Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Лекции Дет. модели. Часть 2

4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ВРЯДЕ ЗАДАЧ ХИМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ

4.1.Задача о концентрации раствора

1.Постановка задачи. Глубокий резервуар, объем которого равен Vр , изначально содержит a кг соли на 100 л ее водного раствора. В те-

чение каждой минуты в него поступает b литров воды и из него вытекает c литров раствора, причем b c. Началу процесса соответствует время t0 0. Определите, какое количество соли x1 (кг) останется в резервуаре через t1 минут после начала процесса, если предположить, что смесь мгновенно перемешивается.

2.Математическая модель. Введем следующее обозначение: x(t) – количество (кг) соли, содержащееся в резервуаре, в момент вре-

количество соли в резервуаре в момент времени t t, а x(t) – это количество соли в резервуаре в момент времени t. Тогда x(t) x(t t) xx 0 – это количество соли, которое убыло из резервуара за времяt 0. Объем раствора в резервуаре в момент времени t равен V t 100 (b c)t. Тогда концентрация соли (кг/л) в момент времени t

100 (b c)t

Перепишем это уравнение в дифференциальной форме:

Его можно записать как обыкновенное дифференциальное уравнение с разделенными переменными

Проинтегрируем это уравнение, расставив пределы интегрирования в определенных интегралах следующим образом:

Остается найти определенные интегралы и выразить необходимое количество соли x1 через время t1 и заданные в условии постоянные.

3. Решение математической модели средствами компью-

терной системы Mathematica. Прежде всего, приведем ряд встроенных функций компьютерной системы Mathematica, которые могут быть использованы при решении задач данного раздела.

Приведем фрагменты программного кода, снабженные пояснениями и комментариями. Сначала по формуле Ньютона ‒ Лейбница найдем опре-

50

Затем найдем определенный интеграл из правой части этого равенства и умножим его на число (–с).

Выразим искомую переменную x1 через время t1 и заданные в условии постоянные.

С целью построения графиков зададим конкретные числовые значения параметров а, b и c и укажем формулы соответствующих функциональных зависимостей между количеством соли x1 и временем t1. Для наглядности построим графики этих функциональных зависимостей.

51

4. Анализ полученных результатов. Формулы в решении ма-

тематической модели записаны с тем расчетом, что b c 0. Это соответствует условию задачи, где сказано, что b c. Следует отметить, что математическая модель задачи адекватно отражает описываемый с ее

52

помощью процесс в том случае, если объем раствора V 100 (b c)t в резервуаре меньше или равен объему резервуара Vр . Итак, полученная

средствами системы Mathematica символьная форма решения поставленной задачи корректна с математической точки зрения и адекватна хими-

получены зависимости между переменными t1 и x1 при конкретных значениях числовых параметров a,b,c и приведен пример графического оформления этих результатов.

Замечание. Зная количество соли, оставшейся в резервуаре (его легко установить, измеряя объем, занимаемый раствором, и концентрацию соли в нем), можно определить, сколько времени прошло от начала процесса. Интересно, что в прикладных исследованиях аналогичные идеи используются для вычисления возраста морей и океанов.

4.2.Кинетика простых реакций

1.Постановка задачи. Рассмотрите прямую кинетическую задачу для случаев протекания простых реакций в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны) в предположении, что имеет место соответствие между кинетическим и стехиометрическим уравнениями реакции. Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т.е. уравнения кинетических кривых. Представьте полученное решение графически. Проанализируйте результаты с химической точки зрения. Рассмотрите следующие случаи.

1.Схема простой реакции с единственным реагентом, идущая в одну

начальная концентрация реагента A.

2. Схема простой реакции с двумя реагентами, идущая в одну ста-

k

дию, такова: A B Продукты. Здесь CA0 CB0 0 – это на-

чальные концентрации реагентов A и B соответственно.

3. Схема простой реакции с двумя реагентами, идущая в одну ста-

k

дию, такова: A B Продукты. Здесь CA0 0;CB0 0 – это

начальные концентрации реагентов A и B соответственно, причем

CA0 CB0.

53

2. Математическая модель. Прежде чем составлять математические модели, рекомендуется прочитать общие сведения из химической кинетики, изложенные в подразделе 1.3.

1. Число n – это порядок реакции, в данном случае совпадающий по величине со стехиометрическим коэффициентом. В зависимости от величины n выделим случаи моно-, би- и тримолекулярных реакций с участием одного реагента. В соответствии с принципами химической кинетики математические модели таких реакций представляют дифференци-

момент начала реакции t 0. В каждом из рассматриваемых случаев (n 1,2,3) начальное условие имеет вид CA 0 CA0, где CA0 0. Ана-

литическое решение прямой кинетической задачи состоит в установлении функциональной связи между текущей концентрацией реагента и временем t(t 0), т. е. в получении уравнения кинетической кривой.

Дифференциальное уравнение dCA(t) nk CA(t) n можно записать как dt

уравнение с разделенными переменными dCA nkdt. Проинтегрируем

CAn

его, расставив пределы интегрирования в определенных интегралах следующим образом:

CA t через время и заданные в условии константы, получим кинетическую кривую для каждого из случаев n 1,2,3.

2. В соответствии со стехиометрией реакционной схемы к моменту времени t 0 в единице объема реагируют одинаковые количества (моль) обоих реагентов, каждое из которых обозначим через x(t). Тогда текущие концентрации реагентов к этому моменту времени будут равны

место соответствие между кинетическим и стехиометрическим уравнениями, математическая модель реакции представляет собой обыкновен-

54

го случая аналогична дифференциальной модели из пункта 1, где n 2. 3. Согласно стехиометрии реакционной схемы к моменту времени t 0 в единице объема реагируют одинаковые количества (моль) обоих

реагентов, каждое из которых обозначим через x(t). Тогда текущие кон-

мической кинетики и с условием задачи запишем дифференциальное

3. Решение математической модели средствами компью-

терной системы Mathematica. Приведем фрагменты программного кода, снабженные пояснениями и комментариями.

рассмотрим случаи, когда n 1 и когда n 2,3, поскольку формулы интегрирования будут различными. Результат интегрирования выражения

1

un

система Mathematica выдает в предположении, что n 1.

55

Пусть n 1. С помощью формулы Ньютона ‒ Лейбница найдем интеграл, стоящий в левой части указанного равенства, и, учитывая, что интеграл из правой части равен t, выразим текущую концентрацию CA t через время и заданные в условии константы.

Таким образом, получено уравнение кинетической кривой для случая n 1: CA t CA0e kt (этот результат обозначен в программе sol1).

Пусть n 2. Проведем математические выкладки, аналогичные тем, которые были выполнены в предыдущем случае.

Получено уравнение кинетической кривой для случая n 2: CA t CA0 / 1 2ktCA0 (этот результат обозначен в программе sol2).

56

Пусть n 3. Производя действия, подобные уже рассмотренным в предыдущих двух случаях, получим два выражения для CA t , одно из которых не соответствует химическому смыслу задачи, поскольку является отрицательным для всех значений t 0.

Итак, получено уравнение кинетической кривой для случая n 3:

sol3).

Представим графически каждое аналитическое решение прямой кинетической задачи, полученное при рассмотрении случая 1.

57