Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Лекции Дет. модели. Часть 2

3. Решение математической модели средствами компьютерной системы Mathematica.

1.Получим аналитическое решение прямой кинетической задачи, рассматриваемой в случае 1.

Представим графически полученные результаты. Приведем графики кинетических кривых для всех участников реакции при определенных числовых значениях констант скоростей последовательных стадий и начальной концентрации исходного реагента А. Предварительно подключим средства системы Mathematica, дающие возможность подписать графики на полученном рисунке.

88

Найдем численное решение рассматриваемой задачи Коши в виде интерполяционной функции. Предположим, что t 0;10 , а константы скоростей последовательных стадий и начальная концентрация реагента А принимают указанные ранее определенные числовые значения.

Изобразим полученный результат графически и сравним его с графиком решения, полученного аналитическим путем.

Очевидно, что графики идентичны.

89

Решение математической модели, соответствующей случаю 1, закончено. В дальнейшем мы будем анализировать полученные результаты, поэтому приведем еще ряд математических выкладок, на которые будем ссылаться при формулировке выводов. Глядя на графики кинетических кривых, можно предположить, что для кривой CB t характерно наличие точки локального максимума, а для кривой CP t – наличие точки перегиба графика этой функции. Выясним, действительно ли это так.

Сначала при помощи первой производной функции CB t исследуем вопрос о существовании на промежутке 0; точек локального экстремума этой функции.

По виду первой производной можно заключить, что критические точки функции CB t на промежутке 0; отсутствуют. Выясним, существуют ли стационарные точки этой функции на указанном промежутке.

рим, является ли она точкой локального экстремума функции CB t . С этой целью найдем промежутки возрастания и убывания данной функции, исследуя знак ее первой производной.

90

Действительно, при t tst функция имеет локальный максимум.

Итак, единственная точка локального максимума кинетической кривой

го возрастающая на промежутке 0; . Продифференцировав уравнение по t, получим CP (t) k2CB (t). Отсюда следует, что CP (t) существует

при t 0 и CP (t) и CB (t) обращаются в нуль при одном и том же значении t tmax . Из предыдущих исследований функции CB t ясно, что

91

CP (t) 0 при t tmax и CP (t) 0 при t tmax . Итак, единственная точка перегиба функции CP t – это точка tmax .

Найдена единственная точка перегиба графика функции CP t – это точ-

ка tmax,CPchange .

Изучим зависимость координат точки максимума кинетической кривой промежуточного продукта и координат точки перегиба кинетической кривой конечного продукта реакции от отношения значений констант скоростей последовательных стадий. Определим функцию CB как функцию, зависящую от четырех аргументов.

Аналогичным образом определим функцию CP.

Продемонстрируем ход кинетических кривых промежуточного и конечного продуктов реакции при различных значениях отношения k2 /k1. Зафиксируем, например, единичные значения для начальной концентрации реагента А и для константы скорости первой стадии реакции, а константе скорости второй стадии реакции будем придавать различные значения в порядке возрастания. Следующие два рисунка показывают, что при увеличении отношения k2 /k1 абсцисса точки максимума смещается в сторону меньших значений переменной t, и при этом максимальная концентрация CBmax вещества B уменьшается, абсцисса точки перегиба кинетической кривой продукта P также смещается к началу координат. Чем больше значение отношения k2 /k1, тем интенсивнее протекает образование продукта P на начальном этапе реакции.

92

93

2.Получим аналитическое решение прямой кинетической задачи, рассматриваемой в случае 2.

Представим графически полученные результаты. Приведем графики кинетических кривых для всех участников реакции при определенных числовых значениях констант скоростей последовательных стадий и начальных концентраций исходных веществ. Предварительно подключим средства системы Mathematica, дающие возможность подписать графики на полученном рисунке.

94

Найдем численное решение исходной задачи Коши в виде интерполяционной функции. Предположим, что t 0;30 , а константы скоростей последовательных стадий и начальные концентрации исходных веществ принимают указанные ранее определенные числовые значения.

Изобразим этот результат графически и сравним его с графиком решения, полученного аналитическим путем.

Очевидно, что графики идентичны.

95

Решение математической модели, соответствующей случаю 2, закончено. В дальнейшем мы будем анализировать полученные результаты, поэтому приведем еще ряд математических выкладок, на которые будем ссылаться при формулировке выводов. Как и в случае 1, можно предположить, что для кривой CB t характерно наличие точки локального максимума, а для кривой CP t – наличие точки перегиба графика этой функции. Докажем, что эти предположения являются верными, и выясним, что это за точки.

Сначала при помощи первой производной функции CB t исследуем вопрос о существовании на промежутке 0; точек локального экстремума этой функции.

По виду первой производной можно заключить, что критические точки функции CB t на промежутке 0; отсутствуют. Выясним, существуют ли стационарные точки этой функции на указанном промежутке.

96

Стационарная точка tst существует и единственна, если выполняется ус-

ловие CA0 CB0 k2 CB0, причем ее аналитическая формула такова: k1

.

Проверим, является ли она точкой локального экстремума функции CB t . С этой целью найдем вторую производную указанной функции и определим ее знак при t tst.

симум.