Многоместные отношения. Композиция отношений. Степень и ядро отношений.

n-местным отношением называется любое подмножество множества Аⁿ, где А- произвольное множество,n1. Двухместное отношение называют бинарным.

Многоместное отношение используется, например, в теории баз данных.

Пример: R  A₁  A₂  …  A_n = {(a₁, a₂, … ,a_n) | a₁  A₁ & a₂  A₂ & … a_n  A_n}.

A₁=A₂= … =A_n=A

Пусть R₁ A C, а R₂  C B. Композицией двух отношенийR₁иR₂называется отношениеR A Вопределяемое следующим образом:

R := R₁R₂ := {(а,b) | a  A & b B & c C & aR₁c & cR₂b}

Композиция отношений на множестве Аявляется отношением на множествеА.

Степень и ядро отношений.

Пусть R– отношение на множествеА. Степенью отношенияRна множествеАназывается его композиция с самим собой.Rⁿ :=R·…·R

Соответственно: R⁰ = 1;R¹ = R;R² = R·R и вообще Rⁿ = R·R^n-1

Если R– отношение изАвВ, то естьRA B, то композиция отношенияR ·R^-1называется ядром отношенияR.

Ядро отношения RизАвВявляется отношением наА.

Свойства отношений. Представление отношений в эвм.

Пусть R– есть отношение на множествеА:R A А | a,b A

Введем следующие понятия: 1)обратное отношение:R^-1:={(a,b)|(a,b)R};2)дополнение отношения: := {(a,b)|(a,b)R};3)тождественно отношение:I:= {(a,a)|aR};4)универсальное отношение:U := {(a,b) | aA & bA}.

Замечание: пусть R– отношение на множествеА (R А²),тогда:

отношение Rназывается рефлексивным, если аА, аRа

Если  аА, -аRа, то такое отношениеRназывают антирефлексивным.

Если  а,bА, аRb  bRа. Такое отношениеRназывают симметричным.

Если  а,bА, аRb & bRа  a=b. Такое отношениеRназывают антисимметричным.

Если  а,b,сА, аRb & bRс  аRс. Такое отношениеRназывают транзитивным.

Если  а,bА, аb aRb  bRa.Такое отношениеRназывают полным (линейным).

Теорема:пустьR– отношение на множествеА, то естьR A А, тогда: __отношениеRрефлексивно тогда и только тогда, если тождественное отношение включается во множествоR. __отношениеRсимметрично тогда и только тогда, когдаR = R^-1(равно обратному отношению). __отношениеRтранзитивно тогда и только тогда, когда композиция отношенийR·RR(включается в отношениеR). __отношениеRантисимметрично тогда и только тогда, когда пересечение отношенияRс обратным отношением включается в тождественное отношение:RR^-1  I.

__отношение Rантирефлексивно тогда и только тогда, когда пересечение отношенияRс тождественным отношениемIобразует пустое множество:R I =. __отношениеRполно тогда и только тогда, когда объединение отношенияRс тождественным отношениемIи с обратным отношением образует полное отношениеU:

R I R^-1 = U.

Представление отношений в ЭВМ.

Пусть R– отношение наА (R A A)и |А|=n, тогда отношениеRможно представить матрицейR: array[1…n,1…n]of0…1, где

Матрица ||R|| - матрица отношений.

Тема 2. Высказывательные формы. Функции алгебры логики. Основные понятия и определения. Способы задания булевых функций. Таблица истинности. Существенные и несущественные переменные. Булевы функции одной и двух переменных. Формулы. Реализация функций формулами. Равносильные формулы. Специальные разложения БФ.

Переключательные функции. Существенные и несущественные переменные. Булевы функции одной переменной. Булевы функции двух переменных.

Функции вида f :E₂ⁿE₂, гдеE₂= {0;1} – функции алгебры логики или булевы функции. Множество булевых функций отnпеременных обозначимp_nиp_n:= {f |f:E₂ⁿE₂}. Булеву функцию отnпеременных можно задать таблицей истинности.

x1	…	xn–1	xn	f(x1,…,xn)
0	…	0	0
0	…	0	1
0	…	1	0
…	…	…	…
1	…	1	1

Если число переменных n, то в таблице истинности имеется 2ⁿстрок, соответствующих всем различным комбинациям значений переменных, которым можно сопоставить 2^{2^n}различных столбцов, соответствующих различным функциям. Т.о. число булевых функций отnпеременных |p_n| = 2^{2^n}. Булева функцияf p_nсущественно зависит от переменнойx_i, если существует такой набор значенийa₁,a₂,…,a_i–1,a_i+1,…,a_n–1,a_n, что выполняется условиеf(a₁,a₂,…,a_i–1,a_i+1,…,a_n–1,a_n)f(a₁,a₂,…,a_i–1, 1,a_i+1,…,a_n–1,a_n). В этом случаеx_i– существенная переменная, в обратном случаеx_i– несуществующая (фиктивная) переменная.

Пример.Пусть булевы функцииf₁(x₁,x₂);f₂(x₁,x₂) заданы следующей таблицей истинности:

x1	x2	f1	f2
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	1	0
1	1	1	0

Для этих функций переменная x₁ – существенная, аx₂ – несущественная. По определению булевы функции равны, если одна из другой получается введением (или удалением) несущественных переменных.

Булевы функции одной переменной представим в виде таблицы.

Переменная х		0	1
Название	Обозначение			Фиктивные
нуль	0	0	0	x
тождественная	x	0	1
отрицание	x,x,x'	1	0
единица	1	1	1

Булевы ф-ции 2-х переменных описаны в книге.