Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

При тех значениях частоты, для которых эта формула применима, показатель преломления возрастает с увеличением частоты. Такой характер зависимости n( )

называют нормальной дисперсией.

Для низких частот ( < 0) показатель преломления больше единицы, т.е. фазовая скорость c/n волны в среде меньше скорости света в вакууме. Это значит, что измененная средой волна отстает по фазе от падающей. Это условие выполняется, например, при распространении видимого излучения в прозрачных веществах (стекло, кварц). Собственные частоты атомных осцилляторов этих веществ лежат в ультрафиолетовой части спектра.

Если же частота излучения больше собственной частоты осциллятора ( > 0), то n < и фазовая скорость волны в среде (υ = c/n) оказывается больше скорости света в вакууме, т.е. измененная волна по фазе опережает падающую. Но никакого противоречия с теорией относительности здесь нет, так как теория относительности утверждает, что скорость материальных тел и скорость сигнала не могут превышать скорость света в вакууме. Понятия показателя преломления и фазовой скорости применимы к монохроматической волне, имеющей бесконечную протяженность в пространстве и во времени. Монохроматическая волна не может служить для передачи сигнала.

Приближение ( > 0) можно использовать для описания дисперсии в стекле рентгеновского излучения, частота которого в несколько тысяч раз больше частоты видимого света. Очевидно, что здесь n < , хотя и мало отличается от 1, так как в данном случае частота велика. Формально такой же результат получается и при описании совершенно иного явления: распространения радиоволн в ионосфере. Ионосфера представляет собой полностью ионизованный газ (плазму), в которой излучающие электроны не связаны внутриатомными силами. Можно положить0 = 0, и для таких "свободных" электронов условие 0 будет выполняться даже в области низкочастотных колебаний paдиодиапазона. Формула (1.418) принимает в этом случае вид:

Теоретические соображения, изложенные выше, справедливы не только для электронов, но и для ионов, и притом классические представления для них более обоснованы ввиду относительно больших масс ионов. Кроме того, во всех телах, даже в одноатомных газах с одним оптическим электроном, имеется не одна, а несколько полос поглощения. Чтобы учесть это, в классической модельной теории предполагается, что вещество построено из частиц различного типа - электронов и ионов, которые ведут себя как затухающие гармонические осцилляторы с различными собственными частотами и коэффициентами затухания. Пренебрегая в газах их взаимодействием, формулу для дисперсии (1.412) можно представить так:

173

где Nk , mk , ek , 0k , k концентрация, масса, заряд, собственная частота и коэффициент затухания осциллятора k-го типа. Каждой собственной частоте соответствует своя линия поглощения, вблизи которой показатель преломления меняется аномально. Общий ход показателя преломления в зависимости от частоты представлен схематически на рис. 5.4. Величина fk, входящая в формулу (1.420) и называемая силой или эффективностью отдельных сортов осцилляторов, вводится для согласования с опытом, притом

fk 1. k

Классическая дисперсионная формула (1.420) дли газов с большой точностью описывает фактически наблюдаемый ход показателя преломления вблизи отдельных линий поглощения 0k, но лишь при условии, что коэффициенты Nk, а также собственные частоты 0k и коэффициенты затухания k рассматриваются как эмпирические постоянные, определяемые из самой кривой дисперсии и фактического положения спектральных линий в спектре излучения или поглощения вещества.

Ри с. 5.4

Ктакой же дисперсионной формуле приводит и квантовая теория, в которой, однако, параметры 0k и fk приобретают вполне определенный физический смысл. Согласно квантовым представлениям, атом при отсутствии внешних полей может находиться только во вполне определенных стационарных состояниях, в которых его

энергия может принимать также вполне определенные дискретные значения E1, E2, ...

(уровни энергии). При переходе атома из одного состояние в другое происходит испускание (или поглощение) света c частотой, определяемой правилами Бора:

При переходе атома с высшего энергетического уровня на более низкий уровень происходит излучение света с испусканием кванта энергии. При обратном переходе атома с низшего энергетического уровня на более высокий уровень происходит возбуждение атома с поглощением кванта энергии. Т.о., в отличие от классического гармонического осциллятора, атом, даже если он одноэлектронный, излучает (или поглощает) не одну частоту 0, а целый спектр частот jk, которые в квантовой теории дисперсии и играют роль собственных частот атома.

Сила осциллятора в квантовой теории тоже приобретает ясный физический смысл; она оказывается пропорциональной вероятности перехода из k-го в j-ое состояние. Чем больше эта вероятность, тем большая часть из имеющихся в k-ом состоянии атомов перейдет за единицу времени в j-ое состояние, т.е. тем эффективнее данный переход участвует в явлении.

174

Дисперсия в металлах

В металлах некоторые из электронов не связаны с каким-либо определенным атомом; это "свободные" электроны, ответственные за электрическую проводимость металла. В отличие от рассмотренных выше оптических электронов в атомах диэлектрика на свободные электроны не действует "квазиупругая" сила, привязывающая их к какому-то отдельному атому, но сила "трения" характеризующая сопротивление движению электрона, остается. Поэтому уравнение классической теории дисперсии и все следствия из него можно применить к свободным электронам, положив обусловленную квазиупругой силой собственную частоту 0 равной нулю.

Электроны проводимости участвуют в тепловом движении и все время изменяют свое положение. В результате оказывается, что действующее на них

Следовательно, мы должны взять формулу (1.412), полученную для разреженной среды (без поправки на отличие локального поля от среднего), и положить в ней

0 = 0:

Константа p зависит от концентрации N свободных электронов и называется в данном случае плазменной частотой. Постоянную затухания в (1.421) можно оценить, выразив ее через удельную проводимость металла для постоянного тока.

Формула (1.421) для показателя преломления в металлах предсказывает совершенно разный характер распространения волн в областях низких и высоких частот. При низких частотах, когда << (для меди это соответствует электромагнитным волнам длиной порядка 1 мм и более) формула (1.421) приводит к комплексному показателю преломления с одинаковыми вещественной и мнимой частями n = >> 1. Такие волны проникают в глубь металла на расстояние, которое много меньше длины волны в вакууме (скин-эффект). Коэффициент отражения R для них близок к единице, т.е. они практически полностью отражаются от поверхности.

Впротивоположном случае высоких частот, удовлетворяющих неравенству

>> в формуле (1.421) можно пренебречь мнимым слагаемым 2i по сравнению с и для диэлектрической проницаемости получается вещественное выражение.

При высоких частотах характер дисперсионных явлений в металлах обусловлен инерцией свободных электронов: за промежуток времени между двумя актами рассеяния, который в среднем равен = 1/(2 ), электрон успевает совершить много вынужденных колебаний, так как при >> их период Т << .

Из формулы (1.422) видно, что плазменная частота p имеет смысл своего рода критической частоты. При < p диэлектрическая проницаемость отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый. Это значит, что волны с < p (но >> ) не могут распространяться в металле из-за сильного затухания, причем это затухание не связано с поглощением (т.е. диссипацией) энергии. В самом деле, диэлектрическая проницаемость вещественна (а истинное поглощение происходит только при

175

Im 0), да и выражение (1.422) для () получается при пренебрежении диссипативным членом в уравнении движения электрона. Фактически при < p происходит полное отражение падающей волны. При чисто мнимом показателе преломления коэффициент отражения равен единице.

При > p показатель преломления становится вещественным, а металл прозрачным для излучения. Обычно плазменная частота у металлов попадает в область рентгеновских лучей, но для некоторых металлов область прозрачности начинается с ультрафиолетовых лучей. Например, у натрия длина волны, соответствующая граничной частоте p, составляет 210 нм, что хорошо согласуется с теоретической оценкой. Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра была обнаружена на опыте Вудом в 1943 г.

Для промежуточных частот ( ) нужно пользоваться полным выражением (1.421), а не его предельными формами. В этом случае у показателя преломления отличны от нуля зависящие от частоты вещественная и мнимая части. Это значит, что волны разных частот при распространении в металле по-разному затухают. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для видимого света. Например, тонкий слой золота, полученный напылением в вакууме на стеклянную подложку, пропускает видимый свет, но сильно поглощает инфракрасное излучение. Экспериментальные методы определения оптических констант металлов основаны на исследовании поляризации отраженного света.

Уравнения (1.421) или (1.422), описывающие дисперсию электромагнитных волн в среде со свободными электронами, в равной мере применимы к электронам проводимости в металлах и к свободным электронам в плазме, например, в ионосферной плазме. Полученные выше выражения (при надлежащих значениях N и) можно использовать для объяснения характера распространения радиоволн в ионосфере Земли. Граничная частота здесь попадает в радиодиапазон, поэтому волны длиной порядка 10 м и более отражаются ионосферой, что широко используется для радиосвязи, тогда как ультракороткие (УКВ) свободно проходят сквозь нее. Это обстоятельство открывает возможность радиолокации Луны и планет и жизненно важно для радиоастрономии, использующей технику ультракоротких волн. Исследование частотной зависимости отражения радиоволн дает хороший метод изучения ионосферы, в частности определения N по критической частоте.

В случае очень высоких частот диэлектрическая проницаемость ( ) любого вещества стремится к единице: при очень быстрых изменениях напряженности поля процессы поляризации не успевают происходить. Предельный вид функции () при больших частотах, справедливый для любых тел (безразлично

– металлов или диэлектриков), можно установить, рассматривая электроны вещества как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов. Для этого частота поля должна быть велика по сравнению с собственными частотами электронов в атомах данного вещества. Пренебрегая 0 по сравнению с, для () получаем такое же выражение (1.422), как и в металлах:

с той разницей, что в 2p Ne2(m 0 ) под N нужно понимать не концентрацию электронов проводимости, а полное число электронов в единице объема вещества.

176

Область применимости этой формулы начинается от далекого ультрафиолета у самых легких элементов и от рентгеновских частот у более тяжелых элементов.

При частотах, соответствующих рентгеновскому излучению, перестает выполняться условие >> a (a – среднее расстояние между атомами среды). Поэтому, строго говоря, макроскопическое описание поля здесь неприменимо и среду нельзя рассматривать как непрерывную. Нужно исходить из рассеяния рентгеновского излучения на отдельных электронах, распределенных в пространстве с некоторой плотностью N(x, y, z)). В кристаллах эта функция координат будет трехмерно периодической, отражая упорядоченное расположение атомов в узлах кристаллической решетки. Когда длина волны меньше пространственного периода решетки, при определенных условиях возможно появление волн, распространяющихся в направлениях, сильно отличающихся от направления падающей волны. Это явление подобно образованию дифракционных максимумов при попадании света на оптическую дифракционную решетку. Однако если интересоваться распространением рентгеновского излучения в веществе в направлении, близком к направлению падающей волны, то зависимость плотности числа электронов N(x, y, z) от координат становится несущественной и вместо нее можно рассматривать усредненную по объему величину N – полную концентрацию электронов. Поэтому для преломления на малые углы, несмотря на нарушение условия >> a диэлектрическая проницаемость () и показатель преломления n( ) сохраняют свой обычный смысл и для рентгеновского излучения.

Из приведенной формулы видно, что показатель преломления рентгеновских лучей меньше единицы, хотя и очень мало отличается от нее. Его можно измерить, наблюдая предельный угол полного отражения рентгеновских лучей при переходе из воздуха в среду. Для = 0,1 нм в стекле n = 1 – 5 10–6.

Широкое применение рентгеновских лучей в медицине и в технике основано именно на том, что показатель преломления для них практически не отличается от единицы. Глубина проникновения рентгеновских лучей в металлах больше, чем для видимого света, но во многих других веществах она даже отдаленно не приближается к тем громадным глубинам проникновения, которых можно достичь в видимой или инфракрасной области. Прозрачная для видимого света атмосфера Земли полностью поглощает приходящее из космоса рентгеновское излучение (рентгеновская астрономия стала возможной только при выведении телескопов на спутниках за пределы атмосферы). Аналогично обстоит дело и в таких средах, как вода и стекло. Но видимый свет, для которого показатели преломления этих сред имеют значения около 1,5, чрезвычайно чувствителен к внутренним граничным поверхностям. В таких неоднородных средах, как, например, мышцы и другие ткани организма, происходит диффузное отражение света на многочисленных граничных поверхностях, разделяющих отдельные области, что делает эти среды непрозрачными для видимого света. Рентгеновские лучи, для которых во всех средах n 1, как бы не замечают этих граничных поверхностей. Поэтому шапка мыльной пены совершенно не прозрачна для видимого света (дает на экране черную тень) и полностью прозрачна для рентгеновских лучей.

177

Поглощение света

Введенный нами в классической теории дисперсии коэффициент q , который

колебаний электрона в атоме, объясняет фактически явление абсорбции или поглощение света. Действительно, мы получили, что амплитуда плоской волны, распространяющейся в поглощающей среде, затухает, и записали также закон изменения интенсивности волны, так называемый закон Бугера (см. формулу (5.25)

коэффициент поглощения, зависящий, в общем, от длины волны и равный 4 x/0. При q = 0 коэффициент , χ (а следовательно, и ) обращается в нуль, т.е.

среда, для которой q = 0, не поглощает света. Однако, коэффициент q скрывал в себе целый ряд различных процессов, ведущих к растрате энергии, заимствованной электроном от падающей волны. Мы говорили о радиационном затухании, например, вследствие излучения колеблющимся электроном вторичных волн. Эта причина не вызывает превращения лучистой энергии первичной волны в другие формы энергии, а лишь обуславливает рассеяние этой лучистой энергии во все стороны. Затухание вследствие рассеяния проявляется для изолированного осциллятора. Вторичные волны, рассеянные различными осцилляторами среды, когерентны между собой. Вследствие интерференции вторичных волн в однородной среде ослабление падающей волны может быть скомпенсировано. Затухание вследствие излучения тем больше, чем больше излучение, т.е. чем больше амплитуда вынужденного колебания. Так как в знаменателе выражения для амплитуды стоит ( ), как представлено в формуле (1.405), то она достигает максимума при = 0, т.е. максимальное поглощение соответствует той частоте = 0, которая совпадает с частотой собственного колебания атома.

Существуют также процессы, ведущие к "истинному" поглощению света, т.е. сопровождающиеся переходом лучистой энергии волны в иную форму, например: в тепло. Для газовой фазы, например, такой процесс состоит в столкновении возбужденного, колеблющегося атома с другим атомом с превращением колебательной энергии в энергию поступательного движения столкнувшихся атомов, т.е. в тепло. И этот процесс поглощает особенно много энергии в том случае, когда= 0. В случае конденсированных сред передача энергии от возбужденного атома или молекулы облегчена в силу плотного расположения частиц и сильного их взаимодействия.

Поскольку коэффициент поглощения в законе Бугера зависит от длины волны (от длины волны или частота зависит коэффициент затухания или χ), то обычно его значения дают в виде таблиц или графика довольно сложного вида. Зависимость от длины волны света называют спектром поглощения вещества.

Например, для паров большинства металлов при невысоком давлении, представляющих собой совокупность изолированных атомов, расположенных на значительном расстоянии друг от друга, коэффициент поглощения очень мал везде, и лишь для очень узких спектральных областей (шириной в несколько сотах ангстрема) обнаруживает резкие максимумы. Положения максимумов соответствуют

178

частотам собственных колебаний атомов. Спектр поглощения многоатомных газов представляет ряд более или менее сложных полос. По мере повышения давления газов спектры поглощения их становятся все более расплывчатыми и приближаются при высоких давлениях к спектрам поглощения жидкостей, которые имеют широкие полосы (шириной единицы тысячи Å) с плавным ходом изменения коэффициента поглощения.

Закон Бугера имеет ограниченную область применимости, но если интенсивность света не слишком велика и продолжительность пребывания атомов и молекул в возбужденном состоянии достаточно мала, то закон выполняется с высокой степенью точности. Это означает, что показатель поглощения не зависит от интенсивности света, а следовательно, и от толщины поглощающего слоя.

Исследование вопроса о поглощении света средой, плотность которой не везде одинакова, показало, что "свет может претерпевать равные изменения, лишь встречая равное число частиц, способных задерживать лучи или рассеивать их". Следовательно, для поглощения имеют значение "не толщины, а массы вещества, содержащиеся в этих толщинах". Во многих случаях, когда имеет место поглощение света молекулами газов или молекулами вещества, растворенного в практически непоглощающем растворителе, коэффициент поглощения оказывается пропорциональным числу молекул на единицу длины пути световой волны или на единицу объема, т.е. пропорционален концентрации С. Обобщенный закон Бугера принимает вид:

где a коэффициент, не зависящий от концентрации и характерный для молекулы поглощающего вещества.

Утверждение, что a есть постоянная величина, не зависящая от концентрации, именуется законом Бера, физический смысл которого состоит в том, что поглощающая способность молекулы не зависит от влияния окружающих молекул. Закон этот надо рассматривать скорее как правило, ибо наблюдаются отступления от него, особенно при больших концентрациях, когда значительно уменьшаются расстояния между молекулами поглощающего вещества. Обнаружена также зависимость a от природы растворителя.

В тех случаях, когда a можно считать не зависящим от концентрации поглощающего вещества, обобщенный закон Бугера (1.424) используется для определения концентрации путем измерения поглощения, которое может быть выполнено очень точно при помощи фотометров более или менее сложной конструкции. Этим приемом пользуются в лабораторной и промышленной практике для быстрого определения концентрации вещества, химический анализ которого оказывается очень сложным.

5.4Отражение и преломление световых волн на границе

раздела двух диэлектриков

Законы отражения и преломления света

Как отмечалось, световая волна, проникая в вещество, вызывает вынужденные колебания заряженных частиц вещества (электронов и ионов) так, что эти частицы

179

сами становятся источниками вторичных волн. Вторичные волны когерентны, поэтому интерферируя между собой и падающей волной, формируют волну отраженную и преломленную. Притом максимум интерференции наблюдается по направлениям, которые удовлетворяют законам отражения и преломления. Рассматривая задачу интерференции, можно определить амплитуду и фазу преломленной и отраженной волн. Этот метод сложный. Интересен и другой метод, основанный на макроскопической теории Максвелла, который не объясняет возникновения преломленной и отраженной волн, но позволяет определить их характеристики. Для этого достаточно воспользоваться граничными условиями для электромагнитных полей, которые при отсутствии поверхностных токов имеют вид

Ри с. 5.5

Впервой среде поля создаются падающей и отраженной волнами. Во второй среде поле создается только преломленной волной.

Первую среду будем характеризовать параметрами:

плоскостью границы раздела, а xОz – плоскость падения.

180

Предполагаем, что на границу раздела падает плоская монохроматическая вол-

Граничное условие должно выполняться в любой момент времени. Это возможно лишь при выполнении условия 0 = 1 = 2. Если первичная волна является мощной лазерной волной, то вынужденные колебания могут происходить на частотах, кратных частоте первичной волны.

Граничные условия должны выполняться в любой точке границы раздела, а это означает, что

Из условия (1.435) следует, что если k0y = 0, то k1y = k2y = 0, т.е. все волновые вектора лежат в плоскости xОz. А это означает, что лучи падающий, отраженный и преломленный лежат в одной плоскости.

181

Законы отражения и преломления света определяют только направления отраженной и преломленной волн.

Если учтем теперь, что граничное условие выполняется в любой точке границы

5.5Формулы Френеля

Рассчитаем амплитуды отраженной и преломленной волн. Предположим, что обе среды (однородные и изотропные) обладают нулевой проводимостью и, следовательно, совершенно прозрачны; их магнитные проницаемости фактически будут отличаться от единицы на пренебрежимо малые величины, и поэтому мы положим 2 = 1 = 1.

Пусть E00 – амплитуда электрического вектора поля падающей волны, будем считать ее в общем случае комплексной величиной с фазой, равной постоянной части аргумента волновой функции. Переменная ее часть имеет вид:

где N0 единичный вектор нормали к фронту волны.

Разложим каждый вектор на компоненты параллельную (снабдим ее индексом ||) и перпендикулярную (индекс ) плоскости падения. Выбор положительных направлений для параллельных компонент, указан на рис. 5.5. Перпендикулярные компоненты располагаются перпендикулярно к плоскости рисунка.

Тогда компоненты электрического вектора поля падающей волны запишутся в

виде:

182