3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть — поле.

Выясним, может ли неразложимый в [x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочленыf(x)иf(x)должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в[x]. Если многочленf(x)неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степениf(x)не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенствоf '(x)= 0.

Положим

_{n n}

f(x) =a_x^ f(x) =a_x^-1

^{0 1}

Так как f(x)= О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

a_ = 0 ( = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a_= 0 для всех0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристикиpравенстваa_= 0 возможны и для0, но тогда обязаны выполняться сравнения

0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением техa_x^, для которых0(p), т. е.f(x)должен иметь вид

f(x) = a₀+a_px^p+a_2px^2p+…

Обратно: еслиf(x)имеет такой вид, тоf(x)=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = (x^p).

Тем самым доказано утверждение:В случае характеристики нуль неразложимый в  [x] многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен  от x^p.

Тема 6. Многозначные логики. Возникновение и формализация модальных логик. Применение многозначных логик. Основные понятия

Пусть Е_k={0,1,...,k-1}. Функцияназывается функциейk-значной логики, если на всяком наборезначений переменных, где, значениетакже принадлежит множествуЕ_k. Совокупность всех функцийk-значной логики обозначаетсяP_k.

,

Элементарные функции k-значной логики:

константы0,1,...,k-1 ;

отрицание Поста:(modk); отрицание Лукашевича: ~x= (k-1)-x;

характеристические функции числаi:

минимум xиy: min(x,y);максимум xиy: max(x,y);

сумма по модулюk:x+y(modk);произведение по модулюk:x y(mod k);

усеченная разность:

импликация:

функция Вебба:v_k(x,y) = max(x,y)+1 (modk);

разность по модулю k:

Функции min, max, + ,обладают свойствами коммутативности и ассоциативности. Кроме того, справедливы соотношения:

Вводятся по определению:

Любую функцию из Р_kможно представить в первой форме:

.

Любую функцию из Р_kможно представить во второй форме:

,

где сложение и умножение берется по modk.

ЗАДАЧИ

6.1. Подсчитать число функций вР_k⁽¹⁾, принимающих не болееk-1 значений от одной переменной.

6.2. Доказать следующие соотношения:

6.3. Представить функциюI _k-2(x) в виде суперпозиции функций

6.4. Доказать справедливость следующих соотношений:

6.5. Представить функцию fпервой форме:

Полные системы функций:

система Поста: {};

система Россера-Туркетта:{}.

6.6. Cведением к заведомо полным системам доказать полноту систем функций:

1) {}; 2) {};

3) {1, x²-y, min(x,y)}; 4) {k-2,x+y, (~x)2y}

6.7. Доказать, что функция Вебба обладает свойством: [{v _k(x,y)}] =P_k.

6.8. Является ли полной вР_kсистема функций

6.9.Выяснить, полна ли вР₃система: