Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

(1.613), начинается испускание лазерного излучения (рис.8.6). Импульсная накачка лазера (пунктирная линия импульс накачки; сплошная импульс излучения).

При непрерывной накачке, которая постоянно обеспечивает соблюдение условия (1.614), излучение лазера непрерывно. Следует, однако, отметить, что при непрерывной накачке возможен также импульсный режим излучения, так же как возможно излучение нескольких импульсов излучения при одном импульсе накачки.

Для повышения мощности излучения необходимо увеличить число атомов, участвующих в усилении светового потока в резонаторе лазера за счет индуцированного излучения, и уменьшить длительность импульса.

Метод модулированной добротности

Чтобы увеличить число атомов, участвующих почти одновременно в усилении светового потока, необходимо задержать начало генерации, чтобы накопить как можно больше возбужденных атомов, создающих инверсную заселенность, для чего надо поднять порог генерации лазера и уменьшить добротность. Это можно сделать посредством увеличения потерь светового потока. Например, можно нарушить параллельность зеркал, что резко уменьшит добротность системы. Если при такой ситуации начать накачку, то даже при значительной инверсии заселенности уровней генерация не начинается, поскольку порог генерации высок. Поворот зеркала до параллельного другому зеркалу положения повышает добротность системы и тем самым понижает порог генерации. Когда добротность системы обеспечит начало генерации, инверсная заселенность уровней будет весьма значительной. Поэтому мощность излучения лазера сильно увеличивается. Такой способ управления генерацией лазера, называется методом модулированной добротности.

Продолжительность импульса излучения зависит от того, в течение какого времени вследствие излучения инверсная заселенность изменится настолько, что система выйдет из условия генерации. Продолжительность зависит от многих факторов, но обычно составляет 10–7 – 10–8 с.

Очень распространено модулирование добротности с помощью вращающейся призмы. При определенном положении она обеспечивает полное отражение падающего вдоль оси резонатора луча в обратном направлении. Частота вращения призмы составляет десятки или сотни герц Импульсы лазерного излучения имеют такую же частоту.

Более частое повторение импульсов может быть достигнуто модуляцией добротности с помощью ячейки Керра. Ячейку Керра и поляризатор помещают в резонатор. Поляризатор обеспечивает генерацию лишь излучения определенной поляризации, а ячейка Керра ориентирована так, чтобы при наложении на нее напряжения не проходил свет с этой поляризацией. При накачке лазера напряжение с ячейки Керра снимается в такой момент времени, чтобы начавшаяся при этом генерация была наиболее сильной.

Имеются также и другие способы введения потерь, приводящие к соответствующим методам модуляции добротности.

8.3. Нелинейные явления в оптике

Систематические исследования характера оптических явлений в различных средах от интенсивности света, которые стали возможными после создания лазеров,

273

привели к возникновению новой области физики нелинейной оптики. Чтобы понять ее содержание, необходимо напомнить, что представляет собой обычная (линейная) оптика.

Оптику слабых световых потоков, изучающую оптические явления характер которых не зависит от интенсивности света, называют линейной. Причины, по которым в линейной оптике характер явлений не зависит от интенсивности излучения, можно выявить, обратившись к ее теоретическим основам. Эффекты взаимодействия света с веществом можно трактовать как на классическом, так и на квантовом языке. Квантовые представления необходимы при анализе поглощения и излучения света атомными системами. При изучении же распространения света в среде в области прозрачности, т.е. вдали от полос поглощения, вполне удовлетворительно классическое описание, которым мы и воспользуемся.

Взаимодействие света со средой. Поляризованность среды

Оптические свойства среды в линейной оптике описываются такими не зависящими от интенсивности характеристиками, как коэффициент преломления n и коэффициент поглощения χ. Объяснение преломления и поглощения света и схема расчета величин n и χ хорошо известны. Обратимся сначала к классической лоренцевской модели гармонического осциллятора одиночного атома, содержащего ядро и единственный электрон. Если к этому атому приложить электрическое поле, то расстояние между электроном и ядром изменится, у атома появится электрический дипольный момент он поляризуется. Если электрическое поле изменяется, то и поляризация в модели Лоренца изменяется аналогичным образом; частота изменения равна частоте изменения приложенного поля. Другими словами, электрон в переменном электрическом поле колеблется около своего положения равновесия, образуя колеблющийся диполь. Этот диполь излучает электромагнитную волну, частота которой равна частоте колебаний диполя и следовательно частоте приложенного поля. Фаза волны также, как и фаза колебаний диполя, определяется возвращающей силой силой взаимодействия электрона с ядром атома.

Предположение, что переизлученное поле зависит от времени точно также как и поле падающей на среду волны, справедливо для линейной оптики. Эти поля отличаются только фазами и амплитудами. Сдвиг фаз между падающим и переизлученным полями в каждом атоме является причиной отличия фазовой скорости света в среде от скорости света в вакууме. Этим объясняется отличие от единицы показателя преломления: n c /v . Потеря энергии при элементарном акте взаимодействия волны с атомом является причиной поглощения световой волны средой.

Дипольный момент, приобретенный атомом под действием световой волны, пропорционален напряженности поля волны при не слишком больших ее значениях:

Коэффициент называется линейной атомной восприимчивостью или коэффициентом поляризуемости. Вынужденное движение электронов среды в поле световой волны макроскопически проявляется в возникновении поляризованности среды, которая складывается из индуцированных электрическим полем волны

274

который связан с напряженностью E электрического поля линейным материальным уравнением D 0 E , можно определить диэлектрическую проницаемость среды , а , следовательно и показатель преломления немагнитной среды:

характеристики среды не зависят от интенсивности световой волны. Волны разных частот и направлений распространяются в среде независимо друг от друга, т.е. имеет место принцип суперпозиции.

В интенсивных лазерных пучках, напряженность электрического поля в которых сравнима с внутриатомными полями (Eа ~1011 В/м), связь индуцированного дипольного момента уже не будет линейной, что проявится в зависимости оптических характеристик среды от интенсивности световой волны. В средах, свойства которых зависят от интенсивности или от напряженности поля нарушается принцип суперпозиции. Волны разных частот или разных направлений в нелинейной среде взаимодействуют между собой. Возникают и эффекты самовоздействия.

С нелинейными явлениями взаимодействия и самовоздействия все чаще приходится сталкиваться в современной лазерной оптике, акустике, физике плазмы. Нелинейные эффекты оказываются весьма существенными и при распространении мощных радиоволн в ионосфере.

Чтобы составить представление о линейной и нелинейной поляризуемости атома, запишем уравнение, которым описывается смещение из положения равновесия в поле световой волны. Для простоты речь идет об изотропной среде, где направление смещения электрона совпадает с направлением поля, ориентированного, например, вдоль оси Ox. В первом приближении, соответствующем линейной оптике, сила F, удерживающая электрон в положении равновесия, считается пропорциональной смещению электрона из положения равновесия, F = – kx, т.е. носит квазиупругий характер. Это соответствует квадратичной зависимости потенциальной энергии электрона от его смещения, U(x) = kx2/2. В следующих приближениях нужно учесть члены более высокой степени в разложения U(x) в ряд по степеням смещения из равновесия

Коэффициенты , определяются строением атома и обуславливают ангармонический характер движения (электрона) осциллятора. Нечетные степени в разложении U(x) могут быть только у систем без центра симметрии. В такой усовершенствованной модели уравнение движения электрона в пренебрежении затуханием принимает вид

275

ангармонические члены x2, x3, … имеют характер небольших поправок, уравнение (1.622) можно решать методом последовательных приближений.

В нулевом приближении ангармонические члены отбрасываются и уравнение сводится к основному уравнению классической теории дисперсии линейной оптики,

Дипольный момент, приобретенный отдельным атомом под действием световой волны, пропорционален смещению электрона из положения равновесия (p = ex), что в

Решение нулевого приближения x0(t) подставляется в ангармонические члены уравнения (1.622) вместо x и в следующем приближении нужно решать линейное уравнение, в котором играющая роль вынуждающей силы правая часть содержит кроме cost гармонические составляющие на удвоенной и утроенной частотах:

Поэтому и частное решение неоднородного уравнения, описывающее установившиеся колебания, кроме слагаемого x0(t) на основной частоте содержит слагаемые с частотами 2, 3, …

Следовательно, для ангармонических колебаний зависимость x(t) усложняется и становится нелинейной. Поэтому и поляризованность среды, которую можно

представить в виде P Nex , перестает быть линейной функцией от E. В сильных

световых полях материальное уравнение (1.620), связывающее поляризованность среды с напряженностью электрического поля, становится нелинейным.

Для однородной анизотропной среды, без учета ее магнитных свойств и пространственной дисперсии, такое материальное уравнение в общем виде можно записать так:

где в соответствии с общепризнанной символикой подразумевается, что по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. i, k, l, m пробегают значения декартовых индексов. Тензор второго ранга ik представляет собой обычную

276

(линейную) восприимчивость среды, а тензоры высших порядков ikl, iklm, … называются соответственно квадратичной, кубичной и т. д. Поле E в (1.624) предполагается монохроматическим, а восприимчивости зависят от его частоты. Тензорный вид материального уравнения обусловлен тем, что для анизотропных сред

направление вектора P в общем случае не совпадает с направлением вектора

напряженности электрического поля E . Если среда обладает центром симметрии, то все восприимчивости четных порядков обращаются в нуль (четность определяется числом индексов без первого). Так будет, например, в изотропной среде или кубических кристаллах. В таких средах невозможны эффекты, обусловленные восприимчивостями четных порядков.

При качественном описании нелинейных явлений можно воспользоваться упрощенной моделью среды, считая поляризованность параллельной напряженности поля и полагая в материальном уравнении (1.624) восприимчивости всех рангов скалярами:

Надо только иметь в виду, что в кристаллах в выбранном направлении могут распространяться волны не всех, а только избранных поляризаций. Соотношение (1.625) применимо к каждой из таких волн, причем для различных волн 1, 2, 3, … имеют различные значения.

Итак, на примере простой классической модели показано, что нелинейные восприимчивости появляются за счет ангармонических членов в потенциальной энергии оптического электрона. Электронный механизм появления нелинейности преобладает в твердых телах. Зависимость оптических характеристик среды от интенсивности световой волны может быть обусловлена не только влиянием поля волны на поляризуемость атома, но и воздействием на концентрацию и ориентацию атомов и молекул. В жидкостях эти факторы играют главную роль. Одна из причин локальных изменений концентрации молекул в световой волне связана с электрострикцией. Электрическое поле световой волны создает в среде всестороннее давление, пропорциональное квадрату напряженности поля. В результате сжатия возникают локальные изменения плотности среды (т.е. концентрации молекул), а следовательно, и показателя преломления.

Если молекулы среды анизотропны, т.е. поляризуемость молекул по разным направлениям различна, но при отсутствии внешнего поля все ориентации молекул равновероятны (что характерно для газов и жидкостей), то среда в целом будет изотропной. В сильных световых полях анизотропные молекулы ориентируются определенным образом относительно поля, и среда в оптическом отношении превращается в одноосный кристалл (так проявляется высокочастотный эффект Керра). Возникающая при этом нелинейность носит ориентационный характер.

Показатель преломления среды, кроме того, всегда изменяется из-за нагревания среды световой волной при ее поглощении. Во всех этих случаях проявляется зависимость оптических характеристик среды от интенсивности световой волны и все возможные механизмы возникновения нелинейности учитывает феноменологическое материальное уравнение (1.625).

277

Основные нелинейные эффекты

Для описания нелинейных эффектов удобно разделять поляризованность среды на линейную и нелинейную части:

Наличие поляризованности среды означает, вообще, возникновение в ней поляризационных зарядов и токов, обусловленных связанными в атомах электронами. Эти заряды и токи, как источники полей, необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении электромагнитного поля. Когда

вещество поляризовано неоднородно, т.е. вектор P меняется от точки к точке, то физически бесконечно малый элемент объема приобретает не только дипольный момент, но и отличный от нуля полный заряд. Макроскопически этот поляризационный заряд характеризуется объемной плотностью , которая

означает, что создающие ее заряды движутся, т.е. возникает поляризационный ток,

Диэлектрическая проницаемость здесь выражается только через линейную восприимчивость, т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной оптике. Если бы имелась

только линейная часть Pл , то для векторов E и B в среде получалась бы система однородных уравнений, аналогичная уравнениям поля в вакууме.

Учет Pнл приводит к системе нелинейных уравнений для векторов световой

волны, что означает нарушение принципа суперпозиции. Уравнения Максвелла примут вид:

Эту систему, как и уравнение для ангармонического осциллятора, можно решать методом последовательных приближений. В нулевом приближении правые части отбрасываются и уравнения (1.627)(1.630)превращаются в обычные однородные уравнения линейной оптики. Возможное их решение плоская монохроматическая

волна E0 r ,t . Для нахождения следующего приближения в правые части уравнений

выражением из нулевого приближения, и отброшены кубичные и высшие члены. Получим опять линейные, но уже неоднородные уравнения с известными правыми

278

частями. Эти правые части могут быть истолкованы как добавочные источники волн, обусловленные нелинейной частью поляризованности среды. Каждый элемент объема dV среды переизлучает волны как осциллирующий диполь Герца с

волну нулевого приближения, создают волновое поле E0 E в первом приближении. Второе приближение находится аналогично. Для этого выражение для нелинейной

одна монохроматическая волна частоты , то с учетом нелинейных членов поляризованности среды в правой части уравнения (1.627), (1.628), появятся слагаемые не только с исходной частотой , но и с частотами 2, 3, … Уравнения Максвелла следует написать для каждой частоты в отдельности и искать решение этих уравнений в виде распространяющихся волн с такими же частотами, при этом в случае диспергирующей среды следует брать значения диэлектрической проницаемости при той же частоте.

8.4. Первое приближение. Оптическое детектирование. Генерация второй гармоники

Рассмотрим более подробно нелинейные эффекты, обусловленные квадратичной восприимчивостью 2. В поле монохроматической волны частотой нелинейная часть поляризованности имеет вид:

Первое слагаемое в этом выражении не зависит от времени. С ним связано так называемое оптическое детектирование. При прохождении через нелинейную среду интенсивной световой волны в среде возникает статическая поляризованность, создающая постоянное однородное электрическое поле. Этот эффект вполне аналогичен выпрямлению переменного тока и находит применение в детекторах мощных световых пучков. В детекторе проходного типа измеряется напряжение, возникающее на обкладках конденсатора нанесенных на боковые грани нелинейного кристалла, при прохождении сквозь него лазерного импульса»

Второе слагаемое в (1.631) гармонически меняется во времени с удвоенной частотой основной волны ( 2 = 21). С ним связана генерация второй гармоники в нелинейной среде. Для нахождения поля этой гармоники поступаем так, как излагалось раньше. Представим это слагаемое как вещественную часть комплексного

279

откуда получим значение напряженности электрического поля вынужденной волны на удвоенной частоте:

Надо еще удовлетворить условию, чтобы на входе в нелинейную среду (где поместим начало координат) интенсивность второй гармоники обращалась в нуль. для этого к частному решению, найденному выше, надо добавить общее решение однородной системы уравнений, соответствующей уравнениям Максвелла с учетом нелинейной части поляризованности среды. Такое решение представляет собой

свободно распространяющуюся в среде волну E2 cos 2t k2r с частотой 2 = 2

направление распространения и амплитуду следует выбрать так, чтобы на входе в нелинейную среду суммарная напряженность поля вынужденной и свободной волны частоты 2 обращалась в нуль. В результате для второй гармоники, возвращаясь снова к вещественной форме записи, получаем следующее выражение:

280

но с разными фазовыми скоростями. Поэтому по мере их движения будет меняться разность фаз между ними, возникает характерное в таких случаях явление биений. Предполагая, например, что интенсивная световая волна частотой входит в нелинейную среду вдоль оси Oz, выражение (1.638) преобразуется к виду:

откуда следует, что амплитуда напряженности поля для второй гармоники периодически зависит от z , т.е. от глубины проникновения в нелинейную среду. Зависимость интенсивности второй гармоники от z. показана на рис. 8.7. Интенсивность обращается в нуль при (k2 – 2k)/2 = m , где m целое число, В таких точках вторичные волны частотой 2 , испущенные разными точками среды, гасят друг друга в результате интерференции. Так как

то это условие можно записать в виде z = 2mlког где расстояние lког = /4[n(2 ) – n( )] называют когерентной длиной. На интервале от 0 до lког фазовые отношения таковы, что энергия от исходной волны передается второй гармонике, а на интервале от lког до 2lког возвращается в исходную волну. Этот процесс периодически повторяется по мере распространения исходной волны в нелинейной среде.

z

Р и с. 8.7 Впервые генерация второй гармоники была осуществлена Франкеном с

сотрудниками в 1961 г. при прохождении импульса излучения рубинового лазера ( = 694,3 нм) через пластинку кварца. Излучение второй гармоники ( = 347 нм) соответствует ближней ультрафиолетовой области. Однако коэффициент преобразования энергии основного пучка в энергию второй гармоники в этих опытах был очень мал (~ 10 – 8). Это объясняется малостью когерентной длины lког в кварце.

Когда

а потому 2k k2 , то длина когерентности обращается в бесконечность. В этом

случае переход энергии от исходной волны ко второй гармонике особенно интенсивен и наблюдается на протяжении всего пути в нелинейной среде. Это происходит потому, что при выполнении условия (10) исходная волна, создающая нелинейную поляризованность на частоте 2 , и испускаемые средой на этой частоте вторичные волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью и фазовые соотношения между ними всюду одинаковы. Вся нелинейная среда действует как

281

объемная сфазированная решетка элементарных диполей с максимумом излучения в направлении распространения. Поэтому условие (1.641)называют условием фазового синхронизма между исходной волной и ее второй гармоникой. При выполнении этого условия выражение (1.640) становится неопределенным. Преобразуем знаменатель:

Учитывая, что (k1 – 2k)/2 = n/c, получаем выражение для интенсивности второй гармоники:

При выполнении условия фазового синхронизма и u = 0 для всех z и отношение (sin u/u). принимает максимальное значение, равное 1. Интенсивность второй гармоники пропорциональна квадрату толщины слоя нелинейной среды. Ее энергия возникает за счет энергии исходной волны и формула (1.642) верна лишь для тех значений z, для которых I2 < I0. В противном случае метод последовательных приближений, которым она получена, становится неприменимым.

Для изотропной среды выполнение условия (1.641) невозможно, так как в области ее прозрачности показатель монотонно возрастает с частотой. Однако фазовый синхронизм можно осуществить между обыкновенной и необыкновенной волнами в некоторых кристаллах. На рис. 8.8 приведены сечения поверхностей, изображающих зависимость показателей преломления n() и n(2) от направления волновой нормали для отрицательного одноосного кристалла дигидрофосфата калия

KH2PO4.

n0( )

Р и с. 8.8 Сплошные кривые относятся к частоте , пунктирные к удвоенной частоте

2. Видно, что поверхности для обыкновенной волны на частоте и необыкновенной на частоте 2 пересекаются между собой. Точкам их пересечения соответствуют направления, для которых между обыкновенной волной с частотой и ее гармоникой с частотой 2 выполняется условие фазового синхронизма, угол между ними и оптической осью кристалла угол синхронизма. Несмотря на

282