2 CB0 единствен- k1

ная точка перегиба графика функции CP t – это точка tmax,CPchange . В качестве упражнения изучите зависимость координат точки макси-

мума кинетической кривой промежуточного продукта и координат точки перегиба кинетической кривой конечного продукта реакции от отношения значений констант скоростей последовательных стадий. Убедитесь, что выводы, сформулированные для случая 1, остаются верными и для случая 2.

3.Приведем решение прямой кинетической задачи, рассматриваемой

вслучае 3. Запишем уравнение кинетической кривой для исходного реагента А.

Применим встроенную функцию DSolve для отыскания в аналитическом виде кинетических кривых для веществ В и С.

При попытке решить указанную систему аналитически получили нулевое решение для функции CC t , которое не удовлетворяет начальному

98

условию для этой функции, потому что CC0 0 по условию задачи. Если

воспользоваться для решения указанной системы средствами других программных пакетов, например, среды Maple, то получим, что решение данной задачи Коши содержит в себе интеграл, который может быть рассчитан только численно. В связи с этим применим встроенную функцию NDSolve для нахождения численного решения рассматриваемой системы. Будем, например, считать, что t 0;20 , а числовые значения констант скоростей последовательных стадий и начальных концентраций исходных веществ принимают следующие конкретные значения.

Теперь получим в численном виде текущую концентрацию продукта Р, исходя их принципа материального баланса.

Представим графически полученные результаты.

99

Итак, в предлагаемом решении прямой кинетической задачи для последовательной реакции второго порядка кинетическая кривая для исходного реагента А была получена аналитически, кинетические кривые для веществ В и С – численно, а кинетическая кривая для продукта Р – в численном виде, исходя из принципа материального баланса. Идентичные результаты и графики можно получить, если применить к исходной в случае 3 системе встроенную функцию NDSolve, считая, что t 0;20 , а числовые значения констант скоростей последовательных стадий и начальных концентраций исходных веществ принимают указанные выше значения. В соответствии с видом графиков возникают следующие предположения: локальный максимум кинетической кривой CB t и точки перегиба графиков функций CC t и CP t соответствуют одному и тому же значению переменной t, других точек локального экстремума на про-

промежутке. Остановимся на этих предположениях подробнее. Сначала исследуем вопрос о существовании на промежутке 0;20 то-

чек локального экстремума функции CB t . Найдем в численном виде первую и вторую производные этой функции.

Изобразим графики указанных функций в различных диапазонах.

100

Согласно графикам можно утверждать, что первая производная функции CB t существует на промежутке 0;20 и обращается в нуль только в одной точке этого промежутка, причем вторая производная функции CB t в этой точке принимает отрицательное значение. Это согласуется с нашим предположением о том, что функция CB t не имеет других точек локального экстремума на рассматриваемом промежутке, кроме единственной точки локального максимума (в нашем случае t 4,6).

101

Координаты точки локального максимума графика функции CB t приблизительно такие: t 4,6;CB 4,6 0,71.

Теперь исследуем вопрос о существовании на промежутке 0;20 точек перегиба функции CC t . Найдем в численном виде вторую и третью производные этой функции.

Изобразим графики указанных функций в различных диапазонах.

102

Согласно графикам можно утверждать, что вторая производная функции CC t существует на промежутке 0;20 и обращается в нуль только в одной точке этого промежутка, причем третья производная функции CC t в этой точке не равна нулю. Это согласуется с нашим предположением о том, что функция CC t имеет единственную точку перегиба на рассматриваемом промежутке (в нашем случае t 3,2).

Координаты точки перегиба графика функции CC t приблизительно та-

кие: t 3,2;CC 3,2 0,78.

CP t имеет на промежутке 0;20 единственную точку перегиба при значении t 3,2. Это согласуется с нашим предположением о том, что точки перегиба графиков функций CC t и CP t соответствуют одному и тому же значению переменной t. Предположение о том, что этому же значению t соответствует и локальный максимум кинетической кривой CB t , опровергается, поскольку функция CB t имеет единственный локальный максимум на рассматриваемом промежутке в точке t 4,6.

103

Координаты точки перегиба графика функции CP t приблизительно такие: t 3,2;CP 3,2 0,12. Заметим, что при указанном значении переменной t как скорость расходования реагента С, так и скорость накопления продукта P является максимальной.

4.Приведем решение прямой кинетической задачи, рассматриваемой

вслучае 4. Запишем уравнение кинетической кривой для исходного реагента А.

Применим встроенную функцию DSolve для отыскания в аналитическом виде кинетических кривых для веществ В и P.

Функция DSolve не справляется с решением поставленной задачи. Поэтому применим встроенную функцию NDSolve для нахождения численного решения рассматриваемой системы. Будем, например, считать, что t 0;20 , а числовые значения констант скоростей последовательных стадий и начальной концентрации исходного вещества А принимают следующие конкретные значения.

Представим графически полученные результаты.

104

Итак, в предлагаемом решении прямой кинетической задачи для последовательной реакции второго порядка кинетическая кривая для исходного реагента А была получена аналитически, а кинетические кривые для веществ В и Р – в численном виде. Идентичные результаты и графики кривых можно получить, если применить к исходной в случае 4 системе встроенную функцию NDSolve, считая, что t 0;20 , а числовые значения констант скоростей последовательных стадий и начальной концентрации исходного вещества А принимают указанные выше значения. В соответствии с видом графиков возникают следующие предположения: локальный максимум кинетической кривой CB t и точка перегиба графика функции CP t соответствуют одному и тому же значению переменной t, других точек локального экстремума на промежутке 0;20 кинетическая кривая CB t не имеет, так же, как кривая CP t не имеет других точек перегиба на рассматриваемом промежутке. Остановимся на этих предположениях подробнее.

Сначала исследуем вопрос о существовании на промежутке 0;20 точек локального экстремума функции CB t . Найдем в численном виде первую и вторую производные этой функции.

Изобразим графики указанных функций в различных диапазонах.

105

106

Согласно графикам можно утверждать, что первая производная функции CB t существует на промежутке 0;20 и обращается в нуль только в одной точке этого промежутка, причем вторая производная функции CB t в этой точке принимает отрицательное значение. Это согласуется с нашим предположением о том, что функция CB t не имеет других точек локального экстремума на рассматриваемом промежутке, кроме единственной точки локального максимума (в нашем случае t 3,6).

Координаты точки локального максимума графика функции CB t приблизительно такие: tmax 3,6;CB 3,6 0,65.

Теперь исследуем вопрос о существовании на промежутке 0;20 то-

растающая при t 0. Продифференцировав это уравнение по перемен-

ной t, получаем равенство CP t 2k2CB t CB t . Отсюда следует, что

CP t существует при t 0 и CP t и CB t обращаются в нуль при одном и том же значении t tmax (т. к. CB t 0 при рассматриваемых значениях переменной t). Из предыдущих исследований функции CB t

ясно, что CP t 0 при t tmax и CP t 0 при t tmax . Итак, единственная точка перегиба функции CP t – это точка tmax 3,6.

Координаты точки перегиба графика функции CP t приблизительно такие: t 3,6;CP 3,6 0,09. Из проведенных исследований можно сделать вывод, что при t tmax концентрация реагента В и скорость накопления продукта P максимальны.

4. Анализ полученных результатов. В соответствии с принци-

пами химической кинетики получены аналитические решения прямых кинетических задач, сформулированных в пунктах 1, 2, и численные решения прямых кинетических задач, сформулированных в пунктах 3, 4.

107