Операции над множествами.

Самого понятия множество недостаточно, следует определить способы конструирования новых множеств из уже имеющихся, т.е. задать операции над множествами.

Множество A содержится в множестве B (множество B включает множество A), если элемент множества A есть элемент множества B. AB:=xA=>xB. В этом случае A называют подмножеством B, а B – надмножеством A.

Обычно рассматривают следующие операции над множествами:

1. Объединение AB := { x | xAxB}

2. Пересечение AB:= { x | xA & xB}

3. Разность A \ B := { x | xAxB}

4. Симметричная разность AB:=(AB) \ (AB)

5. Дополнение :={ x | x A }Операция Дополнение подразумевает некоторый универсумU: :=U\A

Свойства теоретико-множественных операций. Представление множеств в эвм.

Пусть задан универсум U, тогда для любых множествA,B,C, являющихся подмножествомUвыполняются следующие свойства:

1) Идемпотентность: A  A = A ! A  A =A.

2)Комутативность:AB=BA! AB=BA.

3) Ассоциативность: A(BC) = (AB)C ! A(BC)=(AB)C.

4) Дистрибутивность: A(BC)=(AB)(AC) ! A(BC)=(AB)(AC).

5) Поглощение: (AB)A=A ! (AB)A=A.

6) Свойство нуля: A =A ! A=.

7)Свойство единицы:AU=U! AU=A.

8)Инволютивность: !!А = А.

9)Законы де Моргана: =! =.

10)Свойства дополнения:A=U! A=.

11)Свойство разности:A\B=A

В справедливости этих свойств можно убедиться различными способами, например нарисовать диаграммы Эйлера для левой и правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же привести формальное рассуждение для каждого равенства.

Упорядоченные пары. Прямое произведение множеств. Отношения. Многоместные отношения. Композиция отношений. Степень отношений. Ядро отношения. Свойства отношений. Представление отношений в ЭВМ.

Упорядоченные пары. Декартово (прямое) произведение множеств. Отношения.

В предыдущем разделе операции над множествами давали множества той же природы. Например, если исходные множества были множествами чисел, то и полученные в результате операций множества были множествами чисел. В этом разделе мы определим операцию, с помощью которой меняется природа элементов получающихся множеств.

Упорядоченной парой (набор длинны 2) из элементов aиb(a,b), взятых именно в этом порядке, называется множество, состоящее из двух множеств, включающих элементa: {a},{a,b}.

(a,b)= {{a},{a,b}}

Таким образом, понятие упорядоченной пары не выводит рассмотрение за пределы теории множеств. Но тем не менее независимое определение упорядоченной пары технически удобнее. Исходя из приведенного определения , доказывается справедливость следующей леммы:

Лемма:упорядоченные пары (a,b) и (c,d) равны тогда и только тогда, когда выполняется условие: (a,b) = (c,d) | a = с & b = d

Пусть А и В – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит множеству А, а второй множеству В.

Обозначают: АВ := {(а,b) | а А & bB}

Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя.

Соответственно: А¹:=A;А²:=AA;А³:=AA²; и вообще Аⁿ:=AA^n-1

Теорема:|АВ| = |А|  |В|

Доказательство:

Первый компонент упорядоченной пары можно выбрать |А|способами:|А|- число элементов множестваА;|В|- число элементов множестваВ.

Таким образом, всего имеется |А|·|В|упорядоченных пар.

Пример: А= {1,2,3}, |A| = 3;B= {4,5}, |B| = 2;

|АВ| = |А|  |В|= 3·2 = 6;

|АВ|= |{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}| = 6;

Пусть А и В – два множества. Бинарным отношением Rиз множества А в множество В называется подмножество прямого произведения:R  A  B.

Для бинарных отношений обычно используется инфиксная форма записи:

a R b: (a,b) R  A  B.

если А=В, то говорят, чтоRесть отношение на множествеА.