Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Лекции Дет. модели. Часть 2

k1

1.

Схема

обратимой

реакции такова:

B.

Здесь

A

k2

A и B

CA0 0,CB0 0 – это начальные концентрации реагентов

соответственно, причем CA0 CB0.

k1

2.

Схема

обратимой

реакции

такова:

A B

Здесь

C D.

CA0,CB0,CC0,CD0

k2

– это

начальные

концентрации

реагентов

A,B,C,D соответственно, причем все они отличны от нуля и по-

k1

стадий. Математической моделью, соответствующей схеме A

B

dCA(t)

k C

A

(t) k

C

B

(t),

dCB(t)

k C

A

(t) k

C

B

(t),

dt

1

2

dt

1

2

пример,

dCA(t)

k C

A

(t) k

2

C

B

(t), можно переписать в виде

dt

1

dx(t)

k

C

A0

x(t) k

2

C

B0

x(t) . Ему соответствует начальное усло-

dt

1

вие x 0 0. Итак, математическая модель для случая 1 такова:

CA t CA

x(t)

0

(t 0),

CB t CB0 x(t)

трации

реагентов,

а

x(t)

–

это

решение

задачи

Коши

dx(t)

k

C

A0

x(t) k

2

C

B0

x(t) ,

x 0 0,

которую

можно

перепи-

dt

1

x

du

t

сать в интегральной форме:

dt.

k C

A0

u k

2

C

B0

u

0 1

0

k1

2. Двусторонняя реакция, схема которой

C D, относит-

A B

Математической моделью, соответствующей схеме A B

C D

dCA(t)

k C

(t)C

B

(t) k

C

C

(t)C

D

(t),

dCB(t)

dCA(t)

,

dt

1

A

2

dt

dt

dCC(t)

k C

A

(t)C

B

(t) k

C (t)C

D

(t)

dCA(t)

,

dCD(t)

dCA(t)

,

dt

1

2

C

dt

dt

dt

69

реакции, например,

dCA(t)

k C

A

(t)C

B

(t) k

2

C

C

(t)C

D

(t), можно пере-

dt

1

dx(t)

C

x(t) C

x(t) .

писать

так:

k C

A0

x(t) C

B0

x(t) k

2

D0

dt

1

C0

Ему соответствует

начальное условие

x 0 0.

Итак, математическая

модель для случая 2 такова:

CA t CA0 x(t),CB t CB0 x(t),

(t 0),

C

t C

x(t),C

D

t C

D0

x(t),

C

C0

где CA0,CB0,CC0,CD0 – это начальные ненулевые концентрации реаген-

тов A,B,C,D соответственно, а x(t)

– это решение задачи Коши

dx(t)

k C

A0

x(t) C

B0

x(t) k

2

C

x(t) C

D0

x(t) , x 0 0,

dt

1

C0

x

du

t

dt.

k

C

A0

u C

B0

u k

2

C

C0

u C

D0

u

0

1

0

Обозначение встроенной функции

Действия

D[expr,{var,n}]

Вычисляет n-ную производную выражения

expr,

содержащего переменную var, по переменной var.

В случае n=1 вместо {var,n} пишут var. Команду

можно использовать для дифференцирования как

заданных аналитически, так и интерполяционных

функций.

DSolve[eqns,funs,var]

Стремится найти в явном аналитическом виде общее

(DSolve[eqn,fun,var])

решение системы дифференциальных уравнений

eqns (дифференциального уравнения eqn) относи-

тельно искомых функций funs (искомой функции

fun), зависящих (зависящей) от переменной var.

Если в список уравнений eqns включить необходи-

мое количество начальных или граничных условий,

то данная встроенная функция стремится найти в

явном аналитическом виде частное решение систе-

мы дифференциальных уравнений (дифференциаль-

ного уравнения). Эта функция может выдавать ре-

шения уравнения или системы через специальные

функции. В случае отсутствия у системы Mathe-

matica ответа в аналитическом виде введенные дан-

ные просто перепечатываются.

Integrate[f[x],x]

Вычисляет неопределенный интеграл от функции

f[x] по переменной x. Произвольную константу,

которая возникает при интегрировании, полагают

равной нулю. Система Mathematica вычисляет

большинство интегралов, которые выражаются че-

рез стандартные математические функции, а также

позволяет интегрировать выражения, содержащие

специальные функции. Если система не может пред-

ставить результат интегрирования в виде формулы,

то она выдает введенное выражение без изменений.

N[x,n]

Преобразует точный результат x в приближенный c

заданной точностью n значащих цифр.

NDSolve[{eq1,eq2,…,

Находит численное решение системы уравнений

initialdata},{fun1,

eq1,eq2,…,initialdata

(eqn,

fun2,…},{var,varmin,

initialdata) относительно искомых функций

varmax}]

fun1, fun2, … (искомой функции fun),

завися-

(NDSolve[{eqn,

щих (зависящей) от переменной var, которая изме-

initialdata},fun,

няется в пределах отрезка [varmin,varmax]. Реше-

{var,varmin,varmax}])

ния находятся системой Mathematica в виде интер-

поляционных функций. Интерполяционная функция

– это объект вида

InterpolatingFunсtion[{{varmin,

varmax}},<Таблица данных>],

71

который представляет собой таблицу значений

функции

fun(var) в различных точках

vari из

отрезка

[varmin,varmax] и позволяет найти зна-

чение функции в любой точке этого отрезка путем

интерполяции табличных данных. При этом предпо-

лагают, что в промежутках между заданными точ-

ками функция является достаточно гладкой. Обычно

при выводе результата вычислений указывается

только диапазон определения

интерполяционной

функции, а таблица данных изображается в виде

символа

«<>», т. е. результат имеет вид

InterpolatingFunction[{{varmin,varmax}},

< >]. С интерполяционной функцией можно обра-

щаться так же, как и с любой другой встроенной

функцией, т. е. дифференцировать, интегрировать,

строить ее график.

NIntegrate[f[x],

В случае, когда определенный интеграл не содержит

{x,xmin,xmax}]

неизвестных числовых параметров, дает численный

результат интегрирования функции f[x] по пере-

менной x в пределах интегрирования от xmin до

xmax.

ParametricPlot[{x[t],

Строит двумерный график функции, заданной пара-

y[t]},{t,tmin,tmax},

метрически, где значения параметра t принадлежат

option->value]

отрезку[tmin,tmax]. Эта встроенная функция имеет

тот же набор опций, что и функция Plot, и позво-

ляет строить график как одной, так и нескольких

функций. При построении графиков нескольких

функций в качестве первого аргумента в команде

ParametricPlot

необходимо указать

список

функций, заданных параметрически.

Piecewise[{{val1,

Задает кусочную функцию, определяемую как vali

cond1},{val2,cond2},…}]

на промежутке, указанном с помощью соответ-

ствующего условия

condi.

Plot[{f1[x],f2[x],…,

Строит

на

одном

рисунке

графики

функций

fn[x]},{xmin,xmax}]

f1[x],f2[x],…,fn[x] одной переменной x на

отрезке [xmin,xmax]. Существуют команды (формат

их различен в различных версиях), например,

Needs["PlotLegends`"] ‒ в версии Mathematica

7.0, <<Graphics`Legend` ‒ в версии Mathematica

5.2, которые подключают средства системы

Mathematica,

дающие возможность подписать гра-

фики на полученном рисунке.

ReplaceAll

Оператор подстановки, который применяет список

(expr/.rules)

правил замены rules к выражению expr.

72

Reduce[{ineq1,ineq2,

Функция удобна для решения неравенств или сис-

…},vars,dom]

тем неравенств, рассматриваемых на области оп-

ределения dom (dom может, например, принимать

значения Integers, Reals, Complexes); в пре-

делах рассматриваемой области определения dom

дает результат решения системы неравенств

{ineq1,ineq2, …}

относительно переменных

vars в виде набора простых неравенств.

Simplify[expr]

Находит для выражения

expr простейшую форму,

применяя к нему стандартные алгебраические пре-

FullSimplify[expr]

образования.

expr простейшую форму,

Находит для выражения

применяя к нему более широкий спектр преобразо-

ваний.

Solve[eqns,vars]

Делает попытку решить в символьной форме систе-

му уравнений eqns относительно переменных

vars (более подробное описание действия команды

можно посмотреть в предыдущих разделах).

x t

e t k1 k2

1 et k1 k2

C

A0

k C

B0

k

2

1

(она обозначена sol1).

k1 k2

ние

условия

x t 0 при

t 0. Поэтому

можно утверждать, что

C

A0

k C

B0

k

2

0. Заметим,

что limx(t)

CA0k1

CB0k2

. Проведем ис-

1

t

k1

k2

возрастающий

и

выпуклый

при

t 0.

Учитывая,

что

limx(t)

CA0k1

CB0k2

, получим равновесные концентрации веществ А

k1

t

k2