Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

Коэффициенты Эйнштейна

В 1917 г. А. Эйнштейн (18791955) предложил элементарную квантовую картину динамического равновесия между излучением и материальной средой, приводящую к правильной формуле излучения абсолютно черного тела.

Обозначим А10 вероятность спонтанного перехода 1 0 в секунду, N1 концентрацию атомов на верхнем уровне. По определению этих величин можно записать

Частота вынужденных переходов, очевидно, пропорциональна плотности излучения. Обозначим В10 и В01 вероятности вынужденных переходов 1 0 и 0 1 в секунду, отнесенные к спектральной плотности излучения w; N0 концентрацию атомов на нижнем уровне. По определению этих величин можно записать

В равновесном состоянии справедливо распределение Больцмана, которое для концентраций атомов принимает вид

где A – нормировочная постоянная. Подставляя (1.585) в (1.584) и сокращая полученное выражение на общий множитель A, находим

Величины A10, В10, B01 называют коэффициентами Эйнштейна. Из физических соображений ясно, что при T должно быть U . Тогда, разделив обе части (1.586) на U , получим

Поэтому соотношение (1.586) может быть записано в виде

где = Е1 - Е0. Теоретически значение отношения А10/В10 в рамках элементарной квантовой теории найдено быть не может. Оно вычисляется в рамках строгой квантовой теории излучения. Однако значение этого отношения можно найти, если учесть, что (1.588) при малых частотах должно совпадать с формулой Рэлея Джинса, а при больших частотах с формулой Вина .При h << kT можем считать, что exp / kT 1 / kT , и записать (1.588) в виде

263

совпадающий с формулой Планка. Хотя элементарная квантовая теория излучения абсолютно черного тела не позволяет теоретически вычислить значения коэффициентов Эйнштейна, она демонстрирует необходимость существования спонтанных и вынужденных переходов, причем для вероятностей вынужденных переходов соблюдается важное соотношение ( B10 B01 ).

Испущенные в результате спонтанных переходов кванты имеют случайное направление распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Кванты, испущенные в результате вынужденных переходов, коррелируют по своим свойствам с излучением, которое вызывает переход. Вынужденное излучение обладает той же поляризацией, тем же направлением распространения и той же фазой, что и вынуждающее переход излучение. Это свойство вынужденного (или индуцированного) излучения чрезвычайно важно для его применений и проявлений.

Оптические усилители и генераторы

При прохождении света через среду осуществляется обмен квантами между пучком света и атомами среды посредством вынужденных переходов и спонтанное испускание квантов. Обозначим частоту излучения, концентрации атомов на верхнем и нижнем уровнях соответственно , N1, N0 (см. рис.8 .2). Спектральную объемную плотность излучения частоты обозначим U . Она изменяется в результате вынужденного поглощения квантов атомами среды, благодаря чему плотность потока уменьшается, и вследствие вынужденного излучения атомов, приводящего к увеличению плотности U . Закон сохранения энергии при вынужденных переходах на основании (1.583) записывается в виде

уравнение (1.591) может быть записано в виде

где скорость света с частотой в среде. Это уравнение может быть переписано в виде

264

где dz/dt – скорость распространения света в среде. Ясно, что здесь речь идет о групповой скорости, с которой распространяется энергия. С учетом (1.596)равнение (1.594) принимает вид

где S0 = S(0).

Экспоненциальная зависимость (1.598) плотности потока от расстояния называется законом Бугера. В состоянии термодинамического равновесия концентрации атомов описываются распределением Больцмана. Из неравенства Е1 > Е0 следует, что N1 < N0 и поэтому < 0. Это означает, что плотность потока по мере прохождения света в среде уменьшается. Механизм уменьшения плотности состоит в следующем. В результате вынужденных переходов атомов с нижнего энергетического уровня на верхний, плотность энергии потока уменьшается. При переходе атомов с верхнего уровня на нижний лишь часть квантов возвращается в поток, а именно кванты, испущенные в результате вынужденных переходов. Кванты, испущенные спонтанно, в поток не возвращаются, что и является причиной уменьшения его плотности

Условия усиления

Если привести систему атомов в неравновесное состояние и тем самым достаточно сильно нарушить распределение Больцмана, то можно добиться изменения концентрации атомов на различных уровнях так, чтобы было N1 = N0 или даже N1 > N0. В первом случае = 0 и пучок через среду распространялся бы без поглощения, а во втором случае > 0 и пучок при прохождении усиливался бы, т.е. среда действовала бы как усилитель светового потока.

Это позволяет создавать генераторы и усилители волн, основанные на индуцированном излучении, которые для светового диапазона называются лазерами, а для микроволнового мазерами. За фундаментальные исследования в области квантовой электроники, которые привели к созданию генераторов и усилителей нового типа мазеров и лазеров, советским ученым А. М. Прохорову и Н. Г. Басову и американскому ученому Ч. X. Таунсу в 1964 г. была присуждена Нобелевская премия. Идея о возможности использования индуцированного излучения для усиления светового потока была высказана в 1940 г. советским физиком В. А. Фабрикантом.

265

Воздействие светового потока на заселенность уровней

Световой пучок, вызывая вынужденные.переходы атомов между уровнями, изменяет их заселенность. Обозначим N полную концентрацию атомов. По определению,

где N1 / учитывает частоту спонтанных переходов. Подставляя в (1.600)выражение для N0 из (1.599), получим

где U = S/ . При достижении стационарного состояния должно соблюдаться условие dN1/dt = 0, которое с учетом (1.601) принимает вид

Из (1.602) видно, что с увеличением плотности потока S заселенность верхнего уровня увеличивается. Это приводит к соответствующему изменению коэффициента.

Условия насыщения

График зависимости от S показан на рис. 8.3. Видно, что при любых S происходит поглощение. При S оно полностью прекращается и наступает насыщение. Поскольку стоит в экспоненте, принимается, что насыщение практически наступает при изменении в два раза по сравнению с его минимальным значением, т. е. при увеличении знаменателя (1.603) в два раза. Поэтому условие насыщения записывается в виде

Таким образом, световой поток выравнивает заселенность двух уровней, между которыми он обусловливает вынужденные переходы, а при достаточно большой

266

плотности потока может даже почти сравнять их заселенность, но он не может создать инверсную заселенность между этими уровнями.

Создание инверсной заселенности

Инверсной заселенности энергетических уровней можно добиться с помощью некоторого воздействия на атомы, независимого от усиливаемого света.

Наиболее простой путь создания инверсной заселенности осуществляется в трехуровневых системах (рис. 8.4,a). На рис. изображено распределение заселённостей в равновесном состоянии системы. При воздействии на систему

излучением большой мощности с частотой н = (E2 – Е0)/ заселенности уровней Е0 и Е2 при выполнении условия (1.605) практически сравниваются. Допустим, что время жизни атомов на уровне Е2 очень мало и они спонтанно переходят на уровень Е1, время жизни на котором у них достаточно велико. Ясно, что атомы на уровне Е1 будут накапливаться, в результате чего создается инверсная заселенность между уровнями Е1 и Е0 (рис. 8.4,б) Этот переход может быть использован для усиления

света с частотой = (E1 – Е0)/ .

Принципиальная схема лазера

Лазер (оптический квантовый генератор, аббревиатура слов английской фразы:

Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation что означает «усиление света вынужденным излучением») — устройство, преобразующее различные виды энергии (электрическую, световую, химическую, тепловую и т.д.) в энергию когерентного электромагнитного излучения оптического диапазона.

Устройство лазера зависит от его назначения, режима работы, диапазона генерируемых длин волн , уровня генерируемой мощности и от того, какой вид энергии преобразуется лазером в когерентное излучение.

Тем не менее, любой лазер, работающий как генератор когерентного излучения, должен состоять из трех элементов:

1) устройства, поставляющего энергию для преобразования её в когерентное излучение; 2) активной среды, которая вбирает в себя эту энергию и переизлучает ее в виде когерентного излучения; 3) устройства, осуществляющего обратную связь.

Для излучения лазера характерны: 1) монохроматичность (когерентность во времени); 2) пространственная когерентность; 3) острая угловая направленность.

267

1) совпадение частоты падающего излучения с одной из частот излучения атома активной среды; 2) инверсия заселенности энергетических уровней; 3) наличие обратной связи между атомами активной среды и испущенным ими излучением.

Рассмотрим каждое из этих условий.

1)Энергетические спектры одинаковых атомов идентичны, поэтому излучение одного атома может индуцировать испускание другого атома, вследствие чего вынужденное излучение возбужденных атомов порождает лавину фотонов, во всем подобных первому фотону и когерентных между собой.

2)Под действием внешней электромагнитной волны могут происходить не только вынужденные переходы с излучением, но и вынужденные переходы с поглощением. При первых переходах энергия воздействующей волны увеличивается,

апри вторых — уменьшается. Вероятность обоих типов переходов одинакова. Поэтому, какой из процессов будет преобладать в реальной системе, зависит от населённостей энергетических уровней, между которыми совершаются переходы.

Отсюда вытекает второе условие, необходимое для генерации света: населенность Nk (число атомов N, имеющих энергию Ek) верхнего уровня должна быть больше населенности Ni нижнего уровня. Тогда число переходов с вынужденным испусканием будет больше числа переходов с поглощением — вещество усиливает

свет. Состояние рабочего вещества лазера, в котором Nk> Ni, называется активным, или состоянием с инверсией (обращением) населённостей. Инверсное состояние, как правило, реализуется, если верхний уровень метастабильный, т.е. долгоживущий. Его обеднение за счет спонтанных переходов значительно меньше, чем любых других

уровней, что связано с разным временем жизни атомов на них (для метастабильного 10–3 с, для остальных (10–8 10–9) с). Инверсная заселенность может быть создана оптической накачкой мощными ксеноновыми лампами (в твердотельных лазерах) или электрическим током (в газовых лазерах).

3) Обратная связь между атомами и их излучением осуществляется при помощи зеркал. В простейшем случае активная среда помещается между двумя зеркалами, одно из которых (З1) частично прозрачно для генерируемого света, второе (З2) почти полностью отражающее (рис. 8.6)

Р и с.8.6

Первоисточником является процесс спонтанного испускания. Испущенная в результате спонтанного перехода атома световая волна усиливается за счет вынужденного испускания при распространении ее через активное вещество. Дойдя до зеркала, свет отразится и снова пройдет через активную среду, усиливая генерацию света, а затем отразится от другого зеркала и т.д. Часть света, падающего на полупрозрачное зеркало З2, пройдет через него. Эта часть световой энергии испускается лазером и может быть использована.

Усиление света в активном веществе и коэффициенты отражения зеркал должны быть такими, чтобы при одном проходе между зеркалами на полу прозрачнее зеркало вернулось световой энергии не меньше, чем в предыдущем

269

случае. Только тогда световая энергия начнет нарастать от прохода к проходу, в противном случае генерации не будет.

Зеркала выполняют роль не только отражателей, возвращающих часть излучения обратно в активную среду, они образуют оптический резонатор. Именно оптический резонатор обеспечивает излучению лазера его основные свойства — высокую направленность и монохроматичность. С точки зрения геометрической оптики, зеркала обеспечивают многократное прохождение света через активную среду. Поскольку коэффициент усиления инверсной среды зависит от толщины проходимого слоя, то многократное прохождение света между зеркалами эквивалентно увеличению длины активной среды, т.е. увеличению усиления.

С другой стороны, многократно пройти через активную среду и усилиться смогут лишь те лучи, которые распространяются под малым углом к оси лазера. Таким образом обеспечивается высокая степень направленности луча лазера. Однако, строго параллельный пучок получить нельзя. Этому препятствует дифракция света. Угол расхождения лучей принципиально не может быть меньше дифракционного предела ~ Д, где Д — ширина пучка. Такой предел практически достижим в лучших газовых лазерах.

Кроме того, оптический резонатор обладает резонансными свойствами. В резонаторе могут стационарно существовать лишь колебания, для которых на длине резонатора укладывается целое число полуволн:

где c — скорость света; L — расстояние между зеркалами; m — целое число. Вследствие потерь в системе резонансы не вполне остры. Полная ширина полосы пропускания резонатора на полувысоте

где Q — добротность резонатора; — полная потеря энергии при однократном прохождении лазера, которая складывается из рассеяния на неоднородностях активной среды, потерь в зеркалах, дифракционных потерь и потерь на торцах активной среды. Чтобы генерация имела место, общие потери в резонаторе должны быть меньше прироста мощности, получаемой при прохождении излучения через активную среду.

Генерация возможна только на резонансных частотах m и ширина генерируемой линии определяется p. Так, для гелий-неонового лазера L = 0,5 м и0,01, получим

Но резонансные явления приводят к еще большему сужению линии излучения. Теоретическая ширина линии излучения определяется формулой

270

где h — постоянная Планка, p — мощность излучения (порядка милливатт), т.е.

Итак, теоретическая ширина линии излучения чрезвычайно мала. Однако практически получить такую ширину вряд ли возможно хотя бы потому, что для этого нужно поддерживать постоянство длины лазера с точностью

L T 4 10 18

L 0

Порог генерации

Элементарный цикл работы лазера включает два последовательных прохождения через активную среду и соответствующие отражения от зеркал. Потери энергии могут быть учтены эффективными коэффициентами отражения R1 и R2 на зеркалах, причем они учитывают не только отражения от зеркал (вообще говоря, различные, поскольку через одно из них из лазера выходит излучение), но и другие потери, о которых говорилось выше. Таким образом, R1 и R2 меньше коэффициентов отражения только от зеркал резонатора. За один цикл происходят два отражения света и, следовательно, ослабление потока пропорционально R1R2. За один цикл свет в активной среде проходит путь 2L. Поэтому на основании (1.598) усиление потока за цикл пропорционально ехр(2L ), где значение коэффициента усиления (1.592) за цикл. Полное усиление плотности потока энергии за один цикл описывается формулой

где S0 плотность потока энергии в начале цикла (за начало цикла можно взять любой момент времени). Перепишем (1.611) в виде

Из (1.612) видно, что генерация лазерного излучения начинается тогда, когда приобретаемая световым потоком в активной среде энергия за цикл превосходит потери энергии, включая энергию покинувшего систему лазерного излучения. На пороге генерации плотность потока энергии в системе не столь велика, чтобы изменить заселенность уровней, и поэтому для порога генерации можно считать= 0, где 0 коэффициент усиления в отсутствие светового потока. Следовательно, на основании (1.612) условие порога генерации имеет вид

Условия стационарной генерации

При стационарной генерации потери энергии компенсируются за счет энергии, полученной световым пучком от активной среды. Стационарная генерация может осуществляться при значительных плотностях потока энергии, поэтому в качестве следует взять его значение при наличии потока. Условие стационарной генерации имеет вид

271

Добротность

Поскольку лазер представляет собой оптический резонатор, в теории лазеров широко используется терминология теории колебаний. Потерю энергии за период колебаний принято характеризовать добротностью отношением запасенной в системе энергии W к потерям энергии W за одно колебание

где площадь поперечного сечения лазерного пучка. Потеря энергии за один цикл составляет

где учтено, что объемная плотность энергии w складывается из равных объемных плотностей двух потоков энергии, движущихся в противоположных направлениях. Учитывая, что продолжительность одного цикла равна 2L/v, и обозначая период лазерного излучения через Т = 2 /, находим, что потеря энергии за одно колебание

т. е. для осуществления генерации необходимо, чтобы усиление на пути в половину длины волны было равно (или больше) величине, обратной добротности.

Порог генерации тем выше, чем меньше добротность. Добротность же тем меньше, чем больше потери. Поэтому для осевых лучей порог генерации достигается раньше и энергия в излучении лазера уносится преимущественно ими. Это означает, что излучение лазера сосредоточено в узком параллельном пучке лучей, угол расходимости которого обусловливается главным образом дифракцией.

Непрерывные и импульсные лазеры

Создание инверсной заселенности уровней называется накачкой. Накачка лазеров может быть самой разнообразной и будет рассмотрена в связи с конкретными типами лазеров. По характеру зависимости накачки от времени она может быть непрерывной и импульсной. Если накачка осуществляется импульсами, то и излучение лазера импульсное. После начала импульса накачки начинает изменяться заселенность уровней. Когда достигаются условия порога генерации

272