Теорема Поста

Существует метод проверки полноты системы, называемый теоремой Поста. Она основывается на выделении пяти классов Поста булевых функций:

класс функций сохраняющих 0

,

класс функций сохраняющих 1

,

класс самодвойственных функций

,

класс монотонных функций

, где подразумевается стандартный порядок булевой алгебры (при котором существуют и несравнимые элементы!),

класс линейных функций

, т.е. функция представима в виде полинома Жегалкина первой степени.

Можно доказать, что все эти классы являются замкнутыми, т.е. любая комбинация функций из одного класса остаётся в том же классе.

Теорема (Поста):система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она целиком не лежит ни в одном из классов Поста.теорема Поста, которая гласит: для того чтобы система функций была базисной, необходимо и достаточно, чтобы она включала в себя хотя бы одну функцию, не принадлежащую 0, 1, 2, 3 и 4 классам

Рассмотрим пример: . Необходимо проверить полноту системы.

Функция принимает следующие значения:. Проверка принадлежности первых четырёх классов поста может быть проведена очень быстро. Для проверки линейности построим представление данных функций в виде полинома Жегалкина:

Поучается, что нелинейна.

Поучается, что нелинейна.

Принадлежность классам Поста обобщим в таблице:

	-	+	-	-	-
	-	-	-	-	-

Система функций является полной, более того, полной является уже система.Выразим стандартный базисчерез функцию. Воспользуемся тем, чтоне сохраняет ни 0, ни 1, значит:

Так как -- несамодвойственна, выразим константы через отрицание. Для этого найдём такой вектор, что. Видно, что это выполняется при. Значит,. Тогда 0 можно получить с помощью отрицания.

-- нелинейна, выразим коньюнкцию из полинома Жегалкина этой функции. Можно получить, что . Тогда

откуда .

Геометрическая интерпретация минимизации функций алгебры логики.

Для иллюстрации выполнения преобразований над булевыми функциями иногда удобно давать им геометрическое представление. Например, функцию f(x₁,x₂) удобно представлять на плоскости в системе координатx₁,x₂. Отложив единичные отрезки, получим квадрат, вершины которого соответствуют комбинациям переменныхx₁иx₂.

__________________

Пример:Пусть функцияf(x₁,x₂) =x₁,¬x₂ vx₁,x_2.

Из геометрических представлений следует, что две вершины, которые принадлежат одному и тому же ребру и называемые соседними, склеиваются по переменной, изменяющейся вдоль этого ребра. Это правило справедливо для конъюнктивных термов любого ранга, если они являются соседними для функции трех переменных, геометрическое представление имеет форму куба.

Метод неопределённых коэффициентов.

Предназначен для получения линейных форм логических формул, может быть применен для минимизации логических формул для любого числа переменных. В ручном варианте применяют для числа переменных не более пяти. Логическую функцию представляют в виде ДНФ. В общем виде, например, для трех переменных она имеет следующий вид:

f(x₁,x₂,x₃) = k¹₁x₁ k⁰₁x₁ k¹₂x₂ k⁰₂x₂ k¹₃x₃ k⁰₃x₃ k¹¹₁₂x₁x₂ k¹⁰₁₂x₁x₂ k₁₂x₁x₂ k⁰¹₁₂x₁x₂  k⁰⁰₁₂x₁x₂ k¹¹₁₃x₁x₃ k¹⁰₁₃x₁x₃ k⁰⁰₁₃x₁x₃  k¹¹₂₃x₂x₃  k¹⁰₂₃x₂x₃ k⁰¹₂₃x₂x₃ k⁰⁰₂₃x₂x₃ k¹¹¹₁₂₃x₁x₂x₃ k¹¹⁰₁₂₃x₁x₂x₃ k¹⁰¹₁₂₃x₁x₂x₃ k¹⁰⁰₁₂₃x₁x₂x₃ k⁰¹¹₁₂₃x₁x₂x₃ k⁰¹⁰₁₂₃x₁x₂x₃ k⁰⁰¹₁₂₃x₁x₂x₃ k⁰⁰⁰₁₂₃x₁x₂x₃

В этойдизъюнктивной норм. форме коэффициенты с индексами – это определенный коэффициент, принимающий значение 0 и 1 и подбирается таким образом, чтобы ДНФ была минимальная. Задавая различные наборы переменныхx₁,x₂,x₃ и приравнивая полученные выражения соответствующим значениям функции, получают систему уравнений для определения коэффициента к:

f(0,0,0) = k⁰₁ k⁰₂  k⁰₃ k⁰⁰₁₂ k⁰⁰₂₃ k⁰⁰⁰₁₂₃

f(0,0,1) = k⁰₁ k⁰₂  k¹₃ k⁰⁰₁₂ k⁰¹₁₃ k⁰¹₂₃ k⁰⁰¹₁₂₃

……………………………………………

f(1,1,1) = k¹₁ k¹₂  k¹₃ k¹¹₁₂ k¹¹₁₃ k¹¹₂₃ k¹¹¹₁₂₃

f(x₁,x₂,x₃) = 0  1

Задание некоторой функции определяет значение первых частей системы: если f= 0 на соответствующем наборе переменных, то все коэффициенты входящие в уравнение, будут равны нулю. Это следует из свойства дизъюнкции. Тогда и в уравнении, где функция принимает единичное значение, надо вычеркивать все нулевые коэффициенты. Из оставшихся коэффициентов надо выбрать такой, который определяет темп наименьшего, и приравнять его к единице. А остальные коэффициенты приравнять к 0. Т.о. единичные коэффициенты определяют искомую ДНФ для системы уравнений.

Рассмотрим f(x₁,x₂,x₃) =F(0,2,4,7), так называется десятичная форма записи для логического выраженияf(x₁,x₂,x₃)= ,, ,x₂, x₁,, x₁,x₂,x₃

Для получения коэффициентов:1) Выбрать строку, в которой функция равна нулю, и все коэффициенты приравнять к нулю. Если все нулевые строки просмотрены, то переходим к шагу 2.2) Просмотрим строки, где функция равна еденице, и в этих строках вычеркиваем коэффициенты, которые принадлежат строкам с нулевым значением функции.3) Переписывают все модифицированные уровнения.

В полученной системе уравнений просматривают каждую строку и вычеркивают максимально возможное количество коэффициентов таким образом, чтобы ранг оставшихся терминов был минимальным.

k⁰⁰₂₃k⁰⁰₁₃k⁰⁰⁰₁₂₃=1

k⁰⁰₁₃k⁰⁰⁰₁₂₃=1

k⁰⁰₂₃k⁰⁰⁰₁₂₃=1

k⁰⁰⁰₁₂₃=1

В модифицированной системе вычеркивают коэффициенты максимального ранга. Оставшиеся коэффициенты позволяют получить минимальную форму:

f^*(x₁,x₂,x₃)= ,, x₁,x₂,x₃