Министерство образования Республики Беларусь

Белорусско-Российский Университет

КОНСПЕКТ

ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

для специальности 1-53 01 02 Автоматизированные системы обработки информации

Могилёв 2010

Содержание:

Тема 1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Свойства теоретико-множественных операций. Представление множеств в эвм. 5

Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств 5

Операции над множествами. 5

Свойства теоретико-множественных операций. Представление множеств в ЭВМ. 6

Упорядоченные пары. Прямое произведение множеств. Отношения. Многоместные отношения. Композиция отношений. Степень отношений. Ядро отношения. Свойства отношений. Представление отношений в ЭВМ. 7

Упорядоченные пары. Декартово (прямое) произведение множеств. Отношения. 7

Многоместные отношения. Композиция отношений. Степень и ядро отношений. 7

Свойства отношений. Представление отношений в ЭВМ. 8

Тема 2. Высказывательные формы. Функции алгебры логики. Основные понятия и определения. Способы задания булевых функций. Таблица истинности. Существенные и несущественные переменные. Булевы функции одной и двух переменных. Формулы. Реализация функций формулами. Равносильные формулы. Специальные разложения БФ. 9

Переключательные функции. Существенные и несущественные переменные. Булевы функции одной переменной. Булевы функции двух переменных. 9

Формулы. Реализация функций формулами. Равносильные формулы. Принцип двойственности. 10

Дизъюнктивная нормальная форма. 11

Конъюнктивная нормальная форма. 11

Тема 3. Полиномы Жегалкина. Cуществование и единственность представления булевой функции полиномом Жегалкина (теорема Жегалкина). Теоремы о полноте системы функций алгебры логики. Пять классов булевых функций: линейные функции; функции, сохраняющие нуль; функции, сохраняющие единицу; монотонные функции; самодвойственные функции. Функционально полные системы логических функций. Примеры функционально полных базисов. Минимизация булевых функций. 12

Теорема Поста 13

Геометрическая интерпретация минимизации функций алгебры логики. 16

Метод неопределённых коэффициентов. 16

Метод карт Карно 17

Тема 4. Алгебраические системы. Дистрибутивные решетки. Определение решетки, дистрибутивной решетки. Булева решетка. 25

Алгебраические системы. 25

Группоиды и полугруппы. 25

Понятие группы. 26

Кольца. Тела и поля. 27

Решетки. Диаграмма Хассе. 28

Дистрибутивная решетка. 29

Булева алгебра. 30

Тема 5. Поля Галуа и их применение. Классическая теория Галуа. Расширения полей и их классификация. Сепарабельные и нормальные расширения. Расширения полей Q, F_q, C(t). 31

Тема 6. Многозначные логики. Возникновение и формализация модальных логик. Применение многозначных логик. 46

Основные понятия 46

Тема 7. Методы пересчета. Перестановки, сочетания, транспозиции. Методы генерирования перестановок: лексикографический порядок, векторы инверсий, вложенные циклы, транспозиция смежных элементов. 50

Тема 8. Производящие функции. Способы построения производящих функций. Пример построения производящей функции при известном рекуррентном соотношении. 54

Тема 9. Теория автоматов. Основные понятия теории конечных автоматов. Способы задания абстрактных автоматов: таблица переходов, граф переходов, матрица переходов. Автоматы Мили и Мура. Частичный автомат. 60

Тема 10. Синтез автоматов. Абстрактный уровень проектирования автомата. 73

Тема 11. Минимизация числа состояний автомата. Минимизация числа состояний синхронного автомата методом Хафмена. 80

6. Минимизация числа состояний методом таблиц. 82

Тема 12. Языки, распознаваемые автоматами. Характеризация праволинейных языков. Нормальная форма праволинейных грамматик. Свойства замкнутости класса автоматных языков. Пересечение и дополнение автоматных языков. 85

Тема 13. Автоматы с памятью. Канонический метод структурного синтеза. Построение логической схемы структурного автомата. Графический метод структурного синтеза. 89

Тема 14. Сети Петри и их свойства. Основные понятия сетей Петри. Конечные разметки сети. Ограниченность сети. Моделирование с помощью сетей Петри. Формальное определение сети Петри. 95

Тема 15. Описание систем с помощью сетей Петри. Применение сетей Петри при разработке графического языка программирования. 105

Тема 16. Динамические двоичные системы. Дифференцирование динамических двоичных функций. Производная первого порядка. Единичная остаточная функция, нулевая остаточная функция. Смешанная производная от булевой функции. 112

Тема 17. Решение задач с помощью динамических двоичных функций. Синтез логической схемы, реализующей заданную булеву функцию, с использованием блоков исключения одной переменной. 116

Тема 1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Свойства теоретико-множественных операций. Представление множеств в ЭВМ.

Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств

Определение. Множество – это любая, определенная совокупность объектов. Объекты из которых составлено множество называют его элементами. Элементы множества различны и отличны друг от друга. Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита, а их элементы – строчными. Например N, Z, Q, R – множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

N={1, 2, 3…}A={a1,a2,a3…}

Множество не содержащее элементов называется пустым. Его обозначают Ø.

Обычно, в конкретных обсуждениях, элементы всех множеств берутся из некоторого одного достаточно широкого множества U (своего для каждого множества), которое называется универсальным множеством или универсумом. В общем случае множества могут быть конечными и бесконечными. Конечное множество – это такое множество, для которого существует натуральное число, называемое мощностью множества и обозначаемое |A|.

Чтобы задать множество нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:

1) перечислением множества;

2)характеристическим предикатомM= {x|P(x) }, где P(x) – предикат.

Характеристический предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения, возвращаемое логическое значение. Если для данного элемента условие выполнено, т.е. P(x) = 1, то этот элемент принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Принадлежность xM. Не принадлежность xM. Пример:

M= {x|xN&x< 10}

P(x) = (11) = ( 11 & 11 < 10 ) = 0

3)порождающей процедурой:M={x|x:=f}

Порождающая процедура – это процедура, которая будучи запущенной порождает некоторые объекты, являющиеся элементами порождаемого множества.

Пример: M = { x | x := from 1 to 9 generate x}

Перечислением можно задавать только конечное множество.