3.Сортировка слиянием

1.Делим массив на 2 части

2.Рекурсивно сортируем каждую часть

3.Объединяем обе части так, чтобы получить отсортированный массив

Трудоемкость - O(nlogn)

Теорема. Не существует алгоритма сортировки со

сложностью меньшей, чем C*nlogn.

Сложность задачи – это сложность лучшего алгоритма

для ее решения.

Теорема. Сложность задачи сортировки - nlogn

4.Бинарные поисковые деревья

Бинарное дерево – у каждого отца не более 2 сыновей.

Бинарное дерево наз-ся поисковым, если для любой вершины ее ключ не меньше ключей всех ее левых потомков и не больше ключей всех ее правых потомков.

Каждая вершина хранит ключ, указатели на сыновей.

Поиск элемента

Добавление элемента

В бинарном поисковом дереве, образованном N случайными ключами, для успешного поиска в среднем требуется около 2logN сравнений.

В бинарном поисковом дереве, образованном N случайными ключами, для вставок и неудачного поиска в среднем требуется около 2 logN сравнений.

Для поиска в дереве бинарного поиска с N ключами в худшем случае может потребоваться N сравнений.

Вставка в корень. Ротация деревьев (Меняет ролями отца и сына)

5.2-3-4 Деревья

Опр. 2-3-4 дерево поиска - это либо пустое дерево, либо дерево которое содержит 3 типа узлов: 2-узлы - с одним ключом, левой связью к дереву с меньшими ключами, правой - с большими; 3-узлы - с двумя ключами, левой связью - с меньшими ключами, средней - ключи которых между ключами данного узла, правой - с большими; 4-узлы - с тремя ключами и четырьмя связями к деревьям (аналогично распределяются ключи).

Опр. Сбалансированное 2-3-4 дерево поиска - это 2-3-4 дерево, все пустые поддеревья которого расположены на одинаковом расстоянии от корня.

Вставка нового ключа также как и в бинарном дереве поиска. Дерево может оказаться несбалансированным.

Разделение 4-узла: Если отец 4-узла, который нужно разделить также 4-узел, то мы разделяем каждый 4-узел по пути следования. Если корень дерева есть 4-узел, преобразуем его в три 2-узла.

Св-во1. При поиске в 2-3-4 деревьях из N узлов посещается максимум lgN+1 узлов

Св-во2. для вставок в 2-3-4 деревьях из N узлов разделение менее lgN+1 узлов в худшем случае

Недостаток 2-3-4 деревьев - сложность их представления хранения и реализация алгоритмов.

6.Хеширование

Цель: найти элементы, ключи которых соответствуют заданному ключу поиска

Прямая индексация(частный случай хеш-таблицы (h(k) = k)) Предположим, что каждый элемент имеет уникальный ключ

Идея: хранить данные в массиве, индексами которого являются ключи

Поиск элемента с заданным ключом – O(1)

Вставка элемента – O(1)

Недостаток: Если множество U всевозможных значений ключей велико, то приходится хранить в памяти массив размера |U|. Если число реально присутствующих в таблице записей мало по сравнению с |U|, то память тратится зря

Храним таблицу длины m .

Хеш-функция (hash function) преобразует ключи в индексы таблицы h: U ® {0,1,…,m-1} , h(k) – хеш-значение (hash value)

Проблемы:

1.подобрать функцию h таким образом, чтобы минимизировать число коллизий

2.уметь разрешать имеющиеся коллизии

1.Хеш-функция должна (хотя бы приближенно) удовлетворять предположениям равномерного хеширования: для очередного ключа все m хеш-значений должны быть

равновероятны.

2.не должна коррелировать с закономерностями, встречающимися в хешируемых данных.

Хеш-функции:

Деление с остатком (division method, модульная функция).

h(k) = k mod m Хороший результат, если в качестве m брать простое число. Желательно не брать m = 2^p, 10^p

Умножение (multiplication method).

h(k) = [m{kA}] A - некоторая константа.

Разрешение коллизий методом цепочек

Пусть a - среднее количество элементов в одной цепочке

Предположим, что хеш-функция “хорошая”, т.е. она хеширует все элементы по ячейкам равномерно и независимо

Теорема. Среднее время поиска элемента при хешировании с цепочками - O(1+ a) (a - среднее количество элементов в одной цепочке)